CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~1~
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ
Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau:
1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x  0, với x < 0 hàm số có tính đối xứng.
Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.
Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.
3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn
Tìm các đường tiệm cận.
Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.
4) Lập bảng biến thiên.
5) Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, các giao điểm
của đồ thị với các trục tọa độ).
Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ
thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc hai : y = ax
2
+ bx + c (a  0)
Ta có
2
2
b 4ac b
y a x
2a 4a


 
. Hàm tăng trên
b
,
2a
 
 
 
 
, giảm trên
b
,
2a
 
 
 
 
.
Với a < 0, max
2
4ac b
y
4a


, đạt được tại
b
x
2a
 

< x
2
và y’ > 0  x  [x
1
, x
2
].
Hàm số tăng (giảm) trên (, x
1
) và (x
2
, + ) (tương ứng, trên (x
1
, x
2
)). Điểm cực đại (cực tiểu) là
(x
1
, y(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
Nếu a < 0 thì
+ Với b
2
 3ac < 0, y’ < 0 với x, hàm y luôn nghịch biến.
+ Với b

2
 1
Tập xác định R.
y’ = 3x
2
+ 6x, y’ = 0  x = 0 và x =  2
y’ = 3(x + 2) x > 0  x <  2 hoặc x > 0
y’ < 0   2 < x < 0. Vậy
y tăng (giảm) thực sự trên ( ,  2) và (0, +) (tương ứng (2, 0)). Hàm có điểm cực đại ( 2, 3) và
cực tiểu (0,  1).
y” = 6x + 6, y” = 0  x =  1, y” đổi dấu qua x =  1 vậy y = f(x) có điểm uốn (1, 1).
Ta có bảng biến thiên
X
- 2
0
y’
+
0 -
-
0
+
Y
3
- 1
Đồ thị y
3
x
-2 0
-1
c) Hàm phân thức:

x

với
2
bc ad
k
c


bằng phép tịnh tiến theo véctơ
r =

(d/c, a/c).
Đồ thị có hai tiệm cận x =  d/c và y = a/c.
d) Hàm phân thức:
 
2
ax bx c
y f x
x d
 
 

, (a  0)
Ta có:
 
2
ad bd c
f(x) ax b ad
x d

1
), (x
2
, +) giảm trên (x
1
,  d), (d, x
2
) các điểm cực đại (cực
tiểu) là (x
1
, 2ax
1
+ b), (tương ứng, (x
2
, 2ax
2
+ b)
+ Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x
1
,  d
1
), (d
1
, x
2
) và giảm trên (, x
1
), (x
2
, +).

 
1
.
 
2
1 4
y ' 1
2
x 1
 
 
 
 

 
, y’ = 0  x = 1 và x = 3.
y’(x) < 0 với  1 < x < 1 hoặc 1 < x < 3/2 điểm cực đại
5
1,
2
 
 
 
 
y’(x) > 0 với x <  1 hoặc x > 3/2 điểm cực tiểu
3
3,
2
 
 

y x 2
2
 
~ x  2y  2 = 0
Tiệm cận đứng: x = 1
x = 0, y = 3
e, Hàm trùng phương : y = f(x) = ax
4
+ bx
2
+ c (a  0)
- Là hàm số chẳn nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
- TXĐ: D = R
- Một số tính chất khác tt hàm bậc 3.
Ví dụ 3. Cho hàm số
y = f(x) = x
4
 mx
3
 (2m + 1)x
2
+ mx + 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 0.
Giải. Với m = 0, hàm số có dạng
y = x
4
 x
2
+ 1
T.X.Đ. R
y’ = 2x(2x

3
4
y
1
3/4
-
2
/2 0
2
/2 x
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~5~
CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
 
xfy 
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
 
 
0 0
;M x y C
.
 Tính đạo hàm và giá trị
 
0
'f x

Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C   
, khi đó:
 Nếu
 
// :d d y ax b   
 hệ số góc k = a.
 Nếu
 
:d d y ax b    
 hệ số góc
1
k
a
 
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
   
;
A A
A x y C
.
 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
   
:
A A
d y k x x y  
 Điều kiện tiếp xúc của
   
àd v C





.
1. Cho hàm số
4 2
2y x x 
a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
i. Tại điểm có hoành độ
2x 
.
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.
iii.Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
1
: 24 2009d x y 
.
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009d x y 
.
2. Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
  

2
+ 1 có đồ thị (C
m
). Tìm m để (C
m
) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt
A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là: x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1

x(x
2
+ mx + 1) = 0
(*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt

g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác 0.

