Cao học: Xây Dựng Dân Dụng và Công Nghiệp Bài giảng: Prof. Andrew Whittaker
Môn học: Phân Tích Ứng Xử & Thiết Kế Kết Cấu BTCT Biên dịch: PhD Hồ Hữu Chỉnh

Chương 4: QUAN HỆ MÔMEN - ĐỘ CONG
Chương 4: QUA HỆ MÔME

-

ĐỘ COG

4.1 SỰ PHÂ PHỐI LẠI MÔ ME TROG HỆ BTCT
4.1.1 Hệ chịu tải trọng đứng
Phần 8.4 của tiêu chuNn ACI 318 cho phép phân phi li mômen (tăng hay gim mômen
âm
) trong các cu kin BTCT chu un liên tc. Phân phi li mômen ph thuc vào  do
(ductility) trong các vùng khp do (plastic hinge). N hng vùng khp do phát trin ti các
v trí M
max
và làm thay i biu  mômen un àn hi. Và kt qu phân tích do thưng
thy là
mômen âm gim và mômen dương tăng trong vùng khp do so vi kt qu phân
tích àn hi. Vì các t hp ti trng nguy him  xác nh các mômen âm và các mômen
dương là khác nhau, nên mi tit din BTCT có mt kh năng d tr mà không s dng ht
cho bt kỳ mt trưng hp ti nào. Các khp do cho phép s dng toàn b kh năng chu
lc ca nhiu v trí tit din hơn ca kt cu chu un, so vi kt qu phân tích àn hi.
 Kt qu phân tích àn hi tuyn tính ca mt cu kin phi tuyn :

Vi tit din hình lăng tr có
mômen kháng un M
n
, ti trng tác dng ln nht w ưc xác

max
max
=⇒=
e
max
w33,1=

+ wl
2
/24
- wl
2
/12 - wl
2
/12
2M
p
= wl
2
/8
- M
p

+ M
pCao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh


???

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G
• Cơ cu right-hand sway: vi 2 khp do  hai u dm (-) và mt khp do (+) ti v trí
có mômen
M
max
.

•
Cơ cu left-hand sway: vi 2 khp do  hai u dm (-) và mt khp do (+) ti v trí
có mômen
M
max
.

Vy,
kh năng bin dng y  phi ưc cp cho mi khp do ưc to thành như trong
hình v trên.
 bin dng không àn hi ln trong bê tông
  do ln t ưc bng cách dùng các chi tit cu to thích hp, bao gm c bin
pháp thép ai ép ngang.

+
- -
Vùng biến dạng lớn
+

s
) và bê tông (σ
c
) có thể xác định từ các quan hệ (σ−ε) đặc
trưng của vật liệu.
Các phương pháp tính toán trình bày sau ây áp dng cho hai kiu tit din t do n ngang:
(1) bn BTCT ch có thép chu kéo, (2) dm BTCT ch có thép chu kéo (phn 1) và có
thêm thép chu nén
(phn 2).
4.2.2 Phân tích mômen-độ cong của bản BTCT
Trong tính toán bng tay, mômen ti 3 mc  cong (curvature) ưc xác nh:
  cong khi bê tông xut hin nt φ
cr
(ti mômen gây nt M
cr
)
  cong khi bê tông bin dng chy do φ
y
(ti mômen chy do M
y
)
  cong khi bê tông bin dng cc hn φ
u
(ti mômen cc hn M
u
)
Mt ct ngang
bn BTCT ưc trình bày dưi ây. Mc tiêu là thit lp ưng quan h (M-
φ
) cho tit din bn. Xét mt khong chiu rng bn b = 12

ksi3604ksi400057000E
c
==
Tính môment gây nt,
=×==
3
216
1000
40005,7
y
If
M
t
gr
cr
34,2 kip-in
Tính  cong khi bt u nt,
2163604
2,34
IE
M
gc
cr
cr
×
==φ
= 4,4E-5 in
-1

