PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CƠ HỌC KẾT CẤU
TÀU THỦY
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP. HỒ CHÍ MINH
6-2009
TRẦN CÔNG NGHỊ , ĐỖ HÙNG CHIẾN (trang này để trống)

2

TRẦN CÔNG NGHỊ, ĐỖ HÙNG CHIẾN
2. Các phương pháp nhóm trọng hàm dư 23
Chương 2 Phương pháp sai phân hữu hạn 32
1. Hàm một biến 32
2. Phương pháp lưới cho bài toán 2 chiều 37
3. Xoắn dầm 41
4. Bài toán trường 2D với biên cong 42
5. Phương pháp sai phân hữu hạn trên cơ sở phép biến phân 44
6. Dao động dầm 51
7. Dao động tấm 52
8. Ổn định tấm 54
Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn 57
1. Phương pháp phần tử hữu hạn 57
2. Thứ tự giải bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 59
3. Ma trận cứng phần tử. Ma trận cứng hệ thống 61
4. Áp đặt tải 63
5. Xử lý điều kiện biên 65
6. Giải hệ phương trình đaị số tuyến tính 66
7. Những phần tử thông dụng trong cơ học kết cấu 70
8. Trạng thái ứng suất phẳng. Trạng thái biến dạng phẳng 82
9. Tấm chịuu uốn 88
10. Vật thể 3D 93
11. Nén ma trận. Khối kết cấu 95
12. Sử dụng phần mềm SAP và ANSYS tính toán kết cấu 103
13. Phân tích kết cấu bằng ngôn ngữ MATLAB 112
14. Dao động kỹ thuật 142
Chương 4 Tính toán độ tin cậy 163
1. Độ tin cậy 164
2. Tính toán độ tin cậy 164
3. Xác định chỉ số an toàn, xác suất hư hoại 165
4. Phép tính thống kê và biến ngẫu nhiên 170

p
momen quán tính trong hệ độc cực, polar moment of inertia
K, k hệ số, coefficient
K, k độ cứng
L, l chiều dài, length
M momen, moment
m khối lượng, mass
N lực dọc trục, axial force
P tải, load
P công suất, power
p áp suất, pressure
Q tải, load
q tải phân bố, distributed load
R hàm sai số, residual function
R, r bán kính, radius
S diện tích, area
T, M
T
momen xoắn, torque, couple
t chiều dày, thickness
t thời gian, time
U thế năng, potential energy
u
0
thế năng đơn vị, strain energy per unit volume
V lực cắt, shear force
W trọng lượng, weight
W,w công ngoại lực, work
α góc nói chung, angle generally
β góc nói chung, angle generally

