Ôn tập tóm tắt chương trình
thi đại học môn Toán
PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
I- GIẢI TÍCH TỔ HP

1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn;
mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là :
m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là :

1 3 3 1
1 4 6 4 1

4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0

=+
===
8. Nhò thức Newton :

*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC baCbaC)ba( +++=+
−
a = b = 1 :
01 n
nn n
CC C2+++=
n
Với a, b
∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C, ,C,C
*

±1, ±2, , hay
∫∫
±± 2
0
1
0
hay
β
α
∫

Chú ý :
* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
knkk m
n
Ca b Kx
−
=
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

mr
knkk
pq
n
Ca b Kc d

số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang
phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=
≠
==
b/ca
0b
0cb
a/b = c
⎩
⎨
⎧
α=⇔=
≥
±=
⇔=
α
a
bbloga,
0a
ab
ba

⎩
⎨
⎧
>
<
⎩
⎨
⎧
<
>
>
=
⇔<−<⇔<+
b/ca

⎧
>∨
<< <
⎧
⎩
⇔⇔
⎨⎨
<Γ
≥
⎧
⎩
⎩
⎨
Γ
⎩
p
xa pq
axb(nếuab)
;
xb
VN(nếua b)
q

Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện.

⎩
⎨
⎧

2
ba
0b
0a
0b
ba)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab
<−−
≥
=

b.
.
: phá
.
bằng cách bình phương :
2
2
aa = hay bằng đònh nghóa :

)0anếu(a
)0anếu(a
a
<−
≥
=


c. Mũ :
.1a0nếuy,1anếuy,0y,Rx,ay
x
<<↓>↑>∈=
TRANG 3

0m/n mmnmn
n
mn mn mn m.n nn n
nn n m n
a1;a 1/a;a.aa
a/a a ;(a) a ;a/b (a/b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1
−+
−
== =
===
==⇔=<≠∨α
=α
<<>
><
⇔<
a
log
nm
a,


2
aaa
2
a
MlogMlog2,Mlog2Mlog ==
(⇒)
log
a
M
3
= 3log
a
M, log
a
c = log
a
b.log
b
c
log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog

a
x2
∈=>=≥=≥=≥=∈+=

Nếu trong đề bài có điều kiện của x, ta chuyển sang điều kiện của t bằng cách
biến đổi trực tiếp bất đẳng thức.
b. Hàm số : t =
f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,
cho vào miền xác đònh của
f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều
kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số
bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) :
không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thò của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :

f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0)
* S = x
1
+ x

– 4P ≥ 0, tìm x
1
, x
2
từ pt : X
2
– SX + P = 0
* Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
x
1
< 0 < x
2
⇔ P < 0, 0 < x
1
< x
2
⇔

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>
>Δ
0S
0P
0
x

<α
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
1
< x
2
< α ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
α<
>α
>Δ
2/S
0)(f.a
0
α < x
1
< β < x
2
⇔
a.f( ) 0
a.f( ) 0
β
<

2
+ cx + d = 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= – b/a , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= c/a , x
1
.x
2
.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x

– Ax
2
+ Bx – C = 0
b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :
• x = α ∨ f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) :
3 nghiệm phân biệt ⇔
⎩
⎨
⎧
≠α
>Δ
0)(f
0
2 nghiệm phân biệt ⇔
⎩
⎨
⎧
≠α
=Δ
∨
⎩
⎨
⎧
=α
>Δ
0)(f
0
0)(f


2 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
=
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

1 nghiệm ⇔ Δ
y'
≤ 0 ∨
⎩
⎨
⎧
>
>Δ
0y.y
0
CTCĐ
'y

c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
⇔
⎩
⎨
⎧

y'
CĐ CT
CĐ
0
y.y 0
y( ) 0
x
Δ>
⎧
⎪
<
⎪
⎨
α<
⎪
⎪
α<
⎩

α
x
1
x
1
< α < x
2
< x
3
⇔
⎪

⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
α<
<α
<
>Δ
CĐ
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0
α
x
1
x
x
x
1
< x
2
< x
3
< α ⇔
y'

⎨
⎧
>Δ
≠α
0
0)(f
⎩
⎨
⎧
≠α
=Δ
⎩
⎨
⎧
=α
>
Δ
0)(f
0
0)(f
0

Vô nghiệm ⇔ Δ < 0 ∨
⎩
⎨
⎧
=α
=Δ
0)(f
0

0P
0
⎩
⎨
⎧
>
=
0S
0P
2 nghiệm ⇔ ; 1 nghiệm ⇔
⎩
⎨
⎧
>
=Δ
<
02/S
0
0P
⎩
⎨
⎧
=
=Δ
⎩
⎨
⎧
<
=
02/S

⎨
⎧
=
<<
12
21
t3t
tt0

Giải hệ pt :
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+=
=
21
21
12
t.tP
ttS
t9t
b. ax
4
+ bx
3
+ cx
2

, t ∈ R.

