NỘI DUNG GỒM CÓ
1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan : 14 tiết
2. Bài toán tổng hợp: 4 tiết.
3. Phương trình, bất phương trình mũ và lôga: 8 tiết.
4. Tích phân và ứng dụng của tích phân: 10 tiết.
5. Hình không gian tổng hợp: 10tiết.
6. Phương pháp toạ độ trong không gian: 16 tiết.
7. Số phức: 6 tiết.
8. Phụ lục.
1
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Thời gian: 14 tiết
Tiết 1:
Bài 1. Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2/ Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương
3
3 2x x m− + =
.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
( )
2;4M
.
Giải:
1/ HS tự làm
Đồ thị:
f(x)=x ^3-3x +2
f(x)=4

>

: (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có một nghiệm.
+/
0
4
m
m
=


=

: (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm ( 1 đơn, 1 kép)
+/
0 m 4< <
: (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm
3) Gọi M(x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
2; 4x y→ = =
2
' 3 3 '(2) 9y x y= − → =
PTTT cần tìm là: y = 9(x – 2) + 4
⇔
y = 9x - 14
Bài 2: Cho hàm số

y
-2
3
2
3
2
1
2/ Gọi M(x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
2
0 0 0
0 0
2
1
3
'( ) 3 2 3
2
3
3
x y
y x x x
x y

= − → =

→ = − ⇔ − + = − ⇔

3( 3) 3
3 3
y x y x+ = − − ⇔ = − +
3/ Từ hình vẽ, ta có diện tích hình phẳng cần tìm là
1
3 2
0
1 2 5
2
3 3 6
S x x dx
 
= − + =
 ÷
 
∫

BTVN: Cho hàm số y = x
3
– x
2
+ (m – 1)x – m
2
+ 2 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số với m =2
2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số (C

2
– 3x
Đồ thị :
f(x)=- x^3+3x^ 2-3x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2/ C
1
giao với Oy tại điểm M(0;0)
y
'
(0) = -3
Vậy PTTT là : y = -3(x – 0) + 0
3y x⇔ = −
3/ Ta có y
'
= -3x
2
+ 6x + 3(m
2
- 1)

Bài 2: Cho hàm số y = - x
3
+ 3mx
2
–
( )
2
2 1m +
x (C
m
)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
) của hàm số trên với m = 2
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C
2
) tại điểm có hoành độ bằng -2
3/ Tìm m để hàm số trên có cực đại, cực tiểu.
Giải:
1/ HS tự làm
m = 2
3 2
6 9y x x x→ = − + −
2/ Gọi (x
0
;y
0
) toạ độ tiếp điểm, ta có x
0
= -2

0∆ >2 2
2
2
9 3(2 1) 0
3 3 0
1
1
1
m m
m
m
m
m
⇔ − + >
⇔ − >
⇔ >
>

⇔

< −

Vậy với m > 1 hoặc m < -1 thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
BTVN: Cho hàm s ố y =-x
3
+3(m+1)x
2

-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
1; 3x y→ = =

2
' 3 6 '(1) 3y x x y= − + → =


< −

pt(1) có nghiệm duy nhất
Bài 2 : Cho hàm số y = x
3
– (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1 (C
1
)
2/ Viết PTTT với đồ thị hàm số (C
1
) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0
3/ Tìm m để hàm số trên có 2 cực trị
Giải :
1/ HS tự làm
m = 1
3 2
3y x x x⇒ = + + +
Đồ thị
f(x)=x^3+x^2+x+3
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5

2
0 0
0 0
0 0
3 2 1 2
3 2 1 0
1 2
1 94
3 27
x x
x x
x y
x y
⇔ + + =
⇔ + − =
= − → =


⇔

= → =

* PTTT tại
( )
1;2−
là:
2 2( 1) 2 4y x y x− = + ⇔ = +
* PTTT tại
1 94
;

