CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2013 - 2014
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
TRONG KHÔNG GIAN
BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG
HÀ N
ỘI, 8/2013
0IA IB+ =
>
2OA OB OI+ =
-Hệ thức trọng tâm tam giác:.?9$@ %:%12.<*3+(
=4,
0; 3GA GB GC OA OB OC OG+ + = + + =
-Hệ thức trọng tâm tứ diện:.?9$@ %:A"B12.6<*3+(
=4,
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG+ + + = + + + =
-Điều kiện hai vectơ cùng phương:
( 0) ! :≠ ⇔ ∃ ∈ =
a vaø b cuøng phöông a k R b ka
-Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số kC≠D<*3+(
=4,
;
1
E'
x
*3+(
K4,∃L%∈M,
x ma nb pc= + +
3. Tích vô hướng của hai vectơ
• Góc giữa hai vectơ trong không gian:
0 0
, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC= = ⇒ = ≤ ≤
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNN
•Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
-.
, 0u v ≠
./Q<<!<R*4J*S%7$*%70%T<(?@
, ,i j k
9$
AUQ<<!<R(VB/QW!@9$B@7U*4<!R&X9$B
@7<!R(
Chú ý,
2 2 2
1i j k= = =
$
. . . 0i j i k k j= = =
(
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
b) Tính chất:.
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R= = ∈
•
1 1 2 2 3 3
( ; ; )a b a b a b a b± = ± ± ±
•
0 (0; 0; 0), (1; 0;0), (0;1; 0), (0; 0;1)i j k= = = =
•
a
H
( 0)b b ≠
⇔
( )a kb k R= ∈
1 1
1 2 3
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
, ( , , 0)
a kb
a a a
a kb b b b
b b b
a kb
•
2 2 2
1 2 2
a a a a= + +
•
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
a b
a b
a b
a a a b b b
+ +
= =
+ + + +
(với
, 0a b ≠
••
•
M
∈
Ox
⇔
y = z = 0; M
∈
Oy
⇔
x = z = 0; M
∈
Oz
⇔
x = y = 0
b) Tính chất: .
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
•
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −
•
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
•=;7@ %?:%12.,
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
•=;7@ %?:A"B12.6,
2 3 3 1 1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
= ∧ = = − − −
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
•
, ; , ; ,i j k j k i k i j
$
c
E'⇔
[ , ]. 0
a b c =
•Diện tích hình bình hành ABCD:
,
ABCD
S AB AD
=
▱
•
Diện tích tam giác ABC:
1
,
2
ABC
S AB AC
∆
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
•
Thể tích tứ diện ABCD:
1
[ , ].
6
ABCD
V AB AC AD=
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai
đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình
hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương. . 0
, 0
, , , . 0
a b a b
a vaø b cuøng phöông a b
a b c ñoàng phaúng a b c
⊥ ⇔ =
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 1. ./
, ,a b c
(=5%m, n0
,c a b
=
,
D
( ) ( ) ( )
3; 1; 2 , 1;2; , 5;1; 7a b m c= − − = =
/D
( ) ( ) ( )
6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10a m b n c= − = − =
HT 2. _I#E':/
, ,a b c
%`aI* !,
D
/D
(2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)a m m b m m c m m= + − = + + = +
HT 4. .
