LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Góc giữa hai véc tơ
Giả sử ta có
( )

( )


; ;

=

→ = =

=


 
   
 
AB u
u v AB AC BAC

AB u
u v AB AC AB AC AB AC
AC v

Nh
ậ
n xét:
+ Khi
0
. 0
0

=
→ =

=


 
 
 
u
u v
v

+ Khi
(
)

0


b) Gọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB. Tính góc gi
ữ
a hai véc t
ơ

(
)

; .
 
CI AC

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) S
ử
d

. . . .
= + = +
        
AB BC AB BA AC AB BA AB AC

Mà
( )

( )

0 2
2
0
. . .cos . . .cos180
. . .cos . . .cos60
2
= = = −
= = =
   
   
AB BA AB BA AB BA a a a
a
AB AC AB AC AB AC a a

2 2
2
. .
2 2
→ = − + = −
 


b) Ta có
( )

. .
cos ;
.
.
= =
   
 
 
CI AC CI AC
CI AC
CI AC
CI AC

T
ứ
di
ệ
n ABCD
đề
u c
ạ
nh a, CI là trung tuy
ế
n c
ủ
a tam giác

. 0.
⊥ ⇔ =
   
CI AI CI AI
Tài liệu tham khảo:

01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Đồng thời,
( )

2 2 2
0
3 3 3 3 3
. . .cos ; . .cos180 . 0 .
2 2 4 4 4
= = = − → = − = −
     
a a a a a
CI IC CI IC CI IC CI AC
Thay vào (2) ta
đượ
c
( )
( )


AB.
a) Biểu diễn các véc tơ

SM
và

BC
theo các véc tơ
; ; .
  
SA SB SC

b) Tính góc
(
)

; .
 
SM BC

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta
được
( )
1
2
2



 
 
SM BC SM BC
SM BC
SM BC
SM BC

Mà SA, SB, SC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc nên
. 0
. 0
. 0

=


=


=


 
 
 
SA SB
SA SC

2
2
0
0 0
1 1 1
. . . . . .
2 2 2 2
 
= + − = − + − = − = −
 
 
           
  
 
a
SM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SB

Thay vào (1) ta
đượ
c
( )

( )

2
0
. 1
2
cos ; ; 120 .
. 2

ng th
ẳ
ng
M
ộ
t véc t
ơ

u 0
≠
 
mà có ph
ươ
ng song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i d
đượ
c g
ọ
i là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c
ủ
a

′
l
ầ
n l
ượ
t song song v
ớ
i a; b. Kí hi
ệ
u
( )

a;b .

T
ừ

đị
nh ngh
ĩ
a ta có s
ơ

đồ

( )

( )

a//a


o o
o o o
a; b φ ; 0 φ 90
a; b 180
φ ; 90 φ 180
= ≤ ≤
= − < ≤

+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì
( )

o
a; b 0 .
=

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn

Các xác định góc giữa hai đường thẳng:
Phương án 1
(sử dụng định nghĩa)
Phương án 2
Tạo ra các đường
( )

( )

a // a

c tam giác vuông thì dùng các công th
ứ
c tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.

N
ế
u góc thu
ộ
c tam giác th
ườ
ng thì s
ử
d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong tam giác
ABC
:
2 2 2
2 2 2
2 cos cos .
2
+ −
= + − → =
b c a
a b c bc A A
bc

ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD và BC ta s
ử
d
ụ
ng
ph
ươ
ng án 2, tìm
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i m
ộ
t trong hai
đườ
ng th
ẳ
ng SD, BC và song song v
ớ
i m
ộ
t
đườ

Xét
∆
SAD:
 
o
SA 3
tanSDA SDA 30 .
AD 3
= = → =

V
ậ
y
( )

o
SD;BC 30 .
=

b) Tính góc gi
ữ
a SB và CD
T
ươ
ng t
ự
,

( )


SB;CD 60 .
=c) Tính góc gi
ữ
a SC và BD
Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
Trong ∆SAC có
( )