phép biến phân cùng các ứng dụng để giải bài toán cơ học chất rắn nói chung, dầm và tấm nói riêng,
là phần cần để ý của chương. Các phương pháp có sử dụng hàm thử song không qua giai đoạn tính
biến phân giới thiệu cùng chương mang tên gọi chung là phương pháp trọng hàm dư.
Chương tiếp theo giới thiệu phương pháp sai phân hữu hạn hiện là phương pháp hữu hiệu trong
toán tính và trong cơ học. Tại chương này người đọc gặp cách xây dựng bài toán và giải bài toán cơ
học kết cấu theo cách làm quen thuộc trước nay. Phương pháp sai phân hữu hạn đang phát huy tác
dụng lớn ngày nay và chắc còn tác dụng dài lâu. Bên cạnh đó những cách làm theo hướng đổi mới
thủ tục tính toán cho phương pháp truyền thống trình bày trong chương này giúp bạn đọc xem xét vấn
đề đầy đủ, có tính thời sự. Có thể phát biểu rằng những cách làm mới không thay đổi nội dung phương
pháp sai phân hữu hạn song làm cho nó bắt kịp tiến bộ trong lĩnh vực toán tính.
Những cơ sở của phương pháp tính phần tử hữu hạn và ứng dụng của nó xử lý những bài toán cơ
học kết cấu giới thiệu trong sách giúp bạn đọc làm quen và có điều kiện nâng cao khả năng tính toán
theo phương pháp rất hữu hiệu này.
Chương bốn trình bày các phương pháp tính đang dùng phổ biến trong môn học “Độ tin cậy kết
cấu”. Các thủ tục tính trình bày tại đây giúp người đọc xác định đúng và nhanh trong điều kiện có thể
các thông số liên quan độ tin cậy kết cấu dân dụng nói chung và của tàu thủy nói riêng.
Mỗi chương của sách ngoài phần lý thuyết và hướng dẫn tính toán đều có những ví dụ minh họa.
Những người chuẩn bị sách cố ý trình bày những ví dụ độ phức tạp không cao, người đọc dễ dàng
kiểm tra bằng các phép tính thủ công. Tuy nhiên, với các bài toán động lực học, khối lương tính toán
thường lớn, đề nghị bạn đọc sử dụng công cụ tính thích hợp khi tìm
trị riêng và vecto riêng.
Những người viết
Biểu thức (b) được hiểu cụ thể theo cách diễn giải tại hình 1.1:
Điều kiện động học u = u
*
tại S
u
;
Điều kiện động lực học q = q
*
tại S
p.
L và B là những toán tử vi phân.
Toán tử thường gặp có thể là ∇, ∇
2
, ∇
4
= ∇
2
∇
2
1 PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN
Phép tính biến phân liên quan vấn đề xác định cực trị, tức maximum hoặc minimum của các
phiếm hàm. Phiếm hàm (functional) hiểu là hàm của các hàm. Trong chừng mức nhất định phiếm hàm
có nét tương đồng với hàm số chúng ta vẫn quen, điểm khác nhau cần nhắc đến, hàm số theo nghĩa
thông thường là hàm của các biến, còn hàm đóng vai trò phiếm hàm của các hàm.
Việc chính của tính toán biến phân là tìm hàm, ví dụ hàm u(x), với x – biến độc lập, để phiếm
hàm
dưới dạng tích phân giới hạn x
1
, x
2

u

7
trong đó u(x) – nghiệm chính xác, nếu tồn tại, δu(x) có tên gọi biến phân. δ là toán tử biến phân.
Phép tính biến phân hàm I:

(
)
()
∫∫
= dxFFdx
δδ
(1.3)
Và
()
u
dx
d
dx
du
δδ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
(1.4)


⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∫∫
x
x
x
x
Fdxdxu
u
F
u
u
F
I
δδδδ
(1.6)
1.1 PHƯƠNG PHÁP RITZ
Phương pháp Ritz xây dựng trên cơ sở phép biến phân.
Phương pháp Ritz
1
tìm cách thay thế biến u, có thể chọn ví dụ bài toán một chiều u(x), trong
phiếm hàm (1.1):
∫
=
2

. Hàm xấp xỉ u
~
liên tục
đến bậc r
-1, trong đó r – bậc đạo hàm cao nhất trong I.
Thay
u
~
vào I, công thức (1.1), tích phân I trở thành hàm của các ẩn a
i
.
Phiếm hàm
I tương đương hàm tổng thế năng Π gặp trong những bài toán cơ học kết cấu
Π
= U
– W
, trong đó U – công biến dạng
2
, W – công ngoại lực
3
. Điều kiện cần để I đạt cực trị là:

ni
a
uI
i
,,2,10
)(
L==
∂

Math. (1909).
2
strain energy
3
external work due to applied loads

8
{p} – vector ngoại lực
{
u} – vecto chuyển vị.
∫∫
−=Π
p
S
T
V
T
dSupdV }{}{}{}{
2
1
σε
(1.11)
Thay hàm Π của hàm u vào vị trí phiếm hàm I, xác định hàm u đảm bảo tổng thế năng đạt
minimum. Từ phép biến phân xác định biểu thức δΠ:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪

p
vật thể đang xem xét.
Từ đây có thể viết:
δ
U =
δ
W hoặc
δ
(U –W) = 0. (1.14)
Trường hợp bài toán ba chiều hàm chuyển vị có thể thể hiện:
{
}
[
]
T
uu wv=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
∑
∑
∑
i

