SEMINAR
QUANG LƯỢNG TỬ
GVHD: TS. VÕ TÌNH
HV : PHẠM TÙNG LÂM
Lớp VLLT_VLT K21
1.6. Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt
và một tập những dao động tử điều hòa lượng tử
CHƯƠNG I
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ TRƯỜNG BỨC XẠ
Chúng ta đi chứng minh rằng một tập các dao
động tử điều hòa lượng tử là tương đương về
mặt động lực học với một khí Bose nhiều hạt.
Xét một khí Bose có N hạt chứa trong một thể
tích V.
2
3
Hàm sóng của N hạt có thể được viết bởi tích đối
xứng các hàm sóng của hạt đơn lẻ
( )
.
s
r
ψ
r
r
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
, , , 1 2

Ψ = ×
 
 
 
×
×
×
uur uur uur
uur
uur uur uur uur
ur r r
ur ur ur
r r r
ur ur r
ur ur r
r r r
( ) ( ) ( )
( )
1 2
1.157p
n
k k k
k
r r r
σ σ σ
ψ ψ ψ
+ + +

r
* Hàm sóng của một hạt tự do:
( )
( )
1
1.159
i sr
s
r e
V
ψ
=
rr
r
r
* Cho N hạt tương tác lẫn nhau thông qua một điện thế
( )
( )
1
1.160
j
N
j
r
ν
=
ϒ =
∑
r
=> Một hạt ở trạng thái có thể chuyển đến trạng

ur ur ur ur
4
Trước khi xem xét cho hệ tổng quát khí Bose gồm N hạt
bên trong thể tích V, ta xét trường hợp đơn giản hệ có 3 hạt
boson.
Hàm sóng mô tả trạng thái ban đầu của hệ 3 hạt:
( )
2, 1
p k
n n= =
ur r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
2, 1 1 2 3 1 2 3
3 1 2
2 3 1
1
, , [
3
] 1.164
p k
n n
p p k
p p k
p p k
r r r r r r
r r r

ur r
2, 1, 3
p k
n n N= = =
ur r
5
Hàm sóng mô tả trạng thái sau của hệ 3
hạt:
( )
1, 2
p k
n n= =
ur r
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
1, 2 1 2 3 1 2 3
3 1 2
2 3 1
1
, , [
3
] 1.165
p k
n n
p k k
p k k
p k k

p k
n n
i n n
i
M d r d r d r r r r
r r r r
ν
= =
= =
=
= Ψ
× Ψ
∫∫∫
∑
ur r
ur r
ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur
6
Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt
là như nhau, nên ta có:
( ) ( )
3
1
1
3
i
i
r r
ν ν

ur ur ur
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * *
1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3
p k k p p k
I dr d r d r r r r r r r r
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
=
∫∫∫
ur r r ur ur r
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
Ta tính tích phân thứ nhất:
Ta có:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
*
3 3 3
1
*
2 2 2
1
0
0
k k
k p
d r r r
I
d r r r k p do k p
ψ ψ
ψ ψ δ

I d r dr d r r r r r r r r
I d r dr d r r r r r r r r
I d r dr d r r r r r
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ
= =
= =
=
∫∫∫
∫∫∫
ur r r ur r r
ur r r ur ur r
ur r r
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
* * *
5 1 2 3 3 1 2 1 3 1 2
* * *
6 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1
7 1 2 3
0
0
0
p p k

2 3 1 1 1 2 3
* * *
8 1 2 3 2 3 1 1 3 1 2
* * *
9 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1
0
0
k k p p k
p k k p p k
p k k p p k
r r r r r r r
I d r d r d r r r r r r r r
I d r d r d r r r r r r r r
ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ν ψ ψ ψ
≠
= =
=
∫∫∫
∫∫∫
r r r ur ur r
ur r r ur ur r
ur r r ur ur r
ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur ur
( )
0=
∫∫∫

2 3 2 3 2 3 3 2
1 2 3
.
[
]
= 2. 2. .
k p
p k p k p k p k
p k p k p k p k
M d r d r d r r r r
r r r r r r r r
r r r r r r r r
d r d r d r
ψ ν ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= ×
× + +
+ +
∫∫∫
r ur
ur r ur r ur r ur r
ur r ur r ur r ur r
ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur ur ur ur ur ur
ur ur ur
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
* * * *

p k
n n N= = =
ur r
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1, 1 2 3 2 3 3 2
1
, .
2
p k
n n
p k p k
r r r r r r
ψ ψ ψ ψ
= =
 
Ψ = +
 
ur r
ur r ur r
ur ur ur ur ur ur
Khi đó ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
* 2
3 1 1 1 1 2 3 1, 1 2 3
2. 2. . . ,
p k
n n

N
N
n n n
p q
k
r r rΨ
uur uur uur
ur ur r
ϒ
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
, , , 1 2
1
1 2
1 1
1 1
1
2
1
! ! !
, ,
!