B C
B C
S x x m
P x x
   



 

.
Tiếp tuyến của (C
m
) tại B và C vuông góc với nhau nên ta có:
 
 
1
C B
f x f x
 
 
 
 
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m    
 
2
9 6 4 1
B C B C B C

) + y
0
.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
 
 
2
0 0
1
, 0
x
k x x y kx
x

   
 
 
 
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x     
d tiếp xúc với (C):
 
 
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k

1 2
1 2
, 1
1
k k
k k



 

 
0
2
0
2
0
2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x




4x y 
loại bỏ bốn giao
điểm của đường tròn với hai đường tiệm cận.
6. Cho hàm số
2
1
x
y
x


. (ĐH KhốiD 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam
giác OAB bằng
1
4
ĐS:
1
; 2
2
M
 
 
 
 
và
 
1;1M
.

) tại M song
song với đường thẳng
5 0x y 
ĐS: m=4.
9. Cho hàm số
 
3 2
3 3
m
y x mx x m C   
. Định m để
 
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
10. Cho hàm số
 
 
4 3 2
1
m
y x x m x x m C     
. Định m để
 
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
11. Cho đồ thị hàm số
 
2

3
– 6x
2
+ 1 (1) (ĐH KhốiB 2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
Lời giải:
a. D=R, y’ = 12x
2
– 12x; y’ = 0  x = 0 hay x = 1.
BBT
:
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~8~
b. Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x
3
– 6x
2
+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
 4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2

x
21
4

.
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô
 
xfy 
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
 Nghiệm của phương trình
 
' 0f x 
là hoành độ của điểm cực trị.
 Nếu
 
 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x








0
0
y
a 




 


.
 Để hàm số
 
y f x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
C
Đ CT
y y 
.
 Để hàm số
 
y f x
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung
. 0
C
Đ CT
x x 
.

y y
 





.
 Để hàm số
 
y f x
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
C
Đ CT
y y 
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d   
x
 0 1 +
y'
+ 0  0 +
y
1 -1 +

CĐ
CT

2
'
ax bx c
a b
y x
dx e d d
 
  

1. Chứng minh rằng hàm số y =
 
2 2 4
1 1x m m x m
x m
   

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho
hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
 
3 2
1
2 1
3
y x mx m x    
. Định m để:
a.Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng
 
0;



. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với
mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số
   
3 2
1 2 2 2y x m x m x m      
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
  


. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với
trục tung.
9. Cho hàm số
 
 
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C     
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng

ĐS : b
1
2
m  
.
12. Cho hàm số
 
4 2 2
9 10y mx m x   
(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị. (ĐH KhốiB năm 2002)
a.
f(x)=x^4-8x^2+10
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5
-20
-15
-10
-5
5
10
x
y
b. ĐS :
3
0 3
m
m
 


-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
b. CĐ(2;m3), CT(0;m+1)
20MN  
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô
 
xfy 
có tập xác định là miền D.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~11~
 f(x) đồng biến trên D
 
Dxxf  ,0'
.
 f(x) nghịch biến trên D
 
Dxxf  ,0'
.
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:
 
2

x x P
S
 


   




*
1 2
0
0 0
0
x x P
S
 


   




*
1 2
0 0x x P   
1. Cho hàm số
   

 
; 1 
.
4. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
 


. Định m để hàm số nghịch biến trên


;1
.
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C
1
) và y=g(x) có đồ thị (C
2
). Khảo sát sự tương giao giữa hai
đồ thị (C
1
) và (C
2
) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm

) tiếp xúc (C
2
) tại M(x
0
;y
0
).
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~12~
1. Cho hàm số
 
2
1
1
x
y
x



có đồ thị là (C).
a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 
2
2 1 0x m x m    
.
2. Cho hàm số
   

.
5. Cho hàm số
 
2
3 3
2 1
x x
y
x
  


(1) (ĐH KhốiA 2004)
a. Khảo sát hàm số (1).
b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. ĐS: b.
1 5
2
m


.
6. Cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
 



+ 3(1  m
2
)x + m
3
 m
2
(1) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình  x
3
+ 3x
2
+ k
3
 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b.
1 3
0 2
k
k k
  


  

, c.
2


.
1. Cho hàm số
 
3 2
3 3 3 2
m
y x mx x m C    
. Định m để
 
m
C
có cực đại cực tiểu đồng thời
khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
2. Cho hàm số
 
2 2
:
1
x
C y
x



. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
 
2

x x
C y
x
 


. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn
MN nhỏ nhất.
6. Cho hàm số
 
2
2 1
:
1
x x
C y
x
 


.
a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1
y mx
x
 






.
1. Cho hàm số
 
 
3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C    
. Chứng minh rằng
 
m
C
luôn đi qua hai điểm cố
định khi m thay đổi.
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~14~
2. Cho hàm số
 
 
2
2 6 4
:
2
m

y = f(x) có đồ thị (C)
 
y f x
có đồ thị (C’)
 
y f x
có đồ thị (C “)
 
0,y f x x D   
. Do đó ta phải
giữ nguyên phần phía trên trục Ox và
lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox
lên trên.
 
y f x
có
   
f x f x 
,
x D 
nên đây là hàm số chẵn
do đó có đồ thị đối xứng qua
trục tung Oy.
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x

.
f(x )=(x ^2 +x )/(2 x-2 )
x (t ) =1 , y (t )=t
f(x )=x /2 +1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
2
2 2
x x
y
x



f(x)=(x^2+x )/(2x-2)
x(t )=1 , y(t )=t
f(x)=x /2+1
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8
-6

a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
 


.
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2
3 3
1
x x
y

2
4
:
1
x x
C y
x



.
a.Khảo sát hàm số.
b. Định m để phương trình
 
2
4 0x m x m   
có bốn nghiệm phân biệt.
c.
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x




4. Cho hàm số
 
2
1
:
2
x x
C y
x
 


.
1. Khảo sát hàm số.
2. Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
 
2
1 2 1 0x m x m    
.
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4y x x x   
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m  

 
 
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
 




  


Vậy
 
0 0
;I x y
là tâm đối xứng của (C)

 
 
0 0
2 2f x y f x x  
.
1. Cho hàm số
2
2 2 2

.
Định m để
 
m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số
 
3 2
3 1y x x m  
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. (ĐH Khối B2003)
ĐS: a.
   
0 0 0
, 0f x f x x    
 … m>0.
4. Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x    
có đồ thị
 
C
. Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua

2
+ 4 = kx  k + 2  x
3
 3x
2
 kx + k + 2 = 0.
 (x  1)(x
2
 2x  k  2) = 0  x = 1  g(x) = x
2
 2x  k  2 = 0.
Vì ' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k >  3) và x
1
+ x
2
= 2x
I
nên có đpcm!.
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN
1. Định nghĩa:
f(x)=x^3-3x^2+4
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x


.
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=

x+

trong đó:
 
 
 
xxf
x
xf
xx



lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất biến)
nmx
bax
y



+TXĐ: D= R\



f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t)=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y 
m
n
x 
I
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ)
 

x


:lim
+TCX:
0lim 


nmx
A
x
 TCX: y=

x+

f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t)=1 , y(t)=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2

(ĐH Khối A2008)
Lời giải:
a. Khi m =1:
2
2 4
2
3 3
x x
y x
x x
 
   
 
.
TXĐ:
D R
 
3
 
2
2
6 5
3
x x
y
x
 




= 0
g x
 
= 0
f x
 
= 1.7
x
H
M
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~18~
Tiệm cận:
3
lim
x
y

  
tiệm cận đứng: x = 3.
4
lim 0
3
x
x

 

tiệm cận xiên: y = x – 2.