, , ,a b c u
(.A % /
, ,a b c
E'( 20*"b
u
, ,a b c
,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNc
D
( ) ( ) ( )
2;1;0 , 1; 1;2 , 2;2; 1
(3;7; 7)
= − −
HT 5. .Ad/T
, , ,a b c d
E',
D
( ) ( ) ( )
2; 6;1 , 4; 3; 2 , 4; 2;2 , ( 2; 11;1)a b c d= − − = − − = − − = − −
/D
( ) ( ) ( )
2; 6; 1 , 2;1; 1 , 4;3;2 , (2;11; 1)a b c d= − = − = − = −
HT 6. ./
, ,a b c
E'$
( 1;1; 3)M − −
"D
(1;2; 1)M −
HT 9. _'$:/7/0%I*,
D
(1;3;1), (0;1;2), (0; 0;1)A B C
/D
(1;1;1), ( 4;3;1), ( 9;5;1)A B C− −
HT 10. ./0%12.(
•.Ad/0%12.;$%7%(
•=5%;7@ %?:∆12.(
•_0%6I12.69$5/5$(
D
(1;2; 3), (0; 3;7), (12;5;0)A B C−
/D
(0;13;21), (11; 23;17), (1; 0;19)A B C−
D
(3; 4; 7), ( 5;3; 2), (1;2; 3)A B C− − − −
"D
(4;2; 3), ( 2;1; 1), (3;8;7)A B C− −
HT 11. =UQ<!(Ox)5%0%*0%,
D
(3;1;0)A
( 2;4;1)B −
/D
(2; 5; 3), (1; 0;0), (3; 0; 2), ( 3; 1;2)A B C D− − − −
/D
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0; 0;1 , 2;1; 1A B C D − −
D
( ) ( ) ( ) ( )
1;1; 0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1A B C D
"D
( ) ( ) ( ) ( )
2; 0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6A B C D
HT 15. .5712.6(1j2j.j6j(
•=5%;7[k9;(
•=0T7(
D
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;1 , 2;1;2 , 1; 1;1 , ' 4;5; 5A B D C− −
/D
2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C A( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), '( ; ; )− − − −
D
(0;2;1), (1; 1;1), (0;0; 0;), '( 1;1; 0)A B D A− −
"D
(0;2;2), (0;1;2), ( 1;1;1), '(1; 2; 1)A B C C− − −
HT 16. ./T0%^CY>>lND1Cc>Y>D2CN>Y>l\D.C>N>mD(
D.A%^1⊥C^2.D^2⊥C^1.D^.⊥C^12D(
/D.A%^(12.9$%754*(
D_;7 aV:54(^*!7"$a^V(
– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
CqD(
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d
⇒
Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5:(S)p*/0%12.$4 %8r%U%&'CDJ,
Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6:(S)4 %8$FGJ%&]*(T)J,
– Xác định tâm J và bán kính R
′
của mặt cầu (T).
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + =
J
2 2 2
0a b c d+ + − >
thì (S) có %I(–a; –b; –c)$/R =
2 2 2
a b c d+ + −
.
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 17. =5% %$/:%&]*I*,
(3; 2;1), (2;1; 3)I A− −
HT 20. OF5%&]*4a12J,
D
(2; 4; 1), (5;2; 3)A B−
/D
(0;3; 2), (2;4; 1)A B− −
D
(3; 2;1), (2;1; 3)A B− −
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNs
HT 21. OF5%&]*;FA"B12.6J,
D
( ) ( ) ( ) ( )
1;1; 0 , 0;2;1 , 1;0;2 , 1;1;1A B C D
/D
( ) ( ) ( ) ( )
2; 0;0 , 0;4;0 , 0;0;6 , 2;4;6A B C D
HT 22. OF5%&]*p*/0%12.$4 %r%%&'CDJJ,
D
(1;2;0), ( 1;1; 3), (2;0; 1)
( ) ( )
A B C
P Oxz
− −
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
/D
2 2 2
( 3;2;2)
( ) : 2 4 8 5 0
I
T x y z x y z
−
+ + − + − + =
•tF*CαD45
0Ax By Cz D+ + + =
5
( ; ; )n A B C=
9$%7O==:CαD(
•5%&'p*
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$4%7O==
( ; ; )n A B C=
9$,
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =
3. Các trường hợp riêng
Chú ý:
•
Nếu trong phương trình của (
α
) không chứa ẩn nào thì (
α
) song song hoặc chứatrục tương ứng.
•
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
(α) // Oy hoặc (α) ⊃ Oy
C = 0
(α) // Oz hoặc (α) ⊃ Oz
A = B = 0
(α) // (Oxy) hoặc (α) ≡ (Oxy)
A = C = 0
(α) // (Oxz) hoặc (α) ≡ (Oxz)
B = C = 0
(α) // (Oyz) hoặc (α) ≡ (Oyz)
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
•
(
α
), (
β
) cắt nhau
⇔
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C≠
•
(
α
)
⊥
(
β
)
⇔
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C+ + =
5. Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) đến mặt phẳng (
α
αα
α
): Ax + By + Cz + D = 0
( )
0 0 0
α
):
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
Dạng 2:(
α
) p*0%
( )
0 0 0
; ;M x y z
4&O=.
,a b
,
Khi đó một VTPT của (
α
) là
,n a b
=
.
Dạng 3: (
α
) p*0%
– Trên (d) lấy điểm A và VTCP
u
.
– Một VTPT của (
α
) là:
,n AM u
=
Dạng 6:(
α
) p*%70%Z$*4J%7a'C"D,
VTCP
u
của đường thẳng (d) là một VTPT của (
α
).
Dạng 7:(
α
)p*Na'e*"
"
N
).
