Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Thanh hoá Năm học 2005 - 2006

Môn thi : toán học - bảng A
Đề chính thức (Thời gian : 180 phút - không kể thời gian giao
đề)
Bài 1: ( 4 điểm )
Cho hàm số :
1
1
1

++=
x
xy
( C )
1/ Khảo sát hàm số .
2/ Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại diểm
đó tạo với 2 đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất .
Bài 2: (2 điểm )
Biện luận theo m số nghiệm dơng của phơng trình :

=







x

Tìm tam giác ABC có B = 2A và ba cạnh có số đo là ba số nguyên liên tiếp .
Bài 6: (2 điểm )
Tìm đa thức
( )
xP
có bậc lớn hơn 1 thoả mãn hệ điều kiện sau :

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
Rx
P
xPxPxxxPxx




=
=+++
;
271
012'22''42
2
Bài 7: (2 điểm )
Giải hệ sau :
( )
( )



2,, cba
chứng minh bất đẳng thức sau :

3
222
++
+++
cLogbLogaLog
baaccb

Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Thanh hóa; Ngày 26 tháng 03 năm 2005
Lời giải chi tiết và biểu điểm
đề thi học sinh giỏi toán khối 12
Bài ý Lời giải chi tiết Điểm
Bài 1 1
a) TXĐ : D = R
b) Sự biến thiên:
CBT:
( )
2
1
1
1'

=
x
y
; y = 0 có 2 nghiệm x = 0 ; x = 2
HS đồng biến trên

1
O x
-1 1
1 điểm

1 điểm
x

o 1 2
+
y
+
0
- -
0
+
y2
Gọi
( )( ) ( )
0;; >= aCayaM
thì
( )
11
1
1
2


(d)
Tiệm cận đứng x = 1 ; Tiệm cận xiên y = x + 1
Giao điểm của 2 tiệm cận là I=( 1 ; 2 )

Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 1 là







=
1
2
;1
a
a
A
Với tiệm cận xiên là :
( )
aaB 2;12 =
Ta có
122;
1
2
=

= aBI
a

2
1
1+== aBIAI

Vậy
( )
4
4
2
1
1241222 +=+= aMinp
Hay điểm cần tìm là






+++=
44
2
1
22;
2
1
1M
0.5
điểm

0.5









xxtLn
t
dt
t
tdtdt
t
t
x
xx x
PT đã cho tơng đơng với
mxx = ln
2
1
2
(1)

Số nghiệm dơng của PT là số giao điểm của đờng thẳng y = m và đồ thị hàm
số
( )
xxxf ln
2
1

0

BBT
x

o 1
+
y | - o +
y |
+

+2
1

Từ BBT ta đợc :
+/ Với
2
1
<m
thì PT vô nghiệm
+/ Với
2
1
=m
thì PT có nghiệm dơng duy nhất x = 1
+/ Với
2




=++
=++
=++






++=
++=
++=
5
4
3
5
4
3
2
2
2
cbac
bacb
acba
cabcabc
cabcabb
cabcaba


240
671
=x

0.5
điểm

0.5
điểm

1 điểm
Bài 4
Nhận thấy Cosx=0 không thoả mãn PT , bằng các chia cả 2 vế cho
0
2
xCos
ta đợc phơng trình :

( )
( )
03421
2
=+ mmtgxxtgtgx
Đặt tgx = t , ta có PT :
( )
( )
03421
2
=+ mmttt

t
t
tf =


=
42
3
2
Xét f(t) trên [0;1] ta có :

( )
( )
[ ]
1;0;0
2
34
2
1
'
2
2









(1)
Thật vậy: Theo định lý CôSin trong tam giác

aCosBacaaCosBcacaacCosBcab 222
2222
==+=+=
áp dụng định lý Sin, ta đợc
RSinACosBRSinARSinC 422
=

( ) ( ) ( )
ABSinSinABASinBASinSinASinC =++=
Do đó B = 2A và

<< BA,0

Vì 3 cạnh là 3 số nguyên liên tiếp nên với
*
Nx
và a < b, ta có các trờng hợp
sau :
a) Nếu a=x,b=x+1,c=x+2 : Khi đó từ (1) ta đợc x=1
suy ra a=1,b=2,c=3. Không thoả mãn tính chất cạnh của tam giác
b) Nếu a=x,b=x+2,c=x+1 : Từ (1) ta có PT
043
2
= xx
Suy ra a=4,b=6,c=5 ( thoả mãn )
c) Nếu a=x+1,b=x+2,c=x : Tơng tự thì
03

2 1' axaxanxnaxP
n
n
n
n
++++=




( ) ( ) ( )( )
2
3
1
2
2 211'' axannxannxP
n
n
n
n
+++=




Từ yêu cầu , ta có điều kiện cần là : Hệ số của luỹ thừa bậc (n + 1) phải bằng 0.
mà hệ số đó là
( ) ( )
nnn
annnaann 321 =

23





=
=
=








=
=
=
=

30
31
32
20
321
132
23
8

( )
8126
23
+++= xxxxP
0.5
điểm

0.5
điểm
Bài 7
Với
Rx
ta có
( )
32223
332323
4
222
===
+
+
LogLogLogxCos
y

51)4( + yy
(1)
Đẳng thức xảy ra khi
ZkkxCosxxCos +===+ ;
2
0021


1 điểm

0.5
điểm

0.5
điểm
Bài 8
Đặt 2 hình chóp tam giác đều là : O.ABC và O.ABC với O là tâm
của tam giác ABC và O là tâm của tam giác ABC.
Theo bài ra thì OO là đờng cao chung của 2 hình chóp .
Đặt D,E,F là các giao điểm của các cặp cạnh bên tơng ứng của 2 hình
chóp . Phần thể tích chung của 2 hình chóp là thẻ tích của khối đa diện
ODEFO. Ký hiệu V là thể tích đó thì
DEF
SOOV

= '.
3
1COO'

vuông tại O nên

cos' lOO
=


)cot(cot'
+
=
+
=+=

Tam giác DEF đều , đờng cao
EIEJ
2
3
=

Diện tích
4
3
2
DE
S
DEF
=

với
3
3
32
EI
EJ
DE ==
0.5
điểm

=
A
B
C
O
A'
C'
B'
D
F
E
O'
I
0.5
điểm

0.5
điểm
Bài 9
Bất đẳng thức
( ) ( ) ( )
3
2
2
2
2
2


Khi đó
( )
yx
z
xz
y
zy
x
abLog
cLog
caLog
bLog
bcLog
aLog
VT
+
+
+
+
+
=++
222
222
1
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2









+
+
+
+
+
++









+
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho vế trái , ta đợc điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1 điểm 0.5
điểm

0.5
điểm
2
2
1;;
222
===⇔



===
==
⇔



==
≥
cba
cba