PHẦN I: XÁC SUẤT
1. Biến cố ngẫu nhiên & xác suất của biến cố:
1.1. Công thức cộng xác suất:
1.1.1. p(A+B)=p(A)+p(B) (2 biến cố xung khắc)
1.1.2. p(A+B)=p(A)+p(B)-p(A.B)  p(A+B+C)=p(A)+p(B)+p(C)-[p(AB)+p(AC)+p(BC)]
+p(ABC)
1.2. Công thức nhân xác suất:
1.2.1. p(A.B)=p(A).p(B) (2 biến cố độc lập)
1.2.2. p(A.B)=p(A).p(B/A) 
1 2 1 2 1 1 2 1
( ... ) ( ). ( / )... ( / .. )
n n n
p A A A p A p A A p A A A A
−
=
1.3. Công thức Bernoulli: cho 2 biến cố A và
A
1.3.1.
( )
x x n x
n n
p x C p q
−
=
, p=p(A), q=1-p
1.4. Công thức xác suất đầy đủ:
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ... ( ). ( / )
n n
p F p A p F A p A p F A p A p F A= + + +
1.5. Công thức Bayes:

2.3. Hàm phân phối xác suất (
( )F x
) (dùng cho cả 2 loại biến-thường là biến ngẫu nhiên liên tục)
2.3.1.
( )F x
=p(
F
<x)
2.3.2.
'( ) ( )F x f x=
2.3.3.
( ) ( )
x
F x f t dt
−∞
=
∫
2.4. Kỳ vọng
2.4.1.
1 1 2 2
( ) ...
n n
E x x p x p x p= + + +
(từ bảng phân phối xác suất)
2.4.2.
( ) ( )E x xf x dx
+∞
−∞
=
∫

−
=
3.1.2.
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=
∫
3.1.3.
ModX MedX
µ
= =
;
2
( ) , ( )E x V x
µ σ
= =
3.1.4.
( ) ( ) ( )
b a
p a x b
µ ϕ
ϕ ϕ
σ σ
− −
≤ ≤ = −
3.1.5. Phân phối chuẩn tắc
2
0, 1
µ σ

>0
3.2.1.
( )
!
k
p k e
k
λ
λ
λ
−
= =
3.2.2.
( ) ( )E x V x
λ
= =
3.3. Phân phối nhị thức:
~ ( , )X B n p
3.3.1.
( ) ( ) , 1
k k n k
n n
p X k p k C p q p q
−
= = = + =
3.3.2.
0
( ) 1
n
k

!
k
k k n k
n
p x k C p q e
k
λ
λ
− −
= = =
3.3.5.2. Bằng phân phối chuẩn:
0.5, 0.5, ,np nq np npq
µ σ
≥ ≥ = =
.
~ ( , ) ~ ( , )X B n p X N np npq≈
1
( ) ( )
k
p x k f
µ
σ σ
−
= =
; p(
1
k
<X<
2 1
2

3.4.1.
( ) ,
A
N
E X np p
N
= =
;
( ) . , 1
1
N n
V X npq q p
N
−
= = −
−
3.4.2. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức:
0.05 ~ ( , )n N X B n p≤ ⇒
;
( ) ,
k k n k
A
n
N
p X k C p q p
N
−
= = =
3.5. Biến ngẫu nhiên 2 chiều: X và Y độc lập
( ). ( )

i
X x
n
=
=
∑
1.1.2. Tính tỷ lệ mẫu: (
n
f
);
A
n
m
f
n
=
(
A
m
:số phần tử mang tính chất A; n: kích thước mẫu)
1.1.3. Tính phương sai mẫu:
2 2 2
1
1
[ ( ) ]
1
k
i i
S n x n X
n

σ
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
2
.u
n
α
σ
ε
=
(
1
α
−
0.5-
2
α

2
u
α
)
X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +

Như TH1
X
,s
1 2
,X X
µ ε µ ε
= − = +
( 1, )
2
.
n
s
t
n
α
ε
−
=
1.2.2.2. Ước lượng khoảng cho tỷ lệ: tổng thể có tỷ lệ p chưa biết, với độ tin cậy
1
α
−
cho trước, với 1 mẫu kích thước n, tỷ lệ mẫu
n
f
. Tìm 2 số
1 2
,p p
thoả:
1 2

2 2
2
2 2
1 2
( 1) ( 1)
[ , ]
n S n S
σ
χ χ
− −
∈
trong đó
2 2
1
( 1, )
2
n
α
χ χ
= −
,
2 2
2
( 1,1 )
2
n
α
χ χ
= − −
TH2:

α
χ χ
= −
1.2.3. Kiểm định giả thuyết thống kê:
1.2.3.1. Kiểm định giả thuyết thống kê cho
µ
1.2.3.1.1. TH1:
2
σ
biết
Giả thuyết thống kê
W
α
:
2
σ
biết (miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
≠
0
µ

σ
−
= =
,u<-
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{
X
W u n
α
µ
σ
−
= =
,u>
u
α
}

−
= =
>
2
u
α
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
<
0
µ
0
{
X
W u n
s
α
µ
−
= =
,u<-
u
α
}

W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
≠
0
µ
0
{ ,
X
W t n t
s
α
µ
−
= =
>
( 1, )
2
n
t

−
}
0 0
:H
µ µ
=
1
:H
µ
>
0
µ
0
{ ,
X
W t n
s
α
µ
−
= =
t
>
( 1, )
2
n
t
α
−
}

}
0: 0
H p p=
1:
H p
<
0
p
0
0 0
{
(1 )
f p
W u
p p
n
α
−
= =
−
,
u
<-
u
α
}
0: 0
H p p=
1:
H p

)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
≠
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ

<
2
0
σ
2
2
2
0
( 1)
{
n s
W
α
χ
σ
−
= =
,
2
χ
<
2
( 1,1 )n
α
χ
− −
2 2
0 0
:H
σ σ

−
1.2.3.3.2. TH2:
µ
biết.
Giả thuyết thống kê
W
α
(miền bác bỏ
0
H
)
2 2
0 0
:H
σ σ
=
2
1
:H
σ
≠
2
0
σ
2
2
2
0
( )
{