Dạng 8:(
α
)Aa'"
$IIJa'"
N
(d
1
, d
2
chéo nhau),
lXác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNm
– Một VTPT của (
α
) là:
,n a b
=
α
) là:
,n a b
=
.
Dạng 10:(
α
)p*%7a'C"D$*4J%7%&'CβD,
– Xác định VTCP
u
của (d) và VTPT
n
β
của (
β
).
– Một VTPT của (
α
) là:
,n u n
β
=
.
Dạng 12:(
α
)p*a'C"DJ$0%ZJ%7XJ,
l Giả sử (
α
)có phương trình:
Ax z+D
0By C+ + =
( )
2 2 2
0A B C+ + ≠
.
– Lấy 2 điểm A, B
∈
(d)
⇒
A, B
∈
(
α
) (ta được hai phương trình (1), (2)).
– Từ điều kiện khoảng cách
( ,( ))d M k
α
=
, ta được phương trình (3).
– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
/D
(1; 1; 4), (2; 0;5)A B− −
D
(2; 3; 4), (4; 1; 0)A B− −
HT 26. OF5%&'p*0%Z$4&O=.
,a b
JJ,
D
(1;2; 3), (2;1;2), (3;2; 1)M a b− = = −
/D
(1; 2; 3), 3; 1; 2), (0; 3; 4)M a b− = − − =
HT 27. OF5%&'CαDp*0%Z$IIJ%&'
( )
β
JJ,
D
( ) ( ) ( )
2;1;5 ,M Oxy
β
=
/D
( ) ( )
(1; 2; 4), (3;2; 1), ( 2;1; 3)A B C− − − −
/D
(0;0; 0), ( 2; 1;3), (4; 2;1)A B C− − −
HT 31. OF5%&'CαDp*0%12$*4J%&'CβDJJ,
D
( )
(3;1; 1), (2; 1;4)
: 2 3 1 0
A B
x y z
β
− −
− + − =
/D
( )
( 2; 1;3), (4; 2;1)
: 2 3 2 5 0
A B
x y z
β
HT 32. OF5%&'CαDp*0%Z$*4J%&'CβDCγDJJ,
D
( )
( )
( 1; 2;5), : 2 3 1 0, : 2 3 1 0M x y z x y z
β γ
− − + − + = − + + =
/D
( )
( )
(1; 0; 2), : 2 2 0, : 3 0M x y z x y z
β γ
− + − − = − − − =
HT 33. OF5%&'CαDp*0%Z$*!F:%&'CDCPDJJ,
D
( )
( )
( )
:
1;2; 3 , : 2 3 5 0, 3 2 5 1 0M P x y z Q x y z− − + − = − + − =
/D
( )
( )
( )
:
2;1; 1 , : 4 0, 3 1 0M P x y z Q x y z− − + − = − + − =
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
HT 37. _T:&%&'I*,
D
2 3 2 5 0
3 4 8 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ − − =
/D
3 4 3 6 0
3 2 5 3 0
x y z
x y z
− + + =
+ − + =
/D
5 2 11 0
3 5 0
x y mz
x ny z
− + − =
+ + − =
D
2 3 5 0
6 6 2 0
x my z
nx y z
/D
(2 1) 3 2 3 0
( 1) 4 5 0
m x my z
mx m y z
− − + + =
+ − + − =
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
•
Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
MH n cuøng phöông
H P
∈
•
Điểm M
′
đối xứng với điểm M qua (P)
⇔
2MM MH
′
=
BÀI TẬP
HT 40. .%&'CD$0%Z(
•=XSZFCD( •=5%;75F*V:ZUCD(
− + + =
− + − =
D
2 4 5 0
3 5 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 42. =5%0%ZUQOx(Oy, Oz)*0%t$%&'CD,
D
( ) : 2 2 5 0, (1;2; 2)P x y z N+ + − = −
/D
+ − + =
+ + − =
D
2 4 5 0
4 2 1 0
x y z
x y z
− + + =
+ − − =
HT 44. =5%5wp*:%&'CDp*0%1$IIJ%&'CPDJ(=
XvCD$CPD,
D
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
(
β
):
2 2 2 2
0A x B y C z D+ + + =
Góc giữa (
α
), (
β
) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT
1 2
,n n
.
( )
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos ( ),( )
.