( )



o
IOB
OI//SC SC;BD OI;BD
180 IOB

→ = =


−


 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI:
2
2 2 2
a 3 a 7


2 2 2
2 2 2
13a 10a 7a
OI OB IB 8
4 4 4
cosIOB
2.OI.OB
a 13 a 10 130
2. .
2 2
+ −
+ −
= = =

( )

8
IOB arccos SC;BD .
130
 
→ = =
 
 

V
ậ
y
( )


để
xác
đị
nh góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AB và CD ta t
ạ
o các
đườ
ng th
ẳ
ng t
ươ
ng
ứ
ng song song v
ớ
i AB, CD và chúng c
ắ
t
nhau.
G
ọ
i P là trung
đ
i

nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆MPN ta
đượ
c



( )

2 2 2 2 2
o o
MP NP MN 2a 3a 1
cosMPN
2MP.NP 2.a.a 2
MPN 120 MP,NP 60
+ − −
= = = −
→ = ⇔ =

V
ậ
y
( )

o
AB,CD 60 .
=
Nhận xét:


ũ
ng t
ươ
ng t
ự
.

Ví d
ụ
3. Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy là hình thang vuông t
ạ
i A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc v
ớ
i
AB và AD, =
2 3
3
a
SA . Tính góc c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
a) DC và SB.
b) SD và BC.
Hướng dẫn giải:

Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30
o
.

b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là
hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a
DI a 2.
→ =

mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI.
Khi đó,
( )

( )

SD,BC SD,DI
β
= =
.
Tam giác SAI vuông tại A nên
2
2
2 2 2 2
2a 3 7a
SI SA AI a
3 3
 
= + = + =
 
 

2SD.DI
a 21 42
2. .a 2
3
+ −
= = =
Do

cosSDI 0
>
nên góc
SDI
là góc nh
ọ
n

3
β
SDI arccos .
42
 
→ = =
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Cho t
ứ
di

CI
.
Đ/s:

( )

3
; arccos .
6
 
=
 
 
 
AB CI

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i M, N, P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể


Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu
( )

; 90 .
o
a b a b
= ←→ ⊥



Chú ý:
Các ph
ươ
ng pháp ch
ứ
ng minh a
⊥
b:

 Chứng minh
( )

o
a; b 90
=

 Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau,
u.v 0.
=

i c
ả
hai
đườ
ng AB và CD.
b) Tính
độ
dài IJ.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,
∆ACD vuông cân tại A.
Từ đó
BC BD a,CD a 2
= = = →∆BCD vuông cân t
ạ
i B.

Chứng minh IJ vuông góc với AB
Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân t
ạ
i A, B nên

đượ
c
2
2
2 2
a 2 a a
IJ AJ AI
2 4 2
 
= − = − =
 
 
 

V
ậ
y IJ = a/2.

Ví dụ 2.

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và



= =
ASB BSC CSA.

Ch
ứ
ng minh r

SA.SC SA.SB SA.SC SA.SB 0 SA.BC 0 SA BC
SA SB SC
ASB BSC CSA
=
=
→ = ⇔ − = ←→ = ⇔ ⊥
= =
= =
   
   
         

Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB
Ví d
ụ
3. Cho t
ứ
di
ệ
n
đề
u
ABCD
, c
ạ
nh b
ằ
ng
a
. G

ể
m c
ủ
a
CD
. Tính góc gi
ữ
a




BC
và
AM
.




AC
và
BM
.

