Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
1
TÓM T
ẮT CÔNG THỨC TOÁN CẤP 3
A.Đ
ẠI SỐ.
1. Tam th
ức bậc hai.
Gi
ả sử
2
( ) 0; , ; ;   
 
       
 
 

b
f x ax bx c a S
a
0
( ) 0
0


   

 



a
f x x
1 2
( ) 0
( ) 0

 



   



af
x x
af

là nghi
ệm của
( )f x
( ) 0 f
1 2
( ) 0
( ) 0

 



 



 

   



 

x x af
S
1 2
1 2
( ). ( ) 0
 
 
 
  

 

  

x x
f f
x x
1 2




 




    



 


 


af
x x af
S
S
2. B
ất đẳng thức Cô si:
V
ới hai số
0, 0 a b
thì
2


B
A B
A B


 

 

A B
A B
A B
    A B B A B
4. Phương tr
ình
– b
ất ph
ương trình chứa căn
 
0 0 


 




A B
A B
A B



  
 




B
B
A B
A
A B
0

 



A
A B
A B
B. H
Ệ THỨC L
ƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
.
1. Đ
ịnh lý hàm số Cosin:
2 2 2
2 2 2

S ah bh ch
4

abc
S
R
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
  S ab C ac B bc A
     
   S p p a p b p c
.S p r
C.H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
.
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Để giải một hệ ph
ương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng hay phương pháp thế. Bên cạnh đó
ta còn có m
ột số loại hệ ph
ương trình đặc biệt.
II. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT.
1. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 D
ạng:
1 1 1
2 2 2
(*)

a c
D
a c
- N
ếu
0D
: h
ệ (*) có nghiệm duy nhất









x
y
D
x
D
D
y
D
- N
ếu
0D
và
0

g x y
trong đó khi hoán v
ị vai tr
ò của x và y cho nhau, từng phương trình của
hệ không thay đổi.
 Cách giải:
Đ
ặt
;  S x y P xy
Gi
ải tìm S, P. Suy ra x, y là nghiệm của phương trình
2
0  X SX P
Đi
ều kiện để ph
ương trình trên có nghiệm là
2
4 0   S P
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
4
3. H
Ệ PH
ƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI HAI.
 D
ạng:
( , ) 0 (1)



 

f x y f y x
f x y f y x
4. H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
.
 D
ạng:
H
ệ ph
ương trình đẳng cấp là hệ phương trình mà cấp của tất cả đơn thức trong hệ đều
bằng nhau.
 Cách giải:
- Xét
0x
, th
ế vào hệ tìm y.
- Xét
0x
, đ
ặt
y tx
, th
ế vào hệ tìm t, sau đó suy ra x và y.
D.LƯ
ỢNG GIÁC
.

sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
 
   
 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
1.2 Hai cung bù nhau: (

và
 
)
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
  
  
  
  
 

    
   
   
x x x x
Ghi nhớ: ‘ cos đ
ối; sin bù; phụ chéo; hơn, kém

tan, cot ‘.
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
5
2. Các công th
ức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1  x x
2
2
1
1 tan
cos
  x
x
2
2
1
1 cot
sin

a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
4. Công th
ức nhân
4.1 Công th
ức nhân đôi
2 2 2 2
2
sin 2 2sin cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tana
tan2
1 tan

     


a a a
a a a a a
a
a
4.2 Công th
ức nhân ba
3
3
3
2

a a
a a a a
a a
6. Công th
ức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
 
 
 
  
 
 
 
