ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 1 / 24
Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
3
√
x
3
− 2x
2
.
Tập xác định D = R
y

=
3x
2
− 4x
3.
3

(x
3
− 2x
2
)
2

3
− 2x
2
.
Tập xác định D = R
y

=
3x
2
− 4x
3.
3

(x
3
− 2x
2
)
2
=
3x − 4
3.
3

x(x − 2)
2
y

= 0 ⇔ 3x − 4 = 0 ⇔ x =

3
√
x
3
− 2x
2
x
= 1,
b = lim
x→∞
(
3
√
x
3
− 2x
2
− x) =
lim
x→∞
x


1 −
2
x

1/3
− 1


, 0  x  +∞ quay quanh trục Ox.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 6 / 24
S
x
= 2π

b
a
|f (x)|

1 + f
2
(x)dx
S
x
= 2π
∞

0
e
−
x
2

1 +
e
−x
4
dx. Đặt
t = e

2
+ 4))



1
0
=
= π

√
5 + 4 ln

1 +
√
5
2

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 7 / 24
Câu 3
Tìm α để tích phân sau hội tụ
I =
1
2

0
dx
x
α

= I
1
+ I
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 8 / 24
Câu 3
Tìm α để tích phân sau hội tụ
I =
1
2

0
dx
x
α
.
√
1 − 4x
2
. Tính tích phân khi α = −2.
I =
1
4

0
dx
x
α
.

α
.
√
1 − 4x
2
x→
1
2
−
∼
1
2
−α+1
.(
1
2
− x)
1
2
Do đó, I
2
hội tụ. Vậy I hội tụ.
Trường hợp 2: Nếu α = 0 thì I
1
là tích phân xác
định còn I
2
là tích phân suy rộng loại 2
1
√

2
x→
1
2
−
∼
1
2
−α+1
.(
1
2
− x)
1
2
Do đó, I
2
hội tụ. Vậy I hội tụ.
Trường hợp 2: Nếu α = 0 thì I
1
là tích phân xác
định còn I
2
là tích phân suy rộng loại 2
1
√
1 − 4x
2
x→
1

1
x
α
1
x
α
.
√
1 − 4x
2
x→
1
2
−
∼
1
2
−α+1
.(
1
2
− x)
1
2
I
2
hội tụ nên để I hội tụ thì I
1
hội tụ, có nghĩa là
α < 1.

1
8
sin
2
tdt =
π
32
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 11 / 24
Câu 4
Giải phương trình
1
y

=

2x + y
x

2
, y(1) = 2.
2
y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x)
1. Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Đặt

y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x)
1. Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Đặt
z =
y
x
⇒ y = x.z ⇒ y

= z + x.z

. Đưa phương
trình đã cho về phương trình
dz
z
2
+ 3z + 4
=
dx
x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 12 / 24
⇒ ln |x| −
2
√
7
arctan

2
− 2k + 2 = 0 ⇔ k
1
= 1 + i, k
2
= 1 − i.
Nghiệm thuần nhất y
tn
= e
x
(C
1
cos x + C
2
sin x).
Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
y

− 2y

+ 2y = e
2x
(3 cos x − sin x) có dạng
y
r
= x
s
.e
2x
(A cos x + B sin x). Vì 2 + i không là

2A) sin x] = e
2x
(3 cos x − sin x)
⇒

A + 2B = 3
−2A + B = −1
⇒

A = 1
B = 1
Nghiệm riêng y
r
= e
2x
(cos x + sin x).
Nghiệm tổng quát
y = e
x
(C
1
cos x + C
2
sin x) + e
2x
(cos x + sin x).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 15 / 24
Câu 5. Cách 1. Phương pháp khử 1
Giải hệ phương trình


thuần nhất y
tn
= e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 16 / 24
Câu 5. Cách 1. Phương pháp khử 1
Giải hệ phương trình

x

= x + 2y + e
t
(1)
y

= −x + 3y (2)
Từ (2) ta có x = 3y − y

⇒ x

= 3y

− y

. Thay

.
Nghiệm tổng quát
y(t) = e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −
1
2
e
t
,
x(t) = e
2t
[(C
1
− C
2
) cos t + (C
1
+ C
2
) sin t] −e
t
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 17 / 24
Phương pháp khử 2
y =

. Nghiệm tổng quát
x(t) = e
2t
(C
1
cos t + C
2
sin t) −e
t
,
y(t) =
1
2
e
2t
[(C
1
+C
2
) cos t +(C
2
−C
1
) sin t]−
1
2
e
t
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÔN TẬP CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 TP. HCM — 2013. 18 / 24