Hướng dẫn giải:
a)
Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng
Gọi M là trung điểm của CD. Ta có
(

Xác định góc giữa BC và AM:
Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
T
ừ đó
( )

( )



AMI
BC;AM MI;AM
180 AMI

= =


−


Áp d
ụ
ng
đị
nh lý hàm s
ố
cosin trong ∆AMI ta
đượ
c


4 4 4
1 cosAMI AMI arccos BC;AM arccos .
a a 3 2 3 2 3 2 3
2. .
2 2
+ −
   
⇔ = = → = ⇔ =
   
   


Xác định góc giữa BC và AM:
G
ọ
i J là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AD
→
MJ // AC.
Khi
đ
ó
( )

( )

ó,


1
AIM BJM AMI BMJ arccos .
2 3
 
∆ = ∆ → = =
 
 

V
ậ
y
( )

1
AC;BM arccos .
2 3
 
=
 
 

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A
′
′′
′
B
′

AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .

b) G
ọ
i O là tâm c
ủ
a hình vuông ABCD và I là m
ộ
t
đ
i
ể
m sao cho
′ ′
= + + + +
OI OA OA OB OB
    

′ ′
+ + + +
OC OC OD OD .
   

Tính khoảng cách từ O đến I theo a.
c) Phân tích hai véc tơ
′
AC , BD
 
theo ba véc tơ
a, b, c.

ấ
t c
ơ
b
ả
n c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng:

T
ấ
t c
ả
các
đườ
ng chéo
ở
các m
ặ
t c
ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng

ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng luôn vuông góc v
ớ
i nhau (dài, r
ộ
ng, cao).
a) Tính góc giữa:
( )

( )

( )

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
AB,B C ; AC,B C ; A C ,B C .


Tính
( )

AB,B C
′ ′
:
( )

( )
ABCD là hình vuông nên
∆
ABC là tam giác vuông cân t
ạ
i B

( )

o o
ACB 45 AC,B C 45 .
′ ′
→ = ⇔ =


Tính
( )

A C ,B C
′ ′ ′
:
( )

( )



o
ACB

p ph
ươ
ng).
Do
đ
ó
∆
ACB
′

đề
u

( )

o o
ACB 60 A C ,B C 60 .
′ ′ ′ ′
→ = ⇔ =

b) Tính độ dài OI theo a.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Với O là tâm của hình vuông ABCD thì
OA OC 0
OA OC OB OD 0
OB OD 0


′
C
′
D
′
, theo quy t
ắ
c trung tuy
ế
n ta có
OA OC 2OO
OI 4OO
OB OD 2OO

′ ′ ′
+ =

′
→ =

′ ′ ′
+ =


  
 
  

Kho
ả

ủ
a hình l
ậ
p ph
ươ
ng ta d
ễ
dàng có
a.b 0
a.c 0
b.c 0

=


=


=


 
 
 


Phân tích:
AC AB BC CC a b c
BD BA AD b a
′ ′


d) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC
′
′′
′
vuông góc v
ớ
i MN.
Ta có phân tích:
MN MC CB BN
AC AB BC CC
= + +
′ ′
= + +
   
   

( ) ( )
0 0 0 0
MN.AC MC CB BN . AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CC
BN.AB
   
′ ′ ′ ′
→ = + + + + = + + + + + +
   
   

 
   
 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp
S.ABCD
có
ABCD
là hình ch
ữ
nh
ậ
t v
ớ
i
; 3
AB a AD a
= = , SA = 2a và vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Tính
góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng sau:

đ
i
ể
m c
ủ
a SD. Tính góc gi
ữ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng:
a) SC và AB b) SD và BC
c) CI và AB d) BD và CI
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang vuông t
ạ
i A, B v
ớ
i AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chi
ế
u
vuông góc c
ủ
a S xu
ố
ng m
ặ
t ph

c) (SD; BC)
d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với
1
.
2
=
AH HB
Biết
2 ; 3; 2.
= = =AB a AD a SH a
Tính góc giữa
a) (SD; BC)
b) (SB; CD)
c) (SA; HC)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB =
a;
2.
BC a=
Gọi I là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC)
b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và
JN.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có
; 3.
AB a AD a= = Hình chiếu vuông góc
c