.
n n A A B B C C
n n
+ − + =
− + − =
/D
2 2 1 0
2 2 5 0
x y z
x y z
+ − + =
+ + − =
D
2 4 5 0
4 2 1 0
D
2 2 3 0
2 2 12 0
x y z
y z
− − + =
+ + =
xD
3 3 3 2 0
4 2 4 9 0
x y z
x y z
− + + =
+ + − =
2 12 0
7 0
45
mx y mz
x my z
α
+ + − =
+ + + =
=
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
•Phương trình tham số:a'dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
•tF*
1 2 3
0a a a ≠
5
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
d
a a a
− − −
= =
được gọi là phương trình chính tắc của d.
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
.a'dd
′
45%IT9]99$,
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
= +
= +
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VƠ BỜ - CHUN CẦN SẼ ĐẾN BẾN\
•
d // d
′
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
⇔
0 0 0 0
,
( ; ; )
′
′
∉
a a cùng phương
M x y z d
⇔
0 0
,
,
′
a a
a M M•
d
≡
d
′
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
( , )
′ ′ ′
+ = +
∈
a a cùng phương
M x y z d
⇔
0 0
, ,
′ ′
a a M M đôi một cùng phương⇔
0 0
, , 0
′ ′
= =
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
(ẩn t, t
′
) có đúng một nghiệm
⇔
0 0
,
, ,
′
′ ′
a a không cùng phương
a a M M đồng phẳng
•
d, d
′
chéo nhau
⇔
0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
,
( , )
′
′ ′ ′
+ = +
′ ′ ′ ′
+ = +
⇔
0 0
, . 0
′ ′
≠
a a M M•
d
⊥
d
′
⇔
a a
′
⊥
⇔
. 0a a
′
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( ) 0
A x ta B y ta C z ta D
+ + + + + + =
CytD CqD
•
d // (
α
)
⇔
(*) vơ nghiệm
•
d cắt (
α
)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
•
d
⊂
(
α
)
⇔
(*) có vơ số nghiệm
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
•
d và (S) không có điểm chung
⇔
(*) vô nghiệm
⇔
d(I, d) > R
•
d tiếp xúc với (S)
⇔
(*) có đúng một nghiệm
⇔
d(I, d) = R
•
d cắt (S) tại hai điểm phân biệt
⇔
(*) có hai nghiệm phân biệt
⇔
d(I, d) < R
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
.a'dp*M
0
$4O=.
a
$0%Z(
0
,
$4O=.
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
=
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
2
2
bằng hoặc bù với góc giữa
1 2
,a a
.
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
a a
a a
a a
=
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1:dp*0%
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
$4O=.
1 2 3
( ; ; )a a a a=
,
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t R
z z a t
= +
= + ∈
– Tìm toạ độ một điểm A
∈
d: bằng cách giải hệ phương trình
( )
( )
P
Q
(với việc chọn giá trị cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d:
,
P Q
a n n
=
•
Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
*4$ea'
∆
.
•
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên đường thẳng
∆
.
0
H
M H u
∈ ∆
⊥
△
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M
1
, M
2
thẳng hàng ta tìm được M
1
, M
2
. Từ đó suy ra phương trình
đường thẳng d.
•
Cách 2: Gọi (P) =
0 1
( , )M d
, (Q) =
0 2
( , )M d
. Khi đó d = (P)
∩
(Q). Do đó, một VTCP của d có thể chọn là
,
P Q
a n n
=
.
Dạng 9:dr%%&'CD$eXa'd
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 11:d9$a*4*:a'd
1
, d
2
*,
•
Cách 1: Gọi M
∈
d
1
, N
∈
d
2
. Từ điều kiện
1
2
MN d
MN d
⊥
, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d
1
.
+ Một VTPT của (P) có thể là:
1
,
P d
n a a
=
.
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
Dạng 12:d9$5F*:a'∆9U%&'CD,
•
Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa
∆
và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M
∈
1
, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
•
Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d
1
.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d
2
.
Khi đó d = (P)
∩
(Q).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 49. OF5%IT:a'p*0%Z$4O=.
