- 1 - Tóm tắt công thức
- 1 - XSTK
Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng đôi

P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
 Ta có
o A, B xung khắc

P(A+B)=P(A)+P(B).

P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
 Ta có
o A, B độc lập

P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau

P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q

 , với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A
1


    


o Công thức Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B


với
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A   
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất với ( ), 1, .
i i
p P X x i n   
Ta có:
1

… p
n

- 2 - Tóm tắt công thức
- 2 - XSTK
 Hàm phân phối xác suất
( ) ( )
i
X i
x x
F x P X x p

  


 Mode
0 0
ModX max{ : 1, }
i
x p p i n   
 Median
0,5
( ) 0,5
MedX
( ) 0,5
0,5
i e
i e
i
x x

( . ) . . ... .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p

    


1 1 2 2
1
( ( )) ( ( ). ) ( ). ( ). ... ( ).
n
i i n n
i
E X x p x p x p x p
    

    


 Phương sai
2 2
( ) ( )VarX E X EX 
với
2 2 2 2 2
1 1 2 2
1
( ) ( . ) . . ... .
n

0
ModX x  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x
0
.
 Median
1 1
( ) ( )
2 2
e
x
e X e
MedX x F x f x dx

    

.
 Kỳ vọng
EX . ( )x f x dx




.
( ( )) ( ). ( )E X x f x dx
 






,
2
VarX


 Hàm mđxs
2
2
( )
2
1
( , , )
2
x
f x e


 
 


  Với 0, 1:
 
  
2
2
1
( )
2
x

2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt


 
2
2
1
( )
2





t
x
F x e dt
- 4 - Tóm tắt công thức
- 4 - XSTK
c. Phân phối Nhị thức ( ~ ( ; ))X B n p
 ( ) {0..n}X   , EX=np, VarX=npq, ModX=k ( 1) 1 ( 1)n p k n p     
 (X=k)=C . . , q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k

       
 Nếu ( 30;0,1 0,9; 5, 5)     n p np nq thì
2
~ ( ; ) ( ; )  X B n p N với
. ,n p npq   

1
(X=k) ( ), 0 ,
k
P f k n k

     
 

 (a X<b) ( ) ( )
b a
P
 
    
 


N n
N


với
A
N
p
N
 , q=1-p.

( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
     
    
 
.
 (X=k)= , ( )
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P k X
Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:
n

30, np<5
p

0,1

=np
N>20n
p=
A
N
N
, q=1-p
n

30, np
5
, nq
5

n
N
C C
P X k
C


 

Poisson: X~

( )P
( )
!
k
P X k e
k



 

Nhị thức: X~B(n;p)

( ) . .
k k n k
n
P X k C p q

 



- 6 - Tóm tắt công thức
- 6 - XSTK II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1
...
n
X X
X
n
 

1
...
n
x x
x
n
 

Phương sai không hiệu chỉnh

2 2

1
   


n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ... ( )
1
   


n
x
x x x x
s
n

b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:
Khi đó
Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể

   


k k
x
x x n x x n
s
nc. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu

- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [ ; )a b hay ( ; ]a b thì ta sử dụng giá
trị đại diện cho miền đó là
2
a b
để tính toán. Tác vụ Dòng CASIO MS Dòng CASIO ES
Bật chế độ nhập tần số Không cần
Shift Mode  4 1
Khởi động gói Thống kê Mode…(tìm)…SD Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Nhập số liệu
1
x Shift ,
1
n M+

k

k
x
i
n
1
n
2
n
…
k
n