N hư vy

/E
c
) và ρ = A
s
/bd. i vi tit din trên ta có,
in 4,75 0,25 -1- 6 (4/8)0,5 -1- D d
=
=
×
=

0,0070
4,7512
)(0,2in2

2
=
×
×
=ρ
;
8,04
3604
29000
n ==

⇒

k = 0,28
(giá tr này hp lý không?) Ans:

y
y
×−
=
−
ε
=φ
= 6,1E-4 in
-1

N hư vy to  im chy do (φ
y
, M
y
) trên ưng quan h (φ-M) là (6,1E-4 ; 103,4)
c) Tới hạn
(
ultimate
)

Hình dưi cung cp thông tin cn thit  tìm mômen ti hn (M
u
) và  cong ti hn (φ
u
).

Gi thit
khi ng sut bê tông chu nén dng ch nht kiu Whitney-type (β
1
= 0,85),

maxc
u
=
ε
=φ
= 4,3E-3 in
-1

N hư vy to  im ti hn (φ
u
, M
u
) là (4,3E-3 ; 106,9).
Chú ý ch có
khác bit nh gia mômen M
y
(104 kip-in) và mômen M
u
(107 kip-in).
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G


gc
cr
cr
×
==φ
= 1,19E-5 in
-1

b) Chảy dẻo

n = 8,04; ρ = 0,0099
n)n(n2k
2
ρ−ρ+ρ= = 0,327
)
3
200,327
20(600,3 )
3
kd
-(dfA M
ysy
×
−××==

=

3207 kip-in

20327,020

)
2
15,485,0
-(20600,3 )
2
c
-(dfA M
1
ysu
×
×=
β
=

=
3282 kip-in

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G
15,4
003,0
c

maxc
u

cr
==
= 573 kip-in

133103604
573
IE
M

gc
cr
cr
×
==φ
= 1,19E-5 in
-1

b) Chảy dẻo

n = 8,04; ρ = 0,0099; ρ’ = 0,0066; d = 20’’; d’ = 2’’
n)'(n)'(n)'
d
'd
(2k
22
ρ+ρ−ρ+ρ+ρ+ρ= = 0,301
Phương trình tng quát ca
mômen M
y
là :

)
3
200,301
-(23,170,2 )
3
200,301
-(20600,3 M
y
×
×+
×
×=

= 3238 kip-in

20301,020
0021,0
kdd

y
y
×−
=
−
ε
=φ
= 1,50E-4 in
-1

c) Tới hạn

)'dd('f'A )
2
c
-cb)(df85,0( M
ss
1
1
'
cu
−+
β
β=
= 3321 kip-in 38,1
003,0
c

maxc
u
=
ε
=φ
= 2,20E-3 in
-1

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh


maxc
'
s
−
=
−
ε=ε
= 0,00093
00093,029000E f
'
sc
'
s
×=ε=
= 27 ksi
)'dd('f'A )
2
c
-cb)(df85,0( M
ss
1
1
'
cu
−+
β
β=
= 3331 kip-in

9,2

y

1,56E-4 1,50E-4
← không i
M
u
3282 3331
← ít thay i
φ
u

0,72E-3 1,0E-3
← tăng 40%
µ
φ

4,6 6,7
← tăng 40%

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

4.3 PHÂ TÍCH MÔME-ĐỘ COG CỦA TIẾT DIỆ BN ÉP GAG
4.3.1 Tính toán các đáp ứng
Trong tính toán bng tay, mômen ti 3 mc  cong (curvature) cũng ưc xác nh tương
t như các
tit din t do n ngang:


Chương 3 ta có:

Do tit din ch nht, gi s h s hiu qu K
e
= 0,75, ta có:

4
60
0074,075,0
f
f
K
f
f
'
c
yh
xe
'
c
'
lx
××=ρ=
= 0,083
"
yh
h
x
"
xh

c
'
ly
××=ρ=
= 0,128

S dng biu  trên, chú ý rng cưng  ép ngang hiu qu lón nht ca ví d này là f'
ly
,
suy ra ta có
K

=

f'
cc
/

f'
c
=

1,6 và cưng d lõi bê tông b ép ngang do ó bng :