a
J,
D
(1;2; 3), ( 1;3;5)M a− = −
/D
(0; 2; 5), (0;1;4)M a− =
D
(1; 3; 1), (1;2; 1)M a− = −
A , 1;2; 7 1;2; 4B−
xD
( ) ( )
, 2;1;3 4;2; 2A B− −
HT 51. OF5%IT:a'p*0%1$IIJa'∆J,
D
( )
, 3;2; 4A Ox− ∆ ≡
/D
( )
2; 5; 3 , (5;3;2), (2;1; 2)A qua M N− ∆ −
D
2 3
(2; 5;3), : 3 4
5 2
x t
A y t
z t
= −
− ∆ = +
( ) : 3 5 2 1 0
P x y z
Q x y z
+ + + =
− − − =
/D
( ) : 2 3 3 4 0
( ) : 2 3 0
P x y z
Q x y z
− + − =
+ − + =
D
( ) : 1 0
( ) : 2 0
P x z
Q y
+ − =
− =
xD
( ) : 2 1 0
( ) : 1 0
P x y z
Q x z
+ + − =
/D
1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = +
− = − + = − +
= = +
D
1 2
1 1
(1; 2;3), : 2 2 , : 2
= − = − +
= + = − −
HT 55. OF5%IT:a'p*0%1*4$ea'∆J,
D
(1;2; 2), : 1
2
x t
A y t
z t
=
− ∆ = −
=
z t
= +
− − ∆ = +
= − +
"D
(3;1; 4), : 1
2
x t
A y t
z t
=
− ∆ = −
/D
1 2
1 1 3
(2; 1;1), : 2 , : 2
3 3
x t x t
A d y t d y t
z z t
= + = +
− = − + = − +
= = +
D
1 2
1 3 2 2
( 4; 5;3), : 3 2 , : 1 3
− = − + =
= − + =
HT 57. OF5%IT:a'r%%&'(P)$eXa'd
1
, d
2
J,
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNu
D
1 2
( ) : 2 0
2
1
: , : 4 2
1 1 4
1
P y z
x t
/D
1 2
( ) : 6 2 2 3 0
1 2 1
: 3 2 , : 2
1 1 3
P x y z
x t x t
d y t d y t
z t z t
+ + + =
= + = −
= − + = +
= − = − +
= + = − −
"D
1 2
( ) : 3 3 4 7 0
1 1
HT 58. OF5%IT:a'IIJa'∆$eXa'd
1
, d
2
J,
D
1
2
1 1
:
2 1 2
1 1
:
1 2 1
2 1 3
:
3 2 1
x y z
x y z
d
x y z
d
3 1 1
1 2 2
:
1 4 3
4 7
:
5 9 1
x y z
x y z
d
x y z
d
− −
∆ = =
−
− + −
= =
+ +
− + −
= =
+ +
= =
"D
1
2
1 3 2
:
3 2 1
2 2 1
:
3 4 1
7 3 9
:
1 2 1
HT 59. OF 5 % IT : a ' * 4 * : a ' * d
1
, d
2
J,
D
1 2
3 2 2 3
: 1 4 , : 4
2 4 1 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= − = +
= + = −
= − + = −
/D
= + = +
= + = +
= − = +
"D
1 2
2 3 1 2
: 3 , : 1 2
1 2 2
x t x t
d y t d y t
z t z t
= + = − +
= − − = −
/D
3 2 2
:
1 2 3
( ) : 3 4 2 3 0
x y z
P x y z
− − +
∆ = =
−
+ − + =
D
1 1 3
:
1 2 2
( ) : 2 2 3 0
x y z
P x y z
−
+ − + =
HT 61. OF5%IT:a'p*0%1*4Ja'd
1
$ea'
d
2
J,
D
1 2
1
1 2
(0;1;1), : , :
3 1 1
1
x
x y z
A d d y t
z t
= −
− +
= = = +
−
= − −
D
1 2
1 4 1 1 3
( 1;2; 3), : , :
6 2 3 3 2 5
x y z x y z
A d d
+ − − + −
− − = = = =
− − −
VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
•
Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.
•
"D
1 2
1 2 3 7 6 5
: ; :
9 6 3 6 4 2
x y z x y z
d d
− − − − − −
= = = =
HT 63. .Adr&a'I* !*(OF5a*4*:G,
D
{ {
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − − = = + = −
/D
{ {
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4d x t y t z t d x t y t z= + = − = − = = − =
D
{ {
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − = + = − = −
HT 64. =5%0%:a'd
1
và d
2
và d
2
e*(K45%;70%:G,
D
{ {
1 2
: 1 ; ; 1 2 ; : 1 '; 2 2 '; 3 'd x mt y t z t d x t y t z t= + = = − + = − = + = −
/D
{
{
1 2
: 1 ; 3 2 ; ; : 2 '; 1 '; 2 3 'd x t y t z m t d x t y t z t= − = + = + = + = + = −
D
1 2
2 4 0 2 3 0
: ; :
3 0 2 6 0
x y z x y mz
d d
x y x y z
+ − − = + + − =
+ − = + + − =
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =
"D
11 3
: ; ( ) : 3 3 2 5 0
2 4 3
x y z
d P x y z
+ −
= = − + − =
D
13 1 4
: ; ( ) : 2 4 1 0
8 2 3
x y z
d P x y z
− − −
= = + − + =
xD
3 5 7 16 0
: ; ( ) : 5 4 0
2 6 0
x y z
d P x z
x y z
HT 67. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
Dde(P). Ddzz(P)( Dd⊥(P). Dd⊂(P).