4
m m
m m
m
m
⇔ − − − >
⇔ − − >
< −


⇔

>

Vậy với m < -1 hoặc
5
4
m >
thì hàm số đã cho có 2 cực trị
BTVN: Cho hàm số:
3 2
3 1y x x= - + -
có đồ thị là
( )C
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2
3/ Dựa vào đồ thị
( )C

-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
2/ Gs tiếp điểm là M
0
(x
0
;y
0
) ,ta có x
0
= -3
⇒

≥

⇔

≤

Vậy HS có cực trị khi
2m ≥
hoặc
0m ≤
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x =
2 khi quay quanh trục Ox.
3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3 2
1
1
3
x x m− = +

Giải :
1/ Đồ thị :
f(x)=x^3/3- x^2
x(t )=2 , y(t)=t

2.2
63 5 0 315
x x
x
π
π
 
− − =
 ÷
 
3/
3 2
1
1
3
x x m− = +
(1)
Số gnhiệm PT (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = m + 1
Từ đồ thị ta có :
+/
1 0 1
3 5
1
2 2
m m
m m
+ > > −
 
 
⇔

+ 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x
3
– 3x
2
– m + 1 = 0
3/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành, trục tung và đường thẳng x =
3 khi quay quanh trục Ox
.
7
Tiết 5:
Bài 1: Cho hàm số y = x
4
- 2x
2
+ 1 (C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1
3/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x
4
– 2x
2
+ 2m = 0
Giải:
1/ HS tự làm
f(x)=x^4-2x^2+1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-4
-3


− + = ⇔ − = ⇔ = → =


= − → − = −

* PTTT tại (0;1) là: y – 1 = 0(x – 0)
1y⇔ =
* PTTT tại
( )
2;1
là:
1 4 2( 2) 4 2 7y x y x− = − ⇔ = −
* PTTT tại
( )
2;1−
là:
1 4 2( 2) 4 2 7y x y x− = − − ⇔ = − +
3/ Ta có: x
4
– 2x
2
+ 2m = 0 (1)
4 2
2 1 2 1x x m⇔ − + = − +
Khi đó số nghiệm PT(1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = -2m + 1
Từ đồ thị ta có:
+/
1
2 1 0

1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (
1
C
) của hàm số với m = 1.
2/ Tìm điều kiện của a để phương trình x
4
– 3x
2
+ a = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
3/ Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Giải:
1/ m = 1 thì y = -x
4
+ 3x
2
– 2
Đồ thị
8
f(x)=-x ^4+3x^2-2
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1

2
- 2m -1)
Để hs có CĐ,CT thì PT y
'
= 0 phải có 3 nghiệm phân biệt

⇔
2x
2
- 2m- 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

2 1 0
1
2 1
2
0
2
m
m
m
− − ≠


⇔ ⇔ > −
 +
>


Vậy
1

Giải :
1/ Đồ thị
f(x)=x^4/4-2x^2
f(x)=-4
x(t )=2 , y(t )=t
x(t )=-2 , y( t)=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2/
4 2
8 1 0x x m− − + =
(*)
⇔
4 2
1 1
2
4 4
m
x x
−
− =

- 1 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên với m = 2 (C
2
)
2/ Dựa vào đồ thị (C
2
) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
4 2
8 2 0x x m− + + =
3/ Tìm m để đồ thị hàm số trên có 3 cực trị.
Giải :
1/ Với m = 2 ta có y = -x
4
+ 8x
2
- 1
Đồ thị :
f(x)=-x ^4+8x^2-1
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5

: (1) có 3 nghiệm (1 nghiệm đơn, 2 nghiệm đơn phân biệt)
+/
1 1 2m m+ < − ⇔ < −
: (1) có 2 nghiệm phân biệt
3/ Ta có
3 2
2
2 (*)
4 4 4 ( )
0 4 ( )
0
y x mx x x m
y x x m
x
x m
′
= − = −
′
= ⇔ −
=

⇔

=

Đồ thị (C
m
) có 3 cực trị khi & chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
0m
⇔ >