Hàm cơ sở thoả mãn các điều kiện biên tại S = S
p
+ S
u
. Biến phân hàm chuyển vị xác định như
sau:
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
=
=
∑
∑
∑
i
ii
i
ii
i
ii
zyxc
zyxb
zyxau
),,(w
),,(v

⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
2
2
2
0
21 z
w

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

9
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
∂
∂
+
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂

zy
u
x
U
xyyzzxzyx
∫∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
⎟
⎟
⎠
⎞

= vvv
δδτδδτδδτδσδσδσδ

Thay giá trị
δu, δv, δw từ biểu thức (1.16) vào phương trình xác định δU và δW tiếp tục xác định
biến phân
δΠ, nhận được công thức sau của phương pháp Ritz.
∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Π∂
+
∂
Π∂
+
∂
Π∂
=Π
i
i
i
i
i

∂
=
∂
Π∂
=
∂
Π∂
(1.18)
Từ đây đưa đến lập hệ phương trình đại số tuyến tính chứa các ẩn
a
i,
b
i
, c
i
.
Công biến dạng dầm
Thế năng dầm bị tác động bởi các lực kéo, nén, cắt, momen uốn, momen xoắn:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++++=
∫∫∫∫∫∫
GA
dxF

1
(1.19)
trong đó
M
T
- momen xoắn,
M
y
, M
z
- momen uốn
N – lực kéo, nén
F
y
, F
y
– lực cắt
Công biến dạng tấm chữ nhật axb, dày t.
()
dxdy
y
w
x
w
yx
w
w
D
U
∫∫

2
2
2
2
2
2
)1(2
2
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
ν
(1.20)
trong đó
)1(12
2
3
ν
−
=
tE
D

Công biến dạng tấm tròn bán kính R, dày t
ϕ
ϕ
∂

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

22
2
111
)1(2
11
2

Công biến dạng vật thể 3D:
∫
=
V
dVuU
0
2
1
và
{}{}
∫
=
S
T
dSuFW .10
trong đó
{}{ }
∫
=
ε

, . . .
3.
Lập hệ phương trình đại số tuyến tính 0=
∂
∂
≡
∂
Π
∂
ii
a
I
a
, i=1,2,…,n và xác định a
i
.
4.
Tìm nghiệm u.
Phương pháp Ritz giải dầm
Từ phương trình cân bằng dầm uốn, hình 1.3, có thể xây dựng quan hệ:
Phương trình chính:
p
dx
wd
EJ
dx
d
=
2
2
Uốn dầm
Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Ritz xác định độ võng dầm liên tục dài L, EI = const, tựa trên hai gối
tại đầu nút, dưới tác động tải trọng phân bố đều q = const, hình 1.4.
Tiến hành xử lý bài toán theo thủ tục đang nêu.
Độ võng dầm:

Hình 1.3

11

∑
∞
=
=
1
)(
~
n
nn
faxw
trong đó f
n

∑
∞
=
=

Từ tính đối xứng của phương trình độ võng, chỉ cần giữ lại các hệ số có chỉ số lẻ 1, 3, 5 Hàm
đúng giờ đây chỉ còn là:
L
xn
axw
n
n
π
sin)(
~
, 3,1
∑
=
=
Phiếm hàm I cho dầm bị uốn đơn thuần, bằng tổng thế năng biến dạng và công ngoại lực tác động
lên dầm:I
≡

Π
= U – W.
Thế năng dầm uốn:
[]
∫
=
L

⎝
⎛
−=
∞
=
0
2
2
1
sin
2
1
ππ

Công ngoại lực:
∫∫
∑
=
==
LL
n
n
dx
L
xn
aqdxxwqW
00
, 3,1
sin.)(
~

dx
L
xn
aqdx
L
xn
L
n
aEJI
00
, 3,1
2
2
, 3,1
sinsin
2
1
πππ

Hệ số a
i
xác định sau khi lấy đạo hàm của I theo a
i
.
()
{}
∫∫
∑
=−
⎟

L
xn
L
k
L
xn
L
n
aEJ
a
WU
0
2
0
2
1
0sinsinsin
πππππ
∂
∂

Trong khoảng không gian 0 - L họ hàm (sin
nx
L
π
) có tính trực giao:
dx
L
xn
L

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
k
k
L
qa
L
L
k
EJ
a
WU
k
k
π
π
∂
∂