×
uur uur uur
uur
uur uur uur uur
ur r r
ur ur ur
r r r
ur ur r
ur ur r
r r r
( ) ( ) ( )
1 2
p
n
k k k
k
r r r
σ σ σ
ψ ψ ψ
+ + +
 
 
 
 
 
∑
 

= Ψ ×
× Ψ
∫ ∫
∑
ur r r
ur r r
ur uur ur uur
ur ur uur
Vì đây là hệ hạt đồng nhất, do đó đóng góp của các hạt
là như nhau, nên ta có:
( ) ( )
1
1
.
N
i
i
r N r
ν ν
=
=
∑
ur ur
12
Ta sử dụng biểu thức hàm sóng của hệ (N-1) hạt như sau:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )

ψ ψ ψ
+ +
−
−
−
−
 
−
 
Ψ = ×
 
−
 
×
×
ur r r
uur
uur uur uur uur
ur r r
ur ur ur
r r r
ur uur
ur ur r
r r r
( ) ( ) ( )
1 2
p

( )
( )
( ) ( ) ( )
1 *
*
1 1 1, , , , 2
1
1 1 1, , , , 2
*
1 1 1 1
1
. , ,
. . . , ,
1
. . . .
. 1.
p q k
p q k
N
k
N N n n n N
k
p
N
n n n N
p
p
k
k p
p k k

r
ur
ur
ur
r
r ur
ur r
ur uur ur ur uur
ur ur ur uur
ur ur ur ur
p
r ur
Nhận xét: Khi hủy một hạt ở trạng thái thì sinh một hạt
ở trạng thái tức là tổng số hạt được bảo toàn.
p
ψ
ur
k
ψ
r
14
* Véc tơ trạng thái cho hệ nhiều hạt
, , , ,
p q k
n n n
ur r r
* Các toán tử sinh - hủy cho hạt boson
$
$
$ $

, , 0
p p
p p
p p p p
a a
a a a a
δ
+
+ +
 
=
 
 
 
 
= =
 
 
 
ur ur
ur ur
ur ur ur ur
15
Vậy:
Bằng cách sử dụng các toán tử sinh hủy ta cũng có thể
tìm được kết quả của yếu tố ma trận M
N
cho hệ N hạt boson
nếu ta có thế tương tác được biểu diễn như sau:
$ $

r r
r r
r r
H
Toán tử Hamiltonian của phân tử tự do có xung lượng
theo các toán tử sinh hủy như sau:
p
ur
* Một số tính chất của hệ dao động tử điều hòa lượng tử
Các toán tử sinh hủy của dao động tử:
$
$
$ $
$
1
1
1
s
n n
s
n n
s s
n n
a n
a n
a a n
−
+
+
+

'
'
' '
,
, , 0
s s
ss
s s s s
a a
a a a a
δ
+
+ +
 
=
 
 
 
 
= =
 
 
 
18
=> Sự tương đương giữa một khí Bose nhiều hạt và một
tập những dao động tử điều hòa lượng tử về mặt động lực
Hệ khí Bose
Dao động tử điều hòa lượng tử
+ làm tăng, giảm
số hạt ở trạng thái một

   
∑ ∑
h hH
+ Hamiltonian của hạt tự do
µ
$
2 2
ˆ ˆ
2 2
p
p p
p p
p p
a a n
m m
+
= =
∑ ∑
ur
r r
r r
r r
H
+ là toán tử số hạt ở trạng
thái và là toán tử ecmite
$
p
n
ur
p

đây ta có một trong những kết quả cơ bản của cơ học lượng
tử, cho phép thống nhất giữa lý thuyết sóng và các hạt của
ánh sáng.
20