6 2
2
3 3
mx m x
m
y mx
x m x m
  

   
 
Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số. (C
m
) có tiệm cận đứng
1
: 3 0d x m 
và tiệm cận xiên
2
:d
2 0mx y  
1
0
3
m m
 
  
 
 

 
. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f có tiệm cận xiên
đi qua gốc tọa độ.
3. Cho hàm số
 
2
(2 1). 3
1, 0
2
ax a x a
y a a
x
   
   

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của
hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.
4. Cho hàm số
2
2 3 2
( )
1
x x
y f x
x
 
 

có đồ thị (C).
a. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (C) đến hai đường đường tiệm cận

f(x)=(x^2+x-2)/(x+3)
f(x)=x-2
x(t)=-3 , y(t)=t
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
x
y
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~19~
   
b
a
S f x g x dx 

Chú ý:
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.
b. Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức:
 
 

dxxgxfV
22

.
1. Cho hàm số
 
2
2 1
1
m x m
y
x
 


(1) (m là tham số). (ĐH KhốiD 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m=1.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạm bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c. Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x.
ĐS: b.
4
1 4ln
3
S   
, c
1m 
.
DẠNG 11. BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
y = f(x) và y = g(x)
PHƯƠNG PHÁP:

ĐS:
}0{\
2
3
;
2
3






m
BÀI 3*. Cho hàm số
323
43 aaxxy 
(C
a
) với a là tham số
1.
Tìm a để các điểm CĐ, CT của đồ thị (C
a
) đối xứng nhau
qua đường thẳng y = x
ĐS: a =
2
2

x

BÀI 4. Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị hàm số
2
36
2



x
mxx
y
và
đường thẳng y =mx
KL: nếu m = 1 hoặc m = -16/3 thì có 1 giao điểm
Nếu m

1 và m

-16/3 thì có 2 giao điểm pb
BÀI 5. Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.

2
12



x
x
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2.
Xác định m để đường thẳng y = -x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB
ngắn nhất
ĐS: m = 0
DẠNG 12. BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:
f(x) = m (*)
PHƯƠNG PHÁP:
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường
thẳng y = m.
Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) và biện luận số giao điểm với đường thẳng y = m
BÀI 1. Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~21~
1.
Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy 
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên trục Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox, qua trục Ox
+ Bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
(Đồ thị hàm số
)(xfy 
luôn nằm trên trục hoành )
2.
Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
 
xfy 
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy (bỏ phần đ/t nằm bên trái Oy)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy, qua trục Oy
(Đồ thị hàm số chẵn
 
xfy 
luôn nhận trục Oy làm trục đối xứng )
3.
Từ đồ thị (C) suy ra đồ thị hàm số
)(xfy 
như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox (bỏ phần nằm dưới trục Ox)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox, qua trục Ox


0)
+ Lấy đối xứng qua trục Ox, phần đồ thị (C) (ứng với x thỏa mãn u(x) <0)
BÀI 1. Cho hàm số
23
3xxy 
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
mxx 
23
3
ĐS: m<0: vô n
0
; m=0: có 3 n
0
; 0<m<2: có 6 n
0
; m=2:có 4 n
0
; m>2: có 2 n
0
3.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2
3
33 xxa 
BÀI 2. Cho hàm số

2
2



4.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
23
2
2
k
x
xx



5.
Biện luận theo t số nghiệm của phương trình:
t
x
xx



3
2
2
BÀI 3. Cho hàm số
2
)2)(1(



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
)1(
2
1
32
2


 x
k
xx
3.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3142
2
 xmxx
BÀI 5. [ĐH.2006.A] Cho hàm số
41292
23
 xxxy
có đồ thị là (C).