D
1 2 3
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 1 2
x y z
d P x y z
m m
− + +
= = + − − =
−
/D
1 3 1
: ; ( ) : 3 2 5 0
2 2
x y z
d P x y z
m m
+ − −
= = + + − =
−
HT 68. .a'd và %&' (P)(=5%m, n 0,
D
{
d
x z
+ − =
− − =
e
( ) : 0P x y z m+ + + =
VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách
1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
•
Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M
0
và có VTCP
a
.
0
,
( , )
H. Do đó d(M,d) = MH.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d
1
và d
2
.
d
1
đi qua điểm M
1
và có VTCP
1
a
, d
2
đi qua điểm M
2
và có VTCP
2
a
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
thẳng kia.
4. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (
α
) song song với nó bằng khoảng cách từ một điểm M bất kì trên d
đến mặt phẳng (
α
).
BÀI TẬP CƠ BẢN
HT 69. =XS0%1Fa'd,
D
1 4
(2;3;1), : 2 2
4 1
x t
A d y t
z t
= −
= +
= −
= =
"D
2 1 1
(2; 3;1), :
1 2 2
x y z
A d
+ − +
= =
−
HT 70. .A%a'd
1
, d
2
*(=XvG,
D
{ {
1 2
: 1 2 ; 3 ; 2 3 ; : 2 '; 1 '; 3 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − − = = + = −
/D
{ {
1 2
: 1 2 ; 2 2 ; ; : 2 '; 5 3 '; 4d x t y t z t d x t y t z= + = − = − = = − =
D
{ {
1 2
: 3 2 ; 1 4 ; 4 2; : 2 3 '; 4 '; 1 2 'd x t y t z t d x t y t z t= − = + = − = + = − = −
: 1 2 ; ; 2 2 ; ( ) : 8 0d x t y t z t P x z= − = = + + + =
D
2 1 0
: ; ( ) : 2 2 4 5 0
2 3 0
x y z
d P x y z
x y z
− + + =
− + + =
+ − − =
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾNNY
VẤN ĐỀ 6: Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d
1
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP
1 2 3
( ; ; )a a a a=
và mặt phẳng (
α
) có VTPT
( ; ; )n A B C=
.
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
α
) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d
′
của nó trên (
α
).
( )
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin ,( )
.
Aa Ba Ca
d
: ; : 9 ; 5 ; –3
2 3 0
x y z
d d x t y t z t
x y z
− − − =
= = = +
− + + =
HT 74. .A%a'I**4J*,
D
1 2
7 2 15 0 7 0
: ; :
7 5 34 0 3 4 11 0
x z x y z
d d
y z x y
− − = − − − =
: 1; 2 5; 3 ; ( ) : 5 4 0d x y t z t P x z= = + = + + + =
D
4 2 7 0
: ; ( ) : 3 – 1 0
3 7 2 0
x y z
d P x y z
x y z
+ − + =
+ + =
+ − =
VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác
1. Viết phương trình mặt phẳng
•
Dạng 1: Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
– Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C.
GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899
∈
(P).
– Một VTPT của (P) là:
,n a AB
=
.
•
Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau d
1
, d
2
:
– Lấy điểm A
∈
d
1
(hoặc A
∈
d
2
)
⇒
A
∈
chéo nhau):
– Xác định các VTCP
,a b
của các đường thẳng d
1
, d
2
.
– Một VTPT của (P) là:
,n a b
=
.
– Lấy một điểm M thuộc d
1
⇒
M
∈
(P).
•
Dạng 5: Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d
1
, d
H d
MH a
∈
⊥
3. Điểm đối xứng M' của một điểm M qua đường thẳng d
•
Cách 1: – Tìm điểm H là hình chiếu của M trên d.
– Xác định điểm M
′
sao cho H là trung điểm của đoạn MM
′
.
•
Cách 2: – Gọi H là trung điểm của đoạn MM
′
. Tính toạ độ điểm H theo toạ độ của M, M
Copyright: Tài liệu đại học ©