 
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
www.MATHVN.com

n thc c bn
2
sin sin
2





u v k
u v
u v k
2
cos cos
2








u v k
u v
u v k
tan tan 2 u v u v k

i: t
t = sinu; cosu; tanu; cotu.
Chỳ ý:
sin ; cos 1u u
D
NG 3. PHNG TRèNH BC NHT THEO SIN
u V COSu
Kin thc c bn
D
ng
:
sin cos a u b u c
(1) trong ủoự
2 2
0 a b
i
u kin cú nghim:
2 2 2
a b c
Caựch giaỷi:
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung
7
Chia hai v
ế của PT cho
2 2
a b

cos 0u
. Ki
ểm tra
2

 u k
có thỏa phương trình (2) không ?
B
2
: Xét
cos 0u
. Chia 2 v
ế phương trình (2) cho
2
cos u
. Ta đư
ợc phương trình mới dạng:
2
tan tan 0  a u b u c
.
*Chú ý: N
ếu ph
ương trình lượng giác có bậc cùng chẳn hoặc cùng lẻ theo
sinu và cosu thì ta
c
ũng giải bẳng phương pháp trên.
D
ẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
– PH
ẢN XỨNG

ào
(3) ta được phương trình b
ậc hai
theo t.
M
ột số công thức quan trọng
sin cos 2sin 2 cos
4 4
 
   
    
   
   
 u u u u
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
 
   
     
   
   
 u u u u
 
2
1 sin2 sin cos   x x x
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hoài Trung

. k x k
 
'
. . 'k u k u
1
( )' .


n n
x n x
1
( )' . .( ) '


n n
u n u u
2
1 1
( )'  
x x
2
1 ( )'
( )'  
u
u u
1
( )'
2
x
x

cos
  
u
u u u
u
2
2
1
(cot )' (1 cot )
sin
    x x
x
2
2
'
(cot )' (1 cot ). '
sin
    
u
u u u
u
( )' 
x x
e e
( )' . '
u u
e e u
( )' .ln
x x
a a a

2
'
( )

  
 
a b
c d
ax b
y y
cx d cx d

1 1 1 1 1 1
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
'
( )
 
 
  
   
a b a c b c
x x
a b a c b c
a x b x c

1


n
n
a
a
5.

m
n
m
n
a a
6.
1 1

 
m
n
m
n
m
n
a
a
a
7.
.


M
a
a N M N
STT
CÔNG TH
ỨC LOGARIT
1
log 1 0
a
2
log 1
a
a
3
log 
M
a
a M
4
log

a
N
a N
5
1 2 1 2
log ( . ) log log 
a a a
N N N N
6

a
N
N
b
11
1
log
log

a
b
b
a
12
1
log log



a
a
N N
13
log c log a
b b
a = c
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt công thức Toán học phổ thông Trường PTTH Ngô Thời Nhiệm
Giáo viên biên so



n
n
x
x dx C n
n
4.
 
0ln
1


xCxdx
x
5.
2
1 1
  

dx C
x x
6.
 
1
1 1
1

  


2
1
(1 tan ) tan
cos
   
 
dx x dx x C
x
12.
2
2
1
(1 cot ) cot
sin
    
 
dx x dx x C
x
13.
1
1 1 1
1

   


n n
dx c
x n x
14.

a
17.
 
1 1
ln 0   


dx ax b C x
ax b a
18.
1
 
 

ax b ax b
e dx e C
a
19.
   
1
cos sin   

ax b dx ax b C
a
20.
   
1
sin cos    

ax b dx ax b C

11
H.PHƯƠNG PHÁP T
ỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
.
Cho vectơ
 
; ;

u x y z
;
 
'; '; '

v x y z
và hai đi
ểm
 
; ;
A A A
A x y z
;
 
; ;
B B B
B x y z
.
1.
 
'; '; '    
 

 
x y z
x y z
5.

u
cùng phương

v

, 0
 

 
  
u v
6. Tích vơ hướng của hai vectơ:
. ' ' '  
 
u v xx yy zz
7. Độ dài của một vectơ :
2 2 2
  

u x y z
8. Vectơ tạo bởi 2 điểm A, B:
 
; ;   

B A B A B A

12. M là trung điểm của đoạn AB 
2
2
2















A B
M
A B
M
A B
M
x x
x
y y
y
z z

G A B C
G A B C
x x x x
y y y y
z z z z
14. G là trọng tâm tứ diện ABCD 
1
( )
4
1
( )
4
1
( )
4

   



   



   