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu
vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với
2 0
HI HA
+ =
  
và
3.
SH a=
a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC)
b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
(ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với
1
; 2 .
4
AH AC SH a
= = Tính góc gi
ữ
a
a)
(SA; CD)
b)
(SC; BD)
c)
(SB; AD)

(SA; BC)
b)
(SB; CD)
c)
(SA; CD)
d)
(SB; MN), v
ớ
i M và N là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC; CD.
e)
(SC; MN), v
ớ
i M, N nh
ư
trên.
Bài 7.
Cho hình chóp S.ABC có
đ
áy ABC là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Hình chi
ế

a
a)
(SA; BC)
b)
(SB; AC)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG



Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
Viết dạng mệnh đề:
( )
(
)
//
//
a P
d P
d a

n n
ế
u có c
ủ
a hai m
ặ
t
ph
ẳ
ng ph
ả
i song song v
ớ
i a và b.
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
(
)
(
)
(

t ph
ẳ
ng (P); m
ộ
t
m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a a, c
ắ
t (P) theo giao tuy
ế
n

thì


ph
ả
i song song v
ớ
i a.
Vi
ế
t d
ạ
ng m

ẳ
ng a vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) khi nó vuông góc v
ớ
i m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a n
ằ
m trong
(P). Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
( )
(

ứ
ng minh d vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ắ
t nhau n
ằ
m trong (P).
+ Hệ quả 2
: N
ế
u hai
đườ
ng th
ẳ
ng phân bi
ệ
t d
1
; d
2
cùng
vuông góc v
ớ
i (P) thì d


Hệ quả 4
: N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng d cùng vuông góc v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng a và m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) thì khi
đ
ó
đườ
ng
th
ẳ
ng a ho

→


⊥
⊂





+ Hệ quả 5
: N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng d có hình chi
ế
u vuông góc
xu
ố
ng (P) là d’;
đườ
ng th
ẳ
ng a n
ằ
m trong (P) vuông góc
v

ẳ
ng (ABC), tam giác ABC vuông t
ạ
i A.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác SAC vuông.
b)
Tính SA, SB, SC bi
ế
t


α; β; .
= = =
ACB ACS BC a

Ví dụ 4.
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân t
ạ
i A v
ớ
i

.
5
=
a
AD Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và DM.
c
) G
ọ
i G
1
; G
2
là tr
ọ
ng tâm các tam giác ABC và DBC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng G
1
G
2
⊥ (ABC).
Ví dụ 5.

1
D
1
// BD và SC ⊥ (AB
1
D
1
)
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các
đ
i
ể
m A, B
1
, C
1
, D
1

đồ
ng ph
ẳ
ng và t
ứ
giác AB

di
ệ
n S.ABC có SA vuông góc v
ớ
i (ABC) và

ABC vuông
ở
B. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
BC ⊥ (SAB).
b)
G
ọ
i AH là
đườ
ng cao c
ủ
a

SAB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (SBC).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

nh AB, AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ (ABCD).
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.
Bài 5.
Cho hình chóp SABCD, có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. M
ặ
t bên SAB là tam giác
đề
u; SAD là tam giác
vuông cân
đỉ
nh S. G
ọ
i I, J l
ầ
n l

c)
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
Đ
/s: a)
3
; , .
2 2
a a
a
c)
5
.
2
a

Bài 6.

i C′ là hình chi
ế
u c
ủ
a C trên MD, H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AM và CC′.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CC′ ⊥ (MBD).
b)
G
ọ
i K là hình chi
ế
u c
ủ
a H trên AB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng K là tr
ự

ng minh r
ằ
ng CD ⊥ (SAN).