46,1Kff
'
c
'
cc
×==


)]1
f
f
(51[002,0
'
c
'
cc
cc
−+=ε
= 0,008
cc
'
cc
sec
f
E
ε
=
= 800 ksi;
c
E
= 3604 ksi
secc
c
EE
E
r
−


 tính
mômen ti hn M
u
và  cong ti hn φ
u
cho tit din này, các thông s khi ng
sut bê tông chu nén
cn phi ưc xác nh. Các s liu ã bit gm:
==
ccc
'f/'fK
1,6; chn
cumaxc
ε=ε
= 0,028;
cc
ε
= 0,008;
cc
maxc
ε
ε
= 3,5 Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

-1

b) Chảy dẻo
(như trên)
n = 8,04; ρ = 0,0099; ρ’ = 0,0066; d = 20’’; d’ = 2’’
n)'(n)'(n)'
d
'd
(2k
22
ρ+ρ−ρ+ρ+ρ+ρ= = 0,301
y
'
s
f
kd
d
'dkd
f
−
−
=
= 17,3 ksi
)
3
kd
-(dfA )
3
kd
-(dfA M

nén ngang, bê tông s có bin dng max vưt xa bin dng nt v (
spalling
) mà ưc
gi thit là
ε
sp
= 0,004. Do ó,  giai on tính toán ti hn cn gi thit rng lóp bê tông
bo v ã b nt v (xem
vùng chéo màu cam
 hình dưi).

b = 15 - 2(
2 - 9/16 - 5/8
) = 13,2 in
d = 22 - 2 - (
2 - 9/16 - 5/8
) = 19,1 in
α = 0.9 ; β
1
= 1,0

12,134,69,0
600,3
bf
fA
c
1
'
cc
ys

=
ε
=φ
= 1,19E-2 in
-1
y
u
φ
φ
=µ
φ
= 79,3
Bây gi kho sát bng so sánh thông s dưi ây cho BTCT
t do n ngang v BTCT b ép
ngang
(không/có ct thép ai).
Thép đai
BTCT
cốt đơn
Không Có

M
y
3207 3207
← không i
φ
y

fAfA
c
1
'
cc
s
'
sys
βα
−
=




N u bin dng max ca bêtông ε
cu
= const, và c thay i (
giảm
) do có xét n thép chu
nén,  cong ti hn φ
u
b nh hưng như th nào? ⇒ φ
u
↑
↑↑
↑
b)-
Xét vic loi b s tái bn v bin dng (
strain hardening

= φ
u
/φ
y
(
curvature
ductility
) ca tit din thay i như th nào? Xét bng dưi ây:

Tăng
φ
φφ
φ
u
,
µ
µµ
µ
φ
φφ
φ
?
Tăng thép chu kéo ρ = A
s
/bd
giảm
Tăng thép chu nén ρ' = A'
s
/bd


N hiu phân tích mômen- cong ưc thc hin trong các văn phòng thit k s dng các
phn mm lp trình tính toán. Mt s phn mm tiêu biu là:
 BIAX
: phát trin bi Wallace ti UC Berkeley vào u thp niên 1990.
 UCFyber
: phát trin bi Chadwell ti UC Berkeley vào cui thp niên 1990, tham kho
ti Zevent website: h
ttp://www.zevent.com/framep.html
 SEQMC
: phát trin bi SEQAD vào cui thp niên 1990, tham kho ti SC Solutions
website:

Các chương trình tính toán u vn hành tuân th mt tiêu chuNn thit k nào ó vi nhiu
c tính và cách s dng rt khác nhau. Phn dưi ây là
trình bày ơn gin cách thit lp
các
quan h mômen- cong cho các tit din bt kỳ. Mt s là kt qu nghiên cu ca
Priestley, Seible, và Calvi.
Trong phn này, gi thit
quan h (σ−ε) ca bê tông ã ưc xác lp trưc (cho trưc).