Từ đó:
55
4
14
π

qL
4
5
4
π
≈ 0,013071 qL
4
/ EJ, khi sử dụng chỉ một hệ số a
1
.
w(L/2) =
EJ
qL
4
55
3
1
1
4
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
≈ 0,0130172 qL
4
/ EJ, nếu sử dụng a

qL
i
∑
∞
=
, i=1,3,5,
Ổn định dầm
Ví dụ 2: Ổn định dầm dài L, độ cứng EI, chịu tác động lực nén N.
Hàm chuyển vị được tìm dưới dạng:
L
xn
axw
n
n
π
sin)(
1
∑
∞
=
=

Với dầm chịu lực nén N, hàm W mang dạng:
dxNwW
L
∫
=
0
2
'

2
1
cos
2
1
ππ

Tổng thế năng của dầm:
∫
∑∑
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜

L
n
aN
L
xn
L
n
aEIWU
0
2
1
2
1
2
cossin
2
1
ππππ

Tiến hành đạo hàm Π theo a
k
, sẽ nhận được hệ phương trình:

13
{}
∫
∑
−
⎟
⎠

L
xk
L
k
L
xn
L
n
aEI
a
0
2
1
2
sinsin
2
1
ππππ
∂
∂dx
L
xk
L
k
L
xn
L

π
cos
và
L
xk
π
sin
, k =1,2, 3, trong đoạn (0, L):

=
∫
L
dx
L
xk
L
xn
0
coscos
ππ
0 nếu k
≠
n
=
2
L
nếu k = n;
sẽ nhận được:
0
2

k

≠
0, biểu thức trong dấu ngoặc vuông phải bằng không, do vậy có thể viết:
2
22
L
EIk
N
π
=
Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ nhất của N, khi vượt qua giá trị đó dầm chuyển sang giai đoạn
mất ổn định. Trong công thức cuối có thể thấy, N đạt nhỏ nhất cho trường hợp k =1, biểu thức lực
Euler có dạng:
2
2
L
EI
N
E
π
=
Xây dựng phương trình ma trận
Sử dụng công thức biến phân tổng năng lượng như tổng cọng biến phân thế năng và công ngoại lực
của bài toán uốn dầm có thể viết:
Từ
[]
∫
=
L


0.".".
00
=−=Π
∫∫
LL
wdxqdxwEJw
δδδ
(1.21)
Hàm chuyển vị
w(x) theo cách làm ngày nay nên viết dưới dạng vecto như sau:
Nuw =
Các đại lượng liên quan {w} xác định theo cách sau:
uNwuNw
δ
δ
δ
δ
δθ
''";'' =−=−=
trong đó
N – hàm hình dáng theo cách gọi ngày nay, u – chuyển vị tại các nút tính toán.

14
0
0000
=
⎥
⎦
⎤

Ví dụ 3: Xác định độ võng dầm, momen uốn và lực cắt dầm nêu tại hình 1.5. Hình 1.5 Dầm thẳng chịu tải phân bố tuyến tính
Điều kiện biên: w(0) = 0; -θ(0) = w’(0) = 0 và w(L) = 0.
Ký hiệu ξ = x/L trong các phép tính tiếp theo. Hàm hình dáng, bàn chi tiết tại mục “hàm nội suy”,
tại đây chúng ta nhận như sau:

[]
(
)
(
)
[
]
43232
2
ξξξξξ
+−−=N
Đạo hàm bậc hai của [N]:

[]
()
()
[]
2
2
1212262
1
"

0
4332
322
3
L
EJ
d
L
EJ
K
L
ξ
ξξξξξξ
ξξξξξ{}
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧

120/1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧

Lời giải:

()()()
432
4
0
43232
4
0
5127
240
2
48
1
120


()
ξ
158
30
''')(
0
−=−=
Lp
EJwxV15
Kết quả vừa trình bày chưa đáp ứng điều kiện momen tĩnh tại gối trái phải triệt tiêu. Cần thiết hiệu
chỉnh hàm thử, trong trường hợp này là hàm hình dáng. Có thể chọn hàm bậc cao hơn cho [
N], ví dụ
có thể chọn:

[]
(
)
(
)
(
)
[
]
544332
ξξξξξξ
−−−=N

432322
4
4004801442402647212011224
2402647214414436726012
1201122472601236244{} ( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−

⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
105/1
60/1
30/1
35/2085/264
5/265/244

584
120
ξξξξ
−+−=
EJ
Lp
w
Kết quả tính trính bày tại hình 1.6. Các hình từ trên
xuống giới thiệu chuyển vị w(x), momen uốn M(x)
và lựcc cắt F(x),
Trong cùng hình kết quả tính theo phương pháp giải tích ghi lại tại đường cong đánh dấu A, tính
theo phương án đầu trong ví dụ này đánh dấu bằng B. Kết quả tính theo phương án cải tiến trùng với
đường A.
Dao động ngang dầm
Từ phương trình xác định momen uốn dầm:

)(
2
2
xM
dx
wd
EI −= (a)
tiến hành lấy đạo hàm hai vế phương trình, nhận được các biểu thức sau:

)(
2
2
xF
dx

trong đó m – khối lượng đơn vị dài của dầm.
Có thể viết phương trình chuyển động ngang dầm:

0
2
2
4
4
=+
dt
wd
m
dx
wd
EI (d)
Điều kiện biên xác định cho ví dụ đang nêu:

⎭
⎬
⎫
=
=
0/
0
dxdw
w
tại x = 0 và x = L (e)
Áp dụng công thức Rayleigh để xác định tần số dao động riêng. Dao động ngang dầm thể hiện dạng
điều hòa:
txutxw

EIU
0
2
2
2
0
2
2
2
)(
2
1
2
1

Giá trị maximum của U và T:

∫∫
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
LL
dxuxmTdx

L
dxuxm
dx
dx
ud
EI
0
2
0
2
2
2
2
)(
2
1
2
1
ω
(g)
Hàm u(x) có thể là:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
L
x

2
, . . . Cần thiết chọn
a
1
, a
2
, . . . để ω đạt minimum.

() () ()
0
2
2
2
1
2
=
∂
∂
==
∂
∂
=
∂
∂
n
aaa
ωωω
L (k)
Điều này dẫn đến hình thành hệ phương trình đại số gồm n phương trình, chứa n ẩn a
1

∫∫
L
j
j
L
j
dxuxm
a
dx
dx
wd
EI
a
ω
j = 1, 2, . . . , n (l)
Hãy chọn hàm u chứa 2 thành phần:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

433
2
16
8
aaaa
mL
aa
L
EI
++
+
=
π
ω

Thỏa mãn điều kiện:
() ()
0
2
2
1
2
=
∂
∂
=
∂
∂
aa
ωω

2
1
3
2
32
23
160
01
16
a
a
mL
a
a
L
EI
ω
π

Lời giải của hệ phương trình:

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬

⎫
⎩
⎨
⎧
=
4488,1
1
124
2
1
2
2
a
a
m
EI
L
ω

1.2 PHƯƠNG PHÁP RITZ GIẢI TẤM MỎNG
Phương pháp Ritz áp dụng tính độ võng, momen uốn, lực cắt tấm mỏng dựa vào phương pháp xác định
biến phân hàm năng lượng tấm δΠ.
Độ võng màng tấm trình bày dạng chuỗi:

∑
=
=
n
i
ii

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
;
x
w
y
w
Dm
y
w
x
w
Dm
yx
υυ

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠

ν
(1.26)