TRANG 7
10. Hệ phương trình bậc 1 :
⎩
⎨
⎧
=+
=+
'cy'bx'a
cb
y
ax
. Tính :
D =
'b
b
'a
a
, D
x
=
'b
b
'c
c
, D
y
=
'c

(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :

Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các
hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
13. Hệ phương trình đẳng cấp :
⎩
⎨
⎧
=++
=++
'dy'cxy'bx'a
dcybxyax
22
22
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :

* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
.,
, log, mũ có
thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình
dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.

2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
TRANG 8
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số
nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :

Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC
+
2
π
0
2−π

1. Đường tròn lượng giác :

Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung AM,
đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn
lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
2−π 2
π
0
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
bội của
6

đối, tg cotg hiệu π).
cot
g
chiếu xu
y
ên tâm
t
g

M
cos
chiếu
⊥
sin
M
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu
2
π
(sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
4. Công thức :

a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức
nhân ba.
f. Đưa về
2

2
* Chia 2 vế cho
22
ba + , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt =
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :

Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t1
2sin u , 2 t 2,sinu.cosu
42
π
−
⎛⎞
+−≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

8. Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu :

Đặt :
2
1
202

t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu
π
−
⎛⎞
=−= − ≤≤ =
⎜⎟
⎝⎠

11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :

Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos
2
u, dùng công thức
1/cos
2
u = 1 + tg
2
u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :

* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos
3
u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.

⎧
≥
≤
=
Cv
Cu
Cv
Cu
vu
*
⎩
⎨
⎧
=
=
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=+
≤
≤
Bv
Au
BAvu
Bv
Au
* sinu.cosv = 1 ⇔

1usin
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
a. Dạng 1 :
⎩
⎨
⎧
=±
=±
)2(nyx
)1(m)
y
(F)x(F
. Dùng công thức đổi + thành nhân,
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
⎩
⎨
⎧
=−
=+
byx
a
y
x

b. Dạng 2 :
⎩
⎨
⎧
=±

−
=
+
+
⇔=
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán Δ :

* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
TRANG 11
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc.cosA
*
pr
R4
abc
Csinab


1. Đònh nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của
f :
= F(x) + C (C ∈ R)
∫
dx)x(f
*
α+
α
=+ = +
α+
∫∫
1
u
du u C ; u du C
1
, α ≠ – 1

uu
du
ln u C; e du e C;
u
=+ =+
∫∫
∫
+= Caln/adua
uu


a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0
∫

∫∫∫∫∫
=+=+
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(
2. Tích phân từng phần :
udv uv vdu=−
∫∫
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
a.

n2m2
b. : u = tgx (n ≥ 0)
∫
xcos/xtg
n2m2
: u = cotgx (n ≥ 0)
∫
xsin/xgcot
n2m2
c. chứa a
∫
2
– u
2
: u = asint
chứa u
∫
2
– a
2
: u = a/cost
chứa a
∫
2
+ u
2
: u = atgt
d. , R : hàm hữu tỷ
∫
)xcos,x(sinR

+=∈++
nqq/pnm
bxau:Zn/)1m(,)bxa(x
f.
∫
+=∈+
+
+
nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x

g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2
=++++
∫

h.
∫
++ )dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ : )dcx/()bax(u ++=
i. chứa (a + bx
∫

A
ax
A
)ax(,
ax
A
ax
+
++
+
+
+
→+
+
→+

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+=<Δ
++++
+
++
+
→<Δ++
∫∫
atgtặt:)au/(du)0(

dx)x(g)x(fS

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1
(x, y) = 0 , (C
2
) : f
2
(x, y) = 0 α
/
b
D
a
Sf(x)
g
(x) dx=−
∫

x=b x=a
f(x)
g
(x)
đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bò gãy, ta cắt D bằng các
đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính
∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bò chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E)
, (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm
.
.
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn
+

hay
−
(
)
trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y −=+=−=+=6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a
b
f(x)
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