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn

DẠNG 2.
XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d
1
và d
2
, ta thực hiện theo các bước sau
- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)
- khi đó,
( )

( )

,( ) ,
d P d d
′

n), khi
đ
ó
để
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a MN ta
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a t
ừ
ng
đ
i
ể
m M và N xu
ố
ng (P), t
ứ
c
là tìm các
đ
i
ể
m H, K sao cho MH
⊥

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
c) SD và (SAC)
d) AC và (SAD)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA
và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
6
=
SA a
và vuông góc với đáy. Tính góc giữa
a) SC với (ABCD).
b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Đ/s: a) 30


Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn DẠNG 3. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (nâng cao)
Ví dụ 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a, AD = 3a.
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 2HB, biết
3.
=SH a Tính góc giữa
a) SC và HD. b) SD và (ABCD).
c) SC và (SHD) d) SB và (SHD)
e) BC và (SHD) f) SB và (SAD)
g) SC và (SAD)
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,

0
120 .
=BAD Gọi H là trung
điểm OA, biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với đáy,
2.
=SH a
Tính góc
a) SD và BH. b) SB và (SAC)
c) SC và (SAD) d) SA và (SBD)
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Gọi M là trung điểm OA, điểm
N thuộc CD sao cho

ng:

03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Phương pháp:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+ Xác định giao tuyến
( ) ( )
∆ = ∩
P Q

+ Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
+ Xác định các đoạn giao tuyến thành phần:
( )

( )

( ) ( )
( );( ) ;
( ) ( )
= ∩


c) (SAB) và (ABC).
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và
2,
=SA a đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
v
ới AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC).
b) (SAB) và (SBC).
c)* (SBC) và (SCD).
Đ/s: a) 45
0
b) 60
0
c)
6
cosα
3
=
Bài 2.
Cho tứ diện
ABCD
có
ABC
là tam giác đều, ∆
DBC
vuông cân tại
D
. Biết

=
a
.
Gọi
E, F
lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB
và
AC
.
Tài liệu bài giảng:

04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Đ/s: a)

(
)
0
( ),( ) 60
=SAC SBC
b)

3
cos(( ),( )) .

⇒ =

= ∩

a R P
P Q a b
b R Q

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a.
Hình chi
ếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với
1
.
2
=
AH HB
Bi
ế
t góc gi
ữ
a
m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính góc gi

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) và góc gi
ữ
a m
ặ
t
ph
ẳ
ng (SCD) và (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính góc gi
ữ
a
a)
SD và AC.
b)
(SBC) và (ABCD).
c)
AC và (SAD).
Ví dụ 3. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC. Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AB, BC. Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI).
Hướng dẫn giải:
Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ABC là tam
giác đều.

ng:

04. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Mà
( )

( )

( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =

⇒ =

∩ =

ABC SAJ AJ
SAJ SCI AJ CI
ABC SCI CI

Do
ABC đều nên


0 0 0 0

u là SABC. Do
đặ
c tính c
ủ
a hình
chóp tam giác
đề
u t
ấ
t c
ả
c
ạ
nh bên b
ằ
ng nhau, t
ấ
t c
ả
c
ạ
nh
đ
áy
b
ằ
ng nhau. T
ừ

đ

ABC.
a)
S.ABC là chóp tam giác
đề
u nên các c
ạ
nh bên nghiêng
đề
u
v
ớ
i
đ
áy, ta ch
ỉ
c
ầ
n tính góc gi
ữ
a SA và (ABC).
A
∈
(ABC) nên hình chi
ế
u c
ủ
a A xu
ố
ng (ABC) là chính nó. Do
SH

2 3
= ⇒ = =
a
AI AH AI a

T
ừ đó ta được
0
3 3
os
α α 30
2 2
= = = ⇒ =
AH a
c
SA a

Vậy
( )

0
,( ) 30
=SA ABC

b)
Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD).
Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC.
Mà
( )
⊥

2
2 2 2
4 3
1 3
3 2

= − = − =




= =


SH SA AH a a a
a
HI AI

Khi
đ
ó,
2 3 2 3
tan
β β
arctan
3 3
3
2
 
= = = ⇒ =

SA a
và vuông góc với (ABCD). Tính góc giữa các
mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (ABC).
b) (SBD) và (ABD).
c) (SAB) và (SCD).
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có
1 2
2 2
= =
a
AO AC
Khi
đ
ó, (SAB)
∩
(ABC) = AB.
Ta có


b) (SBD) ∩ (ABD) = BD.
Ta có
( ).
⊥

⇒ ⊥

⊥

AB AC
BD SAC
AB SA
M
ặt khác,
( )