18
Hãy xét điều kiện biên các tấm khi xử lý vấn đề. Nếu tất cả các cạnh tấm bị ngàm, thành phần thứ hai
biểu thức này trở thành 0. Điều kiện biên trong trường hợp này trở thành: w = 0 tại cạnh.
Với tấm bị ngàm cả 4 cạnh, chịu tác động tải phân bố p(x,y), năng lượng toàn phần tấm tính như sau:
∫∫∫∫
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟

wD
),()1(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
ν

Tùy thuộc điều kiện biên, hàm chuyển vị nên chọn hợp hoàn cảnh. Những công thức sau đây có
thể giúp bạn đọc chọn lựa hàm hình dáng cho các phép tính gần đúng.
)().(),( yYxXayxw
nm
mn
mn
∑∑
= (1.27)

a
xm
m
π

∑
m
a
xm
a
x
π
π
sinsin
()
∑∑
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

mxxa
m
ma
xm
ma
x
a
x
a
x
m
π
π
sin
1
1
2
1
∑
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−Ví dụ 3: Áp dụng phương pháp Ritz xác định mặt võng tấm thép hình chữ nhật có các cạnh axb, chịu
tác động lực tập trung theo phương pháp tuyến tại điểm (x
1
, y
1
), hình 1.8. Tấm tựa cả bốn cạnh,
chiều dầy tấm t = const. Mô đun đàn hồi vật liệu E.
Để áp dụng phương pháp Ritz cần thiết tìm phiếm hàm cho phương trình chuyển vị dưới tác động
lực. Phiếm hàm của bài toán này chính là hàm năng lượng của tấm.
Hàm chuyển vị mặt qua giữa tấm:
Hàm f(x,y) hãy là:
b
yn
a
xm
yxf
mn
π
π
sinsin),( =


với thế năng đơn vị:
{}{}
∫
=
ε
εεσ
0
0
du
T

hay là
()
zxzxyzyzxyxyxxyyxx
u
γτγτγτεσεσεσ
222
2
1
0
+++++=
()
dxdy
y
w
x
w
yx
w
w

−+∇=
2
2
2
2
2
2
2
2
)1(2
2
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
ν

trong đó
)1(12
2
3
ν
−
=
tE
D

Công ngoại lực:

⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
00
2
2
2
2

D
U
ab
mn
mn
∫∫
∑∑
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

ππ
sinsin
11
∑∑
∞
=
∞
=
=
Phiếm hàm
I:

I
≡

Π
= U-W.
Tiến hành lấy đạo hàm của (
U - W) theo a
mn
:
∂
∂
()UW
a
mn
−
sẽ nhận được hệ phương trình đại số,
trong đó a
mn

⎨
⎧
=
≠
=
a
nmb
nm
dx
b
xn
b
xm
0
2/
0
sinsin
ππ

0sinsin
4
00
22
=−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

với
m = 1,2, ; n = 1,2,
Từ phương trình này xác định
a
mn
:
b
yn
a
xm
b
n
a
m
abD
P
a
mn
00
22
sinsin
4
ππ
ππ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

abD
P
yxw
mn
ππ
ππ
π
π
sinsin
sinsin
4
),(
11
22
00
×
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

Sử dụng tính đối xứng cấu hình tấm, chọn gốc hệ tọa độ nằm chính giữa tấm, hai trục đi qua đường
đối xứng tấm. Hàm thử trình bày dưới dạng:

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=
∑∑
∞∞
a
ym
a
xm
a
yxw
nm
mn


()
0,0 =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
±=
±=
bx
bx
y
w
w
Để nhanh chóng nhận kết quả, có thể độ chính xác còn bàn thêm, hãy nhận m = n = 1:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+

−
+
−
ab
b
a
a
b
aD
dxdyw
D
U
a
a
b
b
233
322
33
2
11
4
2
2
π

Công ngoại lực thực hiện:

abapdxdyyxwpW
a

1
16
baba
D
ap
a
++
=
π

Với a/b = 1,5 và υ = 0,3, giá trị độ võng tại x = y = 0 sẽ là:

3
4
0
max
0791,0
Et
ap
w =
Ví dụ 4: Ổn định tấm.
Thứ tự thực hiện phép tính khi tính ổn định tấm trong khuôn khổ phương pháp Ritz bao gồm xác
định hàm năng lượng của tấm trong trường hợp chịu nén trong mặt phẳng và các phép tính đạo hàm
phương trình năng lượng theo chuyển vị suy rộng nhằm xác định lực tới hạn.
Xác định lực giới hạn tác động tấm chữ nhật axb, tựa tự do tại
x = 0, x = a và y = 0. Cạnh y =
b tự do.
Hàm chuyển vị của tấm:
w(x,y) =
nm =

w
w
D
U
∫∫
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

x
w
N
y
w
N
x
w
NU
xyyx
∫∫
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

⎝
⎛
+
−
=
y
v
x
u
Et
N
x
∂
∂
ν
∂
∂
ν
00
2
1
và
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

v
y
u
GtNN
yxxy
∂
∂
∂
∂
00

Trường hợp N
x
= -
σ
x
t; N
y
= N
xy
= 0, hàm U
2
trở thành:
dxdy
x
w
NU
ab
x
2

w
∂
∂
≠ 0;
Hàm w(x,y):
w(x,y) =
nm =
∞
=
∞
∑∑
11
a
mn
y
b
mx
a
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
sin
πĐể nhanh chóng có kết quả, chỉ chọn 1 hằng số khi tính chuỗi cho w.

⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+∇=
2
2
2
2

−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
)1(2
62
24
2
11
a
ab
ab
a
Da
π
ν
π

62
1
2
2
112
ab
a

⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

xác định lực Euler:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎟
⎠
⎞

dxdy
y
w
x
w
yx
w
y
w
x
w
DU
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡

∫∫
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
12
2
1
υ
,
trong đó
()
2
3
112
υ
−
=
Et
D - độ cứng tấm, với t – chiều dày tấm.
Khối lượng qui đổi tấm tính bằng biểu thức: m =
∫

cos1
Thế năng và động năng tấm tham gia dao động:
tabC
bbaa
abDCU
ρπ
2
4224
42
0
4
9
;
323
2 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
M

Điều kiện để thế năng và động năng tấm đạt cực trị:
, 2,1;0
2
1
2
0

2
ta
D
b
a
b
a
U
ρ
πω
×++==
M

Trường hợp a = b có thể thấy rằng:
4
2,37
ta
D
ρ
ω
=

Ví dụ b: Xác định hai tần số thấp nhất dầm tựa trên trên hai gối đơn, tại hai đầu theo phương pháp
Rayleigh-Ritz.
Hàm chuyển vị thành lập dạng chuỗi hữu hạn sau, nhằm thỏa mãn điều kiện biên:
3
3
2
210
)(

⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
L

x
mm
L
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∫
;
20
0
3
3
2
2
12
mL
dx
L
x
L
x
L
x

3
22
mL
dx
L
x
L
x
mm
L
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∫
; m
21
= m
12;
3
2
0
2
2

−=
∫

33
3
2
2
2
0
2
2
2
2
12
6
L
EJ
dx
L
x
L
x
dx
d
L
x
L
x
dx
d

22
12
L
EJ
dx
L
x
L
x
dx
d
EJk
L
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
∫

⎢
⎣
⎡
mL
L
EJ
ω

Phương trình đặc trưng từ hệ phương trình trên đây có dạng:
EJ
mL
42
2
;0
20
6
105
8
12
30
4
ω
β
βββ
==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

=
ω
ω

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP NHÓM TRỌNG HÀM DƯ
Phương pháp hàm trọng lượng dư, gọi cách khác trọng hàm dư (weighted residual method) thích
hợp giải gần đúng các bài toán phương trình vi phân tuyến tính và/hoặc không tuyến tính. Sử dụng
phương pháp này không qua giai đoạn tìm phiếm hàm.
Bài toán kỹ thuật suy rộng có thể viết dưới dạng phương trình nêu tại (a) phần mở đầu:
L(u) - p = 0 trong miền V,
và các điều kiện biên:
B(u) -q = 0 trên biên S
Hàm u dưới dạng hàm xấp xỉ:
∑
=
=
N
i
ii
fau
1
~

Hàm
u
~
được tìm phải thỏa mãn điều kiện B(
u
~
) = q(s).