[]
∫
π=
b

dx)]x(g)x(f[V
f(
y
)
a
g
(
y
)
b

d.
∫
−π=
b
a
22
dy)]y(g)y(f[V

a b
c
f(x) -
g
(x)f(x)
g
(x
ab
e.
∫∫
π+π=

1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0dạng(
)x(Q
)x(P
lim
→→→
=
−
−
=

b. Hàm lg :
1
u
usin
limthứccôngdùng),0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
0uax
=

→
2. Đạo hàm :
a. Tìm đạo hàm bằng đònh nghóa :
o
o
o
xx
0
xx
)x(
f
)x(
f
lim)x('f
−
−
=
→

Tại điểm x
o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
Nếu thì f có đạo hàm tại x
.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx

M
α
f(x)
TRANG 15
k = tgα = f
/
(x
M
)

c. f
/
+ : f ↑ , f
/
– : f ↓
f
//
+ : f lõm , f
//
– : f lồi
d. f đạt CĐ tại M ⇔
⎩
⎨
⎧
<
=
0)x(f
0)x(f
M
//

α–1
, (lnx)
/
= 1/x ,
()
a
1
log x
xlna
′
=
, (e
x
)
/
= e
x
(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)
/
= cosx , (cosx)
/
= – sinx, (tgx)
/
= 1/cos

2
* Hàm hợp : (g
o
f)
/
= g
/
[f(x)]

. f
/
(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với
hàm [f(x)]
g(x)
hay f(x) dạng tích, thương, chứa
n

f. Vi phân : du = u
/
dx
3. Tiệm cận :

∞=
→
y
lim
ax
⇒ x = a : tcđ
xa

−
∞

+∞

0)]bax(
y
[lim
x
=+−
∞→
⇒ y = ax + b : tcx y
∞
∞

* Vẽ đồ thò có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c. * Xét
)x(Q
)x(P
y =

TRANG 16

+ bx
2
+ c + d

a> 0 :
a < 0 :

d/ y = ax
4
+ bx
2
+ c

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c ≠ 0)

ad - bc > 0 ad - bc < 0

f/ y =
edx
cbxax

> 0
y
′
Δ
= 0
y
′
Δ
< 0
TRANG 17

ad < 0
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ :
x < a
x > a
a
x = a
y
< b
y
> b
b

y
= b

g(x) = f(–x) : đx qua (Oy)

+ Bm + C = 0, ∀m) ⇔ (hay ). Giải hệ, được M.
⎩
⎨
⎧
=
=
0B
0A
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
0C
0B
0A
b/ Điểm (Cm) không đi qua, ∀m : M(x
o
, y
o
) ∉ (Cm), ∀m ⇔ y
o
≠ f(x
o
,m), ∀m ⇔
y
o

0B
0A
Chú ý :
C
B
A
=
VN ⇔ B = 0 ∨
⎩
⎨
⎧
=
≠
VNBCA
0B
c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
)
⇔ y
o
= f(x
o
, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các
loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x ≠ α, bậc 3, trùng phương.

7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN :
a. (C) : y = f(x), tx (C
/

o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
.
Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2
/ bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
TRANG 18
* // (Δ) : y = ax + b : (d) // (Δ) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ⊥ (Δ) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : y =
a
1
−
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được
đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(x
o
,y
o
) ∈ (C
/
) ⇔ g(x
o
,y
o

* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C
/
) : y = g(x) là : f(x) = g(x).
Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (C
m
) : y = f(x, m) và (C
/
m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ
điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và
(d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của
(C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (x ≠ α)
hay dạng bậc 3 : x = α ∨ f(x) = 0 : lập Δ, xét dấu Δ, giải pt f(x) = 0 để biết m nào

o
//
o
/
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò ⇔ f có CĐ và CT ⇔
/
f
Δ
> 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trò :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm α < x
1
< x
2
.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
< α .
• 1 bên (Ox) ⇔
0
0
/
f
CD CT

* Tính y
CĐ
.y
CT
:

• Hàm bậc 3 : y = y
/
(Ax + B) + (Cx

+ D)
y
CĐ
.y
CT
= (Cx
CĐ
+ D).(Cx
CT
+ D), dùng Viète với pt y
/
= 0.