( )


( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =

⇒ = =

∩ =

SAC SBD SO

∩ =

⇒
= =

∩ =

SAD SAB SA
SAB SCD SA SD ASD
SAD SCD SD

Xét tam giác vuông SAD:
 
( )

0 0
1
tan ASD ASD 30 ( ),( ) 30
3 3
= = =
⇒ = ⇒ =
AD a
SAB SCD
SA
a

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
4 ; 4 3

a
SO Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng:
a)


0
90 .
=ASC

b)
(SAB)
⊥
(SAD).

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn + Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.

( )
( )
;
.
;
⊥ ∩ = ∆

→ ⊥

⊂ ⊥ ∆


P Q P Q
a Q
a P a

+ Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến  của (P) và
(Q) cũng phải vuông góc với (R).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
⊥

⊥ → ∆ ⊥


Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC).
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt
là hai điểm trên BC và DC sao cho
3
; .
2 4
= =
a a
MB DN Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng (SAM) ⊥ (SMN).
Ví dụ 6.
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) cho hình thoi ABCD v
ớ
i
2
, .
3
a
AB a BD= = Trên
đườ
ng th

b) (SAB) ⊥ (SAD).
Hướng dẫn giải:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Theo bài,
( )
⊥

⊥ ⇒

⊥

SO AC
SO ABCD
SO BD
.
ABCD là hình thoi nên AC
⊥ BD. Xét tam giác vuông AOB:
2
2 2 2
6 2 6
3 3 3
= − = − = ⇒ =
a a a
OA AB OB a AC
Xét tam giác vuông SOB:
2
2 2 2
6 1
3 3 2
= − = − = =

( )

( ) ( )
( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =

⇒ =

∩ =

BHD SAB HB
SAB SAD HB HD
BHD SAD HD
.
Chúng ta
đi tính góc

BHD
để xem

BHD
là góc nhọn hay tù hay vuông!!!
Xét tam giác vuông
SOA có đường cao OH:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
3
6 6
3 3

( ),( ) 90 ( ) ( ).
= ⇔ ⊥
SAB SAD SAB SAD

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình
vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng
a) (SAC) ⊥ (SBD). b) (SAD) ⊥ (SCD). c) (SCD) ⊥ (ABM).
Bài 2.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).
b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC).
d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC).
Bài 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH?
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD).
Bài 5.
Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC).
a) (ABB′) ⊥ (ACC′).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′)
và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK).
Bài 6.
Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn

để
:
a)
(ABC) ⊥ (BCD).
b)
(ABC) ⊥ (ACD).
Đ/s:

a)

2
2 2
0.
2
− + =
b
x y
b)
x
2
– y
2
+ b
2
– 2a
2
= 0.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian


Bi
ế
t góc gi
ữ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (SCD) và m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABCD) b
ằ
ng 60
0
. Tính kho
ả
ng cách
a)
t
ừ
C
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (SBD)
b)

. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SAM).
b) từ C đén (SAH)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A với
3; .
= =
AB a AC a
Gọi I là điểm trên BC
sao cho
1
2
=
BI IC
và H là trung điểm của AI. Biết rằng
( )
⊥
SH ABC
và góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABC) b
ằng 60
0
. Tính khoảng cách
a) từ B đến (SHC).
b) từ C đến (SAI)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông chữ nhật, AB = 2a, AD = 3a. Hình chiếu vuông góc của
S lên (ABCD) là
điểm H thuộc đoạn AB sao cho
2
HB HA
=

ướ
ng d
ẫ
n: (Các em t
ự
v
ẽ
hình nhé)
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:

06. KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN – P1

Thầy Đặng Việt Hùng