VÊn ®Ò1: Sai lÇm khi tÝnh tÝch ph©n
1. §æi biÕn sè nhng kh«ng ®æi cËn.
VD1: tÝnh tÝch ph©n
4
2
0
1I x dx
π
= −
∫
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai: ®Æt
sinx t=
suy ra dx=costdt
4 4 4
2 2
0 0 0
1 cos 2 1
1 sin .cos . cos .
2 8 4
t
I t t dt t dt dt
π π π
π
+
= − = = = +
∫ ∫ ∫
Lêi gi¶i ®óng:
ĐÆt x = sint suy ra dx=costdt

0 0

= +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
2. Khi ®æi biÕn kh«ng tÝnh vi ph©n
VD2: tÝnh
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
=
+
∫
Gi¶i:
Lêi gi¶i sai:
®Æt t = 2x + 1

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =


= ⇒ =


3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t
−
 
= = − = − − =
 ÷
 
∫

3. Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức
VD1: Tính
2
0
.
x
I x e dx=


= =



= =( )
2
2
0
2
1
0
x x
I xe e dx e = = +

Vấn đề 2: sai lầm khi chứng minh đẳng thức tích phân
ví dụ 1: cho
n N

; CMR
( )
2
0
sin sin 0I x nx dx

= + =

* Lời giải sai:

sin sin sin sinI x nx dx y ny n dx




= + = + +

=
( ) ( )
1 sin sin
n
ny y dx





Mặt khác ta có: g(y)=sin(ny-siny) xác định trên
[ ]
,


là hàm liên tục va
g(-y)=sin(-ny-sin(-y))=-sin(ny-siny)=-g(y)

g(y) là hàm lẻ.
Vậy thì I=0
Ví dụ 2: cho hàm số f liên tục trên
[ ]
0,

0
cos cos
0
I xf x f x dx


= +

Do f liên tục /[0;

]

( ) ( ) ( )
0
cos 0 0 cosf f I f x dx


= = =

(1)
Mà
( )
0
sin
2
J f x dx


=


2 sin sin
2
I f x dx I f x dx



= =

Vậy ta có I=J
ví dụ 3: Cho hàm số f liên tục trên [a,b]. CMR tồn tại ít nhất 1 điểm
[ ]
,C a b
sao cho:
( ) ( ) ( ) ( )
c b
a c
f x f c dx f c f x dx =


* Lời giải sai.
Do f liên tục trên [a,b]

f(x)-f(c)/ [a,c] bằng f(x)-f(c) trên [b,c] vậy ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c c b
a b c
f x f c dx f x f c dx f c f x dx = =


* Nguyên nhân sai lầm:

phân
I. Kiến thức chung
- Cho hàm số
( )
y f x=
khả tích trên
[ ]
;a b
. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ox,
y = f(x) , x = a, x = b là :
( )
b
a
S f x dx=

II. Những sai lầm thờng gặp
1. Sử dụng sai công thức
VD1: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
9
0; 1; 4
y x
y x x

=

= = =

Lời giải sai:
Diện tích hình phẳng là:

(9 ) 9
3 4
1 1 65 38
9 9 9
1 3
3 3 2 3
x dx x dx
x x x x
= +

= + = =
ữ ữ


o 1 3 4 x
2. Xác định không chính xác hình cần tính giới hạn
VD: tính diện tích hình giới hạn bởi:
2
0; 1
1; 0
y y
y x x
= =


= =

Lời giải sai:
2
1 1y x y x= =

2
1
1 1S = =

( )
( )
2
3
2
2
1
2
2 1
1 1 1
1
3 3
4
3
S x dx x x
S

= = = =

3. Xác định sai hình cần tính giới hạn.
VD: Tìm diện tích hình giới hạn bởi:

( )


( ) ( )
( ) ( )
5
2
2
2 2
3
2
2
3 3
1 3
2 5
1 1
2
1 3
3
3 3
2
2
1 1 1 1 7
3 24 24 3 12
S x dx x dx
x x
= +
= +

= + + =
ữ ữ


4 8 2 8
3
2
2
S x x dx
x dx x x

=

= + = + =



( ) ( )
( )
5
2
2 2
2
2
5
2
2
2
1 3
5
1
2
4 8 (2 8 )
2

Vox f x dx
y
x a
Voy xf x dx
x b



=
=


=



=

=

=




Nếu hình phẳng giới hạn bởi
( )
( )
( ) ( )
1

0x y b a a b+ < <
quay
quanh trục 0x.
* Lời giải sai: y
Phơng trình đờng tròn (C):
( )
2
2 2
x y b a+ =
có thể viết
( )
( )
( )
( )
2 2
2
1
2 2
2 2
2
y b a x C
y b a x x a
y b a x C

= +

=

=



mà
2 2
1 2
b
a
Vox y y dx

=

.
* Lời giải đúng:
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2
2
a
a
Vox b a x b a x dx a b


= + =

2. Sử dụng nhầm Voy
ví dụ: Tính Voy của hình
2
1

a
Voy y dx

=

đây là công thức tính diện tích Vox. Vởy
lời giải bị sai.
* Lời giải đúng.
2
2
1
15
2 .
2
Voy x x dx


= =