 ây trong
phân tích mômen- cong gi thit rng quan h (σ−ε) ca thép là àn hi do
lý tưng (
elastic perfectly plastic
). Gi thit ơn gin  tính toán như vy cơ bn là bo
th. Mà hình minh ho trên, Priestley, Seible, và Calvi, th hin các ưng cong
(σ−ε) khác
nhau khi kéo thép:


Trong
min bin dng tái bn -
strain-hardening region
(ε
sh
≤ ε
s
≤ ε
su
), ng sut thép có th
tính bng:














ε−
−=
2
s
yes

mép ngoài cùng
,
extreme fiber strain in compression
(ε
c
).
Xét
tit din tròn  trên. N ghim cho tit din ch nht thì tính tương t nhưng ơn gin
hơn.
Tù
cân bng lc dc trên tit din ta có:
∑
ε+
∫
ε+ε=
=
n
1i
xissi
0,5D
c-0,5D
xcuc(x)(x)xcc(x)
)(fA)]dx()fb-(b)(f[b P

(4-2)
vi:
)cD5,0x(
c

c

c
(ε), f
cu
(ε), và f
s
(ε) ln lưt là ng sut trong bê tông b ép
ngang
, t do n ngang, và thép dc, và chúng là các hàm s ca bin dng; A
si
là din tích
thép dc ti khong cách
x
i
tính n trc i xng. Các i lưng khác xem chi tit  hình
bên trên.
Chú ý nu tit din là
hình ch nht, các phương trình trên ây ưc ơn gin hoá như sau:
∑
∫
=
ε+ε+ε=
n
1i
xissi
0,5D
c-0,5D
xcuc)xcc
)(fA)]dx()fb-(b)(f[b P

Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker

(s dng (4-2) hay (4-4)).
3.
Tính mômen M và  cong φ bng cách dùng các phương trình  trên (s dng (4-3)
hay (4-5)).
4.
Chn mt giá tr mi ca bin dng ε
c
(cho n khi bng bin dng nén ti hn ca
bêtông
ε
cmax
), sau ó lp li các bưc tính
2
và
3
.
5.
Chn mt giá tr mi ca lc dc trc P.
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

4.5 PHÂ TÍCH TIẾT DIỆ VỚI PHẦ MỀM UCFYBER
Phân tích mômen- cong dùng phn mm tính toán UCFyber ưc tóm lưt như sau:

Chú ý rng
nh hưng ca bin dng thép tái bn có ưc xét n trong chương trình tính
toán
UCFyber, khi ó so vi mô hình thép àn hi do lý tưng (
Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker
Môn hc: Phân Tích ng X & Thit K Kt Cu BTCT Biên dch: PhD H Hu Chnh

Chương 4: QUAN H MÔMEN -  CON G

PHỤ LỤC 1
Chứng minh
:
n)n(n2k
2
ρ−ρ+ρ=vi
k = c/d
; n = E
s
/E
c
và ρ = A
s
/bd; t PTCB lc:

s
c
s
2
ssssc
−=⇒ε=ε
−
(P1-4)
Vì: n = E
s
/E
c
;

ρ = A
s
/bd nên ta có :
)k1(nk5,0
2
−ρ=



n)n(n2k
2
ρ−ρ+ρ=
(P1-5) Cao hc: Xây Dng Dân Dng và Công N ghip Bài ging: Prof. Andrew Whittaker

, t PTCB lc:
ssssmax.cssc
''AAbkd5,0F'FF σ−σ=σ⇔=+ (P2-1)
)'E('A)E(A)E(bkd5,0
ssssssmax,cc
ε−ε=ε⇒ (P2-2)
t sơ  bin dng:
smax.c
smax.c
k
1
k
kd
d
kd
ε
−
=ε⇔
−
ε
=
ε
(P2-3a)
ss
ss
k
1
'kk
'
kd

−
(P2-4)
)'kk('A
E
E
)k1(A
E
E
bdk5,0
s
c
s
s
c
s
2
−−−=⇒
(P2-5)
Vì: n = E
s
/E
c
;

ρ = A
s
/bd ;

ρ' = A’
s