THPT Quảng Xơng 3
Sở giáo dục và đào tạo
Thanh Hóa kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT

Môn thi Toán bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Bài 1 (4 điểm)
1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số
1
2

=
x
x
y
hai tiếp
tuyến tạo với nhau một góc 45
0
.
2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới
hạn bởi:
xy
2
log=
; x + y = 3; y = 0.
Bài 2 (4 điểm)
1. Tìm m để hệ
( )
( )


.
Bài 4 (4 điểm)
1. Giải phơng trình
( ) ( ) ( )
[ ]
23log5log3
53
+=+ xxxx
.
2. Tính
x
xx
x
13121
lim
3
0
++

.
Bài 5 (4 điểm)
1. Lập phơng trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đờng thẳng



=
=+
0122
0322
zyx









ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
1
THPT Quảng Xơng 3
Hớng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
Môn: toán - bảng A
(đáp án này có 3 trang)
Bà
i

xxk
x
x
2
2
0
2
1
2
1
có nghiệm

( )
( )
0
2
22
1
2
1
xx
x
xx
x
x



=


= 0 k = 0,
Với x
0
=
1
2
0
0
+x
x
k =
( )
2
0
0
1
4
+

x
x
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì:
21
21
0
1
45
kk
kk
tg

0.5đ
2
Giao điểm của đồ thị hàm số
xy
2
log=
, và đờng thẳng x +y = - 3 là
A(2; 1) V =
( )








+

dxxdxx
3
2
2
2
1
2
3log
=V
1
+ V


3
2
2
3
= =
3
1
V=[
3
1
+
( )
12ln2.log
2
e
] (đvtt)
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
II
1
( )
( )







m
thì tập nghiệm của (1) là D
1
R
+
và tập
nghiệm của (2) là D
2
R
-
nên hệ phơng trình vô nghiệm.
Với m < 0 tập nghiệm D
1
= (m; 2) và tập nghiệm D
2
= (-7; -m)
hệ phơng trình luôn có nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
y
O 1 2 3 x
1
THPT Quảng Xơng 3
Bà
i
ý
Nội dung Điể

173
023
1
13
2
+
=



=

=+ x
xx
x
xx
Kết luận:
2
131
=x
và
2
173 +
=x
là nghiệm.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
III

=
+=
2
3
2
3


lx
k
x
KL: Nghiệm x = + 2k
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
2
đặt
CBA coscoscos
++
= 1+
2
sin
2
sin
2
sin4
CBA
= t 1< t
2

6
13
coscoscos
1
coscoscos
++
+++
CBA
CBA
Dấu bằng xảy ra khi:
CBA coscoscos
++
=
2
3
hay tam giác đều.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
IV
1
Pt
( ) ( )
3log5log
53
+ xx
=
3
2

0.5đ
0.5đ
2
L =
x
xxxx
x
131313121
lim
333
0
+++++

=
x
x
x
x
121
31lim
3
0
+
+

+
x
x
x
131

++
+

xx
x
x
x
= 1
L
2
=
x
x
x
131
lim
3
0
+

=






++++

13131

)(0122
)(
0322
Qzyx
P
zyx
ta nhận thấy





)(
)(
QI
PI
và (P) (Q)
hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng
phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là
hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phơng trình
2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là:
|2x + 4y z -3| = |x 2y -2z -1|



=
=++
04- 3z-x 3
0 2 - z 4y x







+

+
+








+

+
+








+

a
cb
a
0
1
11
11
1
11
1
11
1







+

+
+
+







b
b
cbcb
a
a
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
0
11
11
1
11
11
1
11
11
1

++
+
+
+
++
+
+
++

( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
0
11
11
11
1111
11
1111
11
1111
11









++

++
+
+








abcbbaba
acac
babaacac
cbcb
acaccbcb
baba
Điều này luôn đúng với mọi a b c > 0 và > 1, R
dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0.
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
4