có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2)1(4
22
 axx
BÀI 8. Cho hàm số
1
1
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.
Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
k
x
xx



1

xx
y
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
025)4(
2
 mxmx
ĐS: m<-5/2 hay m=

2: có 2 n
0
. -
5/2<m<-2hay m>2: có 4 n
0
.
m=-5/2: có 3 n
0
. -2<m<2: vô n
0
.
DẠNG 14. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y = f(x)
PHƯƠNG PHÁP:
Áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
) ta
có:

)
2.
Nếu cho tung độ y
0
thì giải pt: f(x) = y
0
suy ra hoành độ x = x
0
từ đó tính k = f’(x
0
)
3.
Nếu cho hệ số góc k = k
0
thì có 2 cách:
Cách 1. Giải pt: f’(x) = k
0

x = x
0

y
0
= f(x
0
)
Cách 2. Pt tiếp tuyến có dạng: y = k
0
x + m (


xfy 
và
))(('
000
xxxfyy 

))((')(
000
xaxfxfb 

0
x

PT tiếp tuyến
Cách 2. Đường thẳng đi qua N(a; b) với hệ số góc k có phương tình dạng:
)( axkby 

bkakxy 
)(

)(

tiếp xúc với (C)

hệ pt sau có nghiệm:






1
x
BÀI 3. Cho hàm số
xxy 2
2

có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết nó đi qua điểm N(1; -2)?
ĐS: y = 2x; y = 2x -4
BÀI 4. Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị là (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A(
2;
9
23

)
ĐS: y = -2; y= 9x-25
y=
27
61
3
5


x
BÀI 5. Cho hàm số

1.
Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song
với đường thẳng y = 3x + 2008.
ĐS:
33  xy
và
113  xy
2.
Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với tiệm cận xiên.
BÀI 7. [HVBCVT. 2000] Cho hàm số
23
23
 xxy
(*)
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~24~
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm sô (*)
2.
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ
được một tiếp tuyến với đồ thị hàm số (*)
ĐS: A(1; 0)
BÀI 8. [ĐHGTVT.00] Cho hàm số
ax
xax
y




Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm O.
ĐS: y=0;
xy
33
1

BÀI 10. Cho hàm số
2
2
2



x
xx
y
có đồ thị là (C).
1.
Tìm phương trình đường cong đối xứng với đường cong (C)
qua đường thẳng y = 2.
ĐS:
2
63
2



x
xx
y

55
,
2
51 
)
2.
Với giá trị nào của m thì trên (C
m
) có tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng đi qua 3 điểm cố định
ĐS: m < -1 hoặc m > 0
BÀI 13. Cho hàm số
)1(
24
 mmxxy
có đồ thị (C
m
).
1.
Tìm điểm cố định của họ đồ thị (C
m
)
ĐS: A
1,2
(

1;0)
2.
Gọi A là điểm cố định với hoành độ dương của (C
m

m
) luôn cắt đồ thị hàm số
Quỹ tích:
CHUYÊN ĐỀ LTĐH TOÁN KHẢO SÁT HS & VẼ ĐỒ THỊ
Biên soạn: Thầy Nguyễn Văn Thể Facebook.com/nguyenvanthevn
~25~
y = x
3
+2x
2
+7 tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm quỹ tích
trung điểm I của đoạn AB.
191844
23
 xxxy
3.
Xác định m để (C
m
) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm
phân biệt C(0; 1) D và E sao cho các tiếp tuyến tại D và
E vuông góc với nhau.
ĐS:
8
659 
m
BÀI 16. Cho hàm số
1
2



1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d:5x - 9y –4 = 0
3.
Tìm những điểm M trên Oy để từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến hai nhánh của (C)
BÀI 18. Cho hàm số
13
23
 xxy
có đồ thị là (C)
1.
Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2.
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
 
axx  1131
2
3
Luyện tập:
1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2
 (m  1)x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
2. Cho hàm số y = x
3
+ mx

m = 0.