Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên(vòng 2)
Bµi 1. Cho phương trình x
4
+ 2mx
2
+ 4 = 0. Tìm giá trị của tham số m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, x
3
, x
4
thỏa mãn x
1
4
+ x
2
4
+ x
3
4
+ x
4
4
= 32.
Bµi 2. Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
2 5 2 0

= + − + −
.
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2003 Đại học khoa học tự nhiên
Bµi 1. Giải phương trình
2
5 2 1 7 110 3( )( )x x x x+ − + + + + =
.
Bµi 2. Giải hệ phương trình
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x yx
y xy

+ =

+ =

Bµi 3. Tím các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức :
2 2 2
2 1 2y x x y x y xy
+ + + = + +
.
Bµi 4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. M, N là hai điểm trên nửa đường tròn (O)
sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B đến đường thẳng MN bằng
3R
a) Tính độ dài MN theo R.
b) Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I. Giao điểm của các đường thẳng AM và BN
là K. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn , Tính bán kính

Bµi 3. Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10. Sắp xếp 10 số đó một cách tùy ý vào một
hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được 10 tổng. Chứng minh rằng
trong 10 tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.
Bµi 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
4 3 16 or 5ba b c
P
b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + −
Trong đó
a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bµi 5. Đường tròn (C) tâm I nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương
ứng tại A’, B’, C’ .
a) Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh rằng các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy.
b) Kðo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng
.IB IC
r
ID
=
trong đó r là bán kính đường tròn (C) .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên
Bµi 1. a) Giải phương trình :
8 5 5x x+ + − =
b) Giải hệ phương trình :
{
1 1 8
1 1 17
( )( )
( ) ( )

nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi
M và N thay đổi.
c) Ký hiệu diện tích của ∆ APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S’. Chứng minh rằng tỷ
số
'
S
S
không đổi khi M, N thay đổi.