Đồ thị :
f(x)=x^4-4x^2+4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2/
4 2
x – 4x 4 2m (1)+ =
Khi đó số nghiệm (1) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2m
Từ đồ thị ta có :
+/
2 0 0m m= ⇔ =
: (1) có 2 nghiệm kép
+/
0 2 4 0 2m m
< < ⇔ < <
: (1) có 4 nghiệm phân biệt
+/
2 4 2m m= ⇔ =
: (1) có 3 nghiệm (2 đơn, 1 kép)
+/
2 4 2m m

8
x
y
2/
4 2
1 5 3
(1) 3
2 2 2
m
x x
+
⇔ − + =
Khi đó số nghiệm ( 1) chính là số giao điểm của đồ thị hs trên và đường thẳng
3
2
m
y
+
=
+/
3 5
2
2 2
m
m
+
> ⇔ >
: (1) có 2 nghiệm phân biệt
+/
3 5

m
m
+
< − ⇔ < −
: (1) vô nghiệm
3/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
3
0 0 0
'( ) 4 2 6 4y x x x→ = ⇔ − =
0 0
0 0
3
2
2
1 0
x y
x y

= → = −

⇔

= − → =

* PTTT tại
( )

−
x
x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3.
Giải:
1/ HS tự giải
2/ Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
1
3
2
x y= → =
y’ =
2
1 1
'(3)
( 1) 4
y
x
→ =
−
Vậy PTTT cần tìm là:
1 1 1 1
( 3)
2 4 4 4

< ∀ ≠
+
HSNB/(
2 2
; ) ( ; )
3 3
−∞ − ∪ − +∞
HS kh«ng cã cùc trÞ
Giíi h¹n:
12
2
3
lim
x
y
+
 
→ −
 ÷
 
= +∞

2
3
lim
x
y
−
 
→ −

1
3
−

−∞

1
3
−

f(x) =(2-x)/( 3x+2)
x(t )=-2/3 , y(t)=t
f(x) =-1/3
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
2. ViÕt PTTT t¹i ®iÓm sã tung ®é b»ng 2
XÐt Pt
2
2
2
3

 ÷
 
PTTT lµ: y =
49 1
8 4
x− +
BTVN : Cho hàm số y =
1
12
+
−
x
x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 3x + 2
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hs trên và các trục tọa độ.
Tiết 9 :
Bài 1 : Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tìm m để đường thẳng y = - 2x - m cắt đồ thị hàm số trên tại 2 điểm phân biệt
13

m
Bi 2 : Cho hm s
2 1
2
x
y
x
+
=

1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s trờn, bit tip tuyn cú h s gúc bng 5
Gii :
2/ Gi (x
0
;y
0
) l to tip im
Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5, ta có: y(x
0
) = 5



( )
2
0
5
2 x
= 5

3
2
x
y
x

=

1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m ng thng d : y = mx + 1 ct th (C ) ti 2 im phõn bit
Tit 10 :
Bi 1 : Cho hm s
3 2
1
x
y
x

=

(C)
1/ Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s trờn.
2/ Tỡm m ng thng y = mx + 2 ct th hm s trờn ti 2 im phõn bit
Gii :
1/ - TX:
{ }
1\RD =
- S bin thiờn
+ Chiu biờn thiờn:
2

x
Lim
x
±
→
−
= ±∞
−
Suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng x=1
+ Bảng biến thiên:
x -
∞
1 +
∞
y’ - -
y
-2 +
∞
-
∞
-2
- Đồ thị:
2/ Phương trình hoành độ giao điểm của (C) & đương thẳng d : y = mx +2
2 (*)
3 2
2 ( 4) 5 0
1
x
mx mx m x
x

> − +



Bài 2 : Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x
3
- 3x – 2m + 1 = 0 (1)
3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x - 3
Giải :
1/ Đồ thị :
f(x) =-x^3+3x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2/
3
(1) 3 2 1x x m⇔ − + = − +
Vậy khi đó số nghiệm pt (1) chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = -2m+1.