• Hàm bậc 2/ bậc 1 :
v
u
y =

y
CĐ

a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :

i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghòch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x
1
và đạt cực tiểu tại x
2
.
Ngoài ra ta còn có :
+ x
1
+ x
2
= 2x
0
với x
0
là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x
1
)

+ hàm số giảm trên (−∞, x
1
)
+ hàm số giảm trên (x
2
, +∞)
+ hàm số tăng trên (x
1
, x
2
)
b. Biện luận sự biến thiên của y =
1bậc
2bậc

i) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác đònh.
ii) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghòch biến) trên từng khỏang xác
đònh.
iii) Nếu a.m > 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực đại tại x
1

2
và
12
xx
p
2m
+
=
−
.
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghòch biến) trên miền x ∈ I :
đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghòch biến) của các BBT trên; so sánh
nghiệm pt bậc 2 y
/
= 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
TRANG 20
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo
sát thì dùng đồ thò của f), số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log,
.,
, lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy
biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thò f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(x
o
, y
o
) :

Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa x

I
; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thò có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất
hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào
hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thò có trục đối
xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :

MN
MN
MM
NN
xx2x
yy2y
yf(x)
yf(x)
+=
⎧
⎪
+=
⎪
⎨
=
⎪
⎪
=
⎩

⎪
⎨
⎧
∈
+
++=
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM
⇔
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈
+
+
++=
Z
edx
c
,x
edx

b
f
gf < g ⇔ a < x < b, f > g ⇔
⎢
⎣
⎡
<
<
xb
ax
f
≤ g ⇔ a ≤ x ≤ b , f ≥ g ⇔
⎢
⎣
⎡
≥
≤
bx
ax
VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

1. Tọa độ , vectơ :

* (a,b) ± (a
/
, b
/

ba)b,a( +=

/
/
/
v.v
cos(v,v )
v.v
=
rr
rr
rr

ABAB),yy,xx(AB
ABAB
=−−=
M chia AB theo tỉ số k
⇔ MB
k
MA
=⇔
k1
kyy
y,
k1
kxx
x

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
=
++
=
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
M
CBA
M

(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
/
==

[]
⎟
⎟

[[
//
v,v]v,v
r
rrr
⊥
r

*
v
r
⊥ ⇔
/
v
/
v.v
r
r
= 0 ; = 0 ;
//
v//v [v,v ]⇔
rr rr
///
v,v,v
r
r
r


/
'D'C'B'A.ABCD
AA].AD,AB[V =

A, B, C thẳng hàng ⇔
A
B//AC
uuuruuur

* Δ trong mp : H là trực tâm ⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
0AC.BH
0BC.AH

H là chân đường cao h
a
⇔
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=

,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :
⎩
⎨
⎧
−
=
−
+=
+=
b
yy
a
xx
:)d(,
btyy
a
t
xx
oo
o
o

(d) : A(x – x
o
) + B(y – y

′
= 0
* (d) ⊥ (Δ) ⇒ (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn ϕ thì :
cosϕ =
()
/
/
/
d
d
d
d
d
d
n.n
cos( n ,n )
n.n
≠
uuruuur
u
uruuur
uuruuur

* d(M,(d)) =
22

++/
d
d
n.n
> 0 : phân giác góc tù + , nhọn –

/
d
d
n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :

* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
, y
o
, z
o
) và 1 pháp vectơ :
n
= (A, B, C) hay 2 vtcp
'v,v
.
(P) : A(x – x
o

++
+++

* (P) , (P
/
) tạo góc nhọn ϕ thì : cos
ϕ
= )n,ncos(
)'P()P(

* (P) ⊥ (P
/
) ⇔
)'P()P(
nn ⊥
, (P) // (P
/
) ⇔
)'P()P(
n//n

4. Đường thẳng trong không gian :

* Xác đònh bởi 1 điểm M (x
o
, y
o
, z
o
) và 1 vtcp

−
+=
+=
+=]'n,n[v =

* (AB) :
AA
BA BA B
A
A
x
xyyzz
x
xyyzz
−−−
==
−−−

* (d) = (P) ∩ (P
/
) :
0
0
Ax By Cz D
A' x B' y C' z D'
+++=
⎧