G A B C D
G A B C D
G A B C D

 

 
 
ABC
S AB AC
18. Diện tích hình bình hành ABCD:
2 ,

 
 
 
 
hbh ABCD ABC
S S AB AC
19. Thể tích tứ diện ABCD :
ABCD
1
V AB ,AC .AD
6
 

 
  
20. Chiều cao AH của tứ diện ABCD:
ABCD
3.V


BCD

o o o
Ax By Cz D
d M
A B C
26. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
0
,
( , )
 
 

 


M M a
d M
a
27. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
, .
( , ')
,
 
 

 
 
  
 
a b MN
d d d

AB a a AC b b S a b a b
1. Đư
ờng thẳng.
a. Các d
ạng phương trình đường thẳng:
- Phương tr
ình tổng quát:
 
2 2
0 0    Ax By Cz A B
( Vec tơ pháp tuy
ến
 
;

n A B
, Vec tơ ch
ỉ ph
ương
 
; 

a B A
hay
 
; 

a B A
)
- Phương tr


x x y y
a a
- Phương trình đoạn chắn:
1 
x y
a b
( Đi qua hai đi
ểm
   
; 0 , 0;A a B b
)
b. Góc gi
ữa hai đường thẳng.
G
ọi
1 2
 
n và n
là hai VTPT c
ủa hai đường thẳng
1 2
 và
. Khi đó:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
| . | | |

 

M M
Ax By C
d M
A B
2. Đường tròn.
Các d
ạng ph
ương trình đường tròn:
- D
ạng 1.
Phương tr
ình đường tròn (C) có tâm
 
;I a b
và bán kính R là:
     
2 2
2
:    C x a y b R
- D
ạng 2.
Phương tr
ình dạng:
2 2
2 2 0    x y ax by c
v
ới điều kiện
2 2

:
   
1 2
;0 , ;0F c F c
- Đ
ỉnh trục lớn :
   
1 2
;0 , ;0A a A a
- Đ
ỉnh trục bé:
   
1 2
0; , 0;B b B b
- Tâm sai:
1 
c
e
a
- Phương tr
ình
đường chuẩn:
 
a
x
e
- Đi
ều kiện tiếp xúc của (E) và
: 0   Ax By C
là:

e
a
- Phương tr
ình
đường chuẩn:
 
a
x
e
- Đi
ều kiện tiếp xúc của (H) và
: 0   Ax By C
là:
2 2 2 2 2
 A a B b C
5. Parabol.
x
y
F
2
F
1
B
2
B
1
A
2
A
1

15
- Phương tr
ình chính tắc:
2
2y px
-Tiêu đi
ểm
;0
2
 
 
 
p
F
- Phương tr
ình
đư
ờng chuẩn
2
 
p
x
- Đi
ều kiện tiếp xúc của (P) v
à
: 0   Ax By C
là:
2
2 AC B p
B

-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là trọng tâm

ABC)
-Tất cả các góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau
-Tất cả các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau
*Chú ý:
-Diện tích

đều :
2
3
4


canh
S
-Đường cao

đều:
3
2


canh
h
*Tính chất:
-Đáy là hình vuông
-Tất cả các cạnh bên bằng nhau
-Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
-Chân đường cao trùng với tâm mặt đáy (Tâm đáy là giao điểm 2

, ( )





  




d a
d b d
a b
*CÁCH 2: Sử dụng đònh lí:’’Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia’’
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
 


 





 

mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
( )
( )




 



d
d a
a
Lăng trụ thường
Lăng trụ đứng
Hình lập phương
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
18
3/ Phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.
( )
( ) ( )
( )


b’
a
*PP: Gọi

là góc cần tìm.
-B1: Tìm giao điểm O của a và
( )
-B2: Tìm đường vuông góc từ đường thẳng a xuống
mặt phẳng
( )
-B3:

OH là hình chiếu của a lên
( )
Vậy

( , )  a OH
*PP: Gọi

là góc cần tìm
-B1: Xác đònh giao tuyến c của
( )
và
( )
-B2: Tìm đường vuông góc với một trong hai mặt phẳng.
-B3: Từ chân đường vuông góc, hạ đt vuông góc với gt c tại H.
-B4: Chứng minh đt hạ từ đỉnh đường vuông góc xuống H vuông góc
với gt c.
Suy ra góc


( ,( )), ( )  d B B
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nhắc lại: Đường vuông góc chung của 2 đt chéo nhau a, b là đt cắt a, b và đồng thời vuông góc với
2 đt đó.
*TH1: a, b chéo nhau và
a b
. Khi đó:
Nếu AB cắt
( )
tại I thì
( ,( ))
( ,( ))
d A IA
d B IB



PP:
-B1: Tìm mp
( )
Chứa
tại



 

b
a A
-B2: Từ A kẻ AB

2
Di
ện tích hì
nh ch
ữ nhật = dài . rộng
Đường chéo hình vuông = cạnh .
2
S
hìnhtròn
=
2
R
Di
ện tích tam giác thường
=
1
2
(cạnh đáy.đư
ờ
ng cao)
Thể tích khối chóp V =
1
3
(S
đáy

cao)
Di
ện tích tam giác
thư

-B2: Từ H dựng
'a a
, cắt b tại B
-B3: Từ B dựng đt

MH cắt a tại A

AB là đoạn vuông góc chung
Vậy
( , ) ( ,( ))d a b AB MH d M   
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
21
Đường cao tam giác đều =
3
2
canh
Diện tích mặt cầu S=
2
4R
S
hình thang
=
1
2
(đáy nhỏ + đáy lớn)


K. S
Ố PHỨC
1. Đ
ịnh nghĩa số phức v
à các khái niệm liên quan
Đ
ịnh nghĩa :
S
ố phức l
à một biểu thức có dạng
a bi
; trong đó
, a b
và
2
1 i
.
T
ập hợp các số p
h
ức được kí hiệu là

.
 N
ếu
 z a bi
thì
a
g
ọi l

. Khi đó :
 M
ỗi s
ố phức
 z a bi
đư
ợc biểu diễn bởi
m
ột
đi
ểm
 
;M a b
trên m
ặt phẳng tọa độ Oxy.

2 2
  

z OM a b
g
ọi là
mođun c
ủa số phức
z
.
 S
ố phức
 z a bi
g

Chú ý :
 Các phép toán : c
ộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện nh
ư rút gọ
n bi
ểu thức đại số thông th
ường
v
ới chú ý rằng
2
1 i
.
 Các quy t
ắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.
 Cho
 z a bi
. Khi đó :
2 2
.  z z a b
.
Phép chia hai s
ố phức :
 
.
0
.
 
 
z z z
z


 




a a
z z
b b
www.MATHVN.com
DeThiThuDaiHoc.com
Bảng tóm tắt cơng thức Tốn học phổ thơng Trường PTTH Ngơ Thời Nhiệm
Giáo viên biên so
ạn: Trương Hồi Trung
23
Cách gi
ải phương trình bậc hai với hệ số thực :
 
2
0; , , ; 0    az bz c a b c a
.
Tính
2
4  b ac
.
K
ết luận :
 N
ếu
0 

ậc hai l
à
i
và
 i
. Khi đó phương tr
ình có hai nghi
ệm phức
phân bi
ệt l
à
1
2
  

b i
z
a
và
2
2
  

b i
z
a
.
4 Dạng lượng giác của số phức
4.1 Dạng lương giác của z = a + bi (a, b
, 0) R z

4.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos
sin ) , ' '(cos ' sin ')     i z r i
thì :
a)
. ' . '[cos( ') sin( ')      z z r r i
]
b)
[cos( ') sin( ')]
' '
      
z r
i
z r
4.3 Công thức Moa-vrơ :
*
n N
thì
[ (cos sin )] (cos sin )     
n n
r i r n i n
4.4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos
sin )  i
(r > 0) là :
(cos sin )
2 2
 
r i
và