2
2 1 2 1
2
m
m
m
m

>

− + < −

⇔


− + >


< −


: (1) có 1 nghiệm duy nhất
+/
1 3
2 2 1 2
2 2
m m
−
− < − + < ⇔ < <
: (1) có 3 nghiệm phân biệt

= → =

* PTTT tại
( )
1; 2− −
là:
2 6( 1) 6 8y x y x+ = − + ⇔ = − −
* PTTT tại
( )
1;2
là:
2 6( 1) 6 8y x y x− = − − ⇔ = − +
BTVN: Cho hàm số:
1
x
y
x
=
+
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với
( )C
tại điểm có hoành độ bằng 3
3) Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d:
y kx=
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.

+
16
PTTT cần tìm là : y + 1 = 3(x – 0)
3 1y x⇔ = −
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1 3
5
4 2
y x x= − +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x
3
– 6x
2
+ m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt
3/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên tại điểm M(2 ;-3)
Giải :
1/ HS tự làm
Đồ thị:
f(x)=(x ^3)/4-3(x^2)/2+5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8

2
3
' 3 '(2) 3
4
y x x y= − → = −
PTTT cần tìm là : y + 3 = -3(x – 2)
3 3y x⇔ = − +
Bài 2 : Cho hàm số
4
1
x
y
x
− −
=
+
(C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số trên tại 2 điểm phân biệt
BTVN : Cho hàm số
4 2
1 3
( ) 3
2 2
y f x x x= = − +
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ là nghiệm phương trình f’’(x) = 0
3/ Biện luận theo m số nghiệm phương trình x
4
– 6x

2
0 0
0
0
( ) 5
5
5
( 2)
4 3 0
1
3
f x
x
x x
x
x
′
= −
−
⇔ = −
−
⇔ − + =
=

⇔

=

Với x
0

2 2 ( 2)
9 3
4 12ln 2 17 12ln
2 2
x
V dx dx
x x x
x x
x
π π
π π
 
+
 
= = − +
 ÷
 ÷
− − −
 
 
   
= − − − = +
 ÷  ÷
−
   
∫ ∫
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = -x
3
+ 3x
2

18
2) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
3-
.
3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Tiết 13 :
Bài 1 : Cho hàm số
2
x m
y
x
+
=
−
(C
m
)
1/ Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1
2/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên với m = 1
3/ Viết PTTT của đồ thị (C ) tại giao điểm của đồ thị (C ) và trục hoành
Giải :
1/ (C
m
) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1

x
y
3/ (C ) giao trục hoành tại điểm (-1 ;0)
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
0 0
1; 0x y→ = − =
2
3 1
' '( 1)
( 2) 3
y y
x
−
= → − = −
−
PTTT cần tìm là :
1 1 1
( 1)
3 3 3
y x y x
−
= + ⇔ = − −
Bài 2 : cho hàm số y = -x
3
+ 6x
2

0
, hs đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT
= -4
+ Giới hạn :
lim ;lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
+ Bảng biến thiên : x
−∞
1 3 +
∞
y’ - 0 + 0 -

+∞
0
y
-4
−∞
- Vẽ đồ thị : Giao Ox : (0 ;0) ; giao Oy : (0 ;0), (3 ;)
f(x)=-x^3+6x^2-9x
f(x)=-4
x(t)=1 , y (t)=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2

6 8 6 8x x x dx x x x dx− + + − + −
∫ ∫

2 4
4 4
3 2 3 2
0 2
2 4 2 4 8
4 4
x x
x x x x
   
= − + + − + − =
 ÷  ÷
   
(đvdt)
BTVN : cho hàm số y = -x
3
+ x
2
- 3x (C)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
2/ Viết PTTT của đồ thị hàm số trên biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -4
Tiết 14 :
20
Bài 1 : Cho hàm số y = f(x) =
2 1
3
x
x

( )
( )
2
0 0
0 0
2
0 0
0
2 5
7
'( ) 7 7 3 1
4 9
3
x y
f x x
x y
x
= − → = −

= ⇔ = ⇔ + = ⇔

= − → =

+
* PTTT tại (-2 ;-5) là : y + 5 = 7(x+2)
7 9y x⇔ = +
* PTTT tại (-4 ; 9) là : y – 9 = 7(x + 4)
7 37y x⇔ = +
Bài 2 : Cho hàm số y =
3 2 3

3/ m = 1
3 2 2
3 1
' 3 3
2 2
y x x y x x→ = − + → = −
Gọi (x
0
;y
0
) là toạ độ tiếp điểm
Ta có x + 6y – 6 = 0
1
1
6
y x⇔ = − +

→
d có hệ số góc là
1
6
−
Do tiếp tuyến vuông góc với d nên tiếp tuyến có hệ số góc là 6
0
'( ) 6y x⇔ =
0 0
2 2
0 0 0 0
0 0
1 2

3
+ (1 – 2m)x
2
+ (2 – m)x + m + 2 (C
m
)
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên với m = 1
2/ Viết PTTT với đồ thị (C
1
) biết TT vuông góc với đường thẳng d :x + 2y – 6 = 0
3/ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN TỔNG HỢP (4 tiết)
Tiết: 1+2
I. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
1. Kiến thức cần nhớ.
Dạng 1: GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn (Thường là nghiệm của phương trình : y’=0) : x
1
,x
2
, , x
n
của f(x) trên
[a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x

TXĐ: R
2
'( ) 3 3f x x= −
1
'( ) 0
1
x
f x
x
=

= ⇔

= −

Cả hai nghiêm trên đều thuộc
[ ]
1;3−
Ta có:
( 1) 0; (1) 4; (3) 16f f f− = = − =
[ 1,3]
[ 1,3]
ax ( ) 16 min ( ) 4M f x f x
−
−
= = −
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
ln( 1)y x x= − + +
trên [0;2]

1
' 0
1 (0; )
y
x
x
y
x
= −
=

= ⇔

= − ∉ +∞

Lập bảng biến thiên trên khoảng
( 1;2)−
x 0 1 +
∞
y’ - 0 +
+
∞
+
∞

23
y
4
Dựa vào bảng biến thiên trên ta có
(0; )

Đáp số:
[2;4]
[2;4]
13
( ) 6, min ( )
2
Max f x f x= =
Bài 3: (Đề thi TN năm 2008- Hệ phân ban)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( ) 2 cosf x x x= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Đáp số:
[0; ]
[0; ]
2
2
( ) 2, min ( ) 1
4
Max f x f x
π
π
π
= = +

Đáp số::
[
)
1;2
max ( ) 2 2f x =
4. Bài tập về nhà.
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
5x3x2x
3
1
y
23
++−=
trên đoạn [
2
3
;5]
Đáp số:
3
[ ;5]
2
35
min
5
y =Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =
2 3
1

min 2 2; m ax 2;y y= = −
Bài 4 : . Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
2lny x x= −
trên [
1
e
; e
2
] :
Đáp số:
2
2
4
1
1
[ ; ]
[ ; ]
min 4; max 1
e
e
e
e
y e y= − =
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
( )
x
f x x e= −
trên đoạn

−
2
;
2
ππ
Đáp số:
; ;
2 2 2 2
minf(x) , maxf(x)
2 2
é ù é ù
p p p p
ê ú ê ú
- -
ê ú ê ú
ë û ë û
p p
= - =
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
4sin 2 os2xf x x c= +
trên đoạn
0;
2
π
 
 
 
.
Đáp số:

Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
trên khoảng
( ;1)
−∞
.
Đáp số :
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = - 4
Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
x
y
x
=
+
trên (-2 ;4]
Đáp số:
( 2;4]
2
maxy
3
-
=