CHỦ ĐIỂM 1
MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1
VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1:
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
y = f(x) =
x 1
x 2
+
+
2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số:
a) y =
| x | 1
| x | 2
+
+
b) y =
| x 1|
x 2
+
+
c) y =
x 1
| |
x 2
+
+
y = 2|x|
3
– 9x
2
+ 12|x| = m
1
VẤN ĐỀ 2:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 3m – 5
a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị
b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó
Bài 2: Cho hàm số: y = – x
3
+ 3mx
2
+3(1 - m
2
)x + m
3
- m
2
(C
m
2
A. Phương pháp:
Cho hàm số bậc 3: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (C), ta có các bài toán sau:
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔
'
f (x)
max min
> 0
y .y 0
∆
<
g
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hđ dương ⇔
'
f (x)
max min
max min
> 0
y .y 0
x 0,x 0
ad 0
>
g
(C) cắt trục hoành tại 2 điểm (sẽ có 1 tiếp điểm: (C) tiếp xúc với Ox)
⇔
'
f (x)
max min
> 0
y .y 0
∆
=
hay hệ
f (x) 0
f (x) 0
'
=
=
m
): y = x
3
- mx + m – 1
b) (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8
c) (C
m
): y = 2x
3
+ 3mx
2
- 2m + 1
Bài 2: Cho (C
m
): y = 2x
3
– 3(m + 2)x
2
+ 6(m + 1)x – 3m + 6
Tìm m để (C
m
) cắt trục hoành tại 3 điểm khác nhau
Bài 3: Cho (C
m
1)
m)x6)(x3(x6x3
=−+−−++
2) x + 3 = m
2
1x +
3)
m1xx1xx
22
=+−−++
4)
6mx4xmx4x
4
44
=+++++
5) m(
22422
x1x1x12)2x1x1
−−++−=+−−+
(ĐH KB – 2004)
6) 3
4
2
1x21xm1x
−=++−
(ĐH KA – 2007)
7) x
3
+ 3x
2
4
Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả
mãn một số điều kiện cho sẵn:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M
0
(x
0
,y
0
) thuộc (C) có phương trình là:
y – y
0
= f’(x
0
).(x – x
0
) (k = f’(x
0
): là hệ số góc)
♦ Các dạng khác nhau của đề bài:
• Cho x
0
: Tính y
0
= f(x
0
) và f
’
(x
0
) bất kỳ
( M(x
1
,y
1
) có thể thuộc hay không thuộc (C) )
♦ Cách 1:
• Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
1
,y
1
) và có hệ số góc k
y – y
1
= k(x – x
1
)
⇔
y = k(x – x
1
) + y
1
(1)
• (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x
0
⇔
x
0
và k là nghiệm của hệ
,y
1
) nên x
1
và y
1
nghiệm đúng (1):
y
1
– f(x
0
) = f’(x
0
).(x
1
– x
0
) (2)
• Giải (2) ta có x
0
rồi thế x
0
vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x
1
; y
1
) kẻ được n tiếp tuyến
Phương pháp thông thường là bắt hệ (I)
f(x) k(x x ) y
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến (T) của (C) trong các trường hợp sau:
1) Tại điểm A(-2; 8), B(2; 8)
2) Biết hoành độ tiếp điểm bằng -2
3) Biết tung độ tiếp điểm bằng 27
4) Biết (T) vuông góc với đường thẳng (d): y = -
1
3
x + 3
5) Biết (T) song song với đường thẳng (d): y = 9x - 2
6) Biết (T) đi qua (kẻ từ) điểm P(0, 1).
Bài 2: Cho hàm số y = -2x
3
+ 6x
2
– 5 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (đi qua) A(-1; -13)
(ĐH DB KB 2007)
Bài 3: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
+ +
+
(H).
Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với
đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)
2) Chứng minh rằng:
a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm
của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi.
b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số.
c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên.
Bài 7: Cho hàm số y =
2
x 3x 3
x 2
− +
−
(H)
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp
tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng:
1) M là trung điểm của PQ
6
2) Tam giác AIB có diện tích không đổi
3) IQ.IP không đổi.
CHỦ ĐIỂM 2
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1
ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT
A. PHƯƠNG PHÁP:
• Dùng công thức tách, công thức vi phân… để cách biến
đổi các hàm dưới dấu tích phân sao cho có thể sử dụng trực tiếp
bảng các nguyên hàm cơ bản.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1)
2
x x
sin cos dx
2 2
−
∫
÷
2)
2
x
sin dx
2
∫
3)
2 2
cos2x
dx
cos x.sin x
∫
4)
cos2x
dx
sin x cosx
∫
+
∫
12)
ln(ex)
dx
1 x ln x
∫
+
13) I =
π
2
4
π
4
dx
sin x
∫
14)
π
4
4
0
dx
cos x
∫
15)
π
3
3
2
ln x
dx
x
∫
7
ĐS (TPXĐ): 13. (
4
3
) 14. (
4
3
) 15. (
3
1
8 3
−
) 17.
3
(2.ln )
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1)
2
3
1
x dx
x
−
∫
∫
−
6)
3
(3x 1)
dx
(x 1)
+
∫
+
7)
dx
x 2 x 1
∫
− − +
8)
2
2x
dx
x x 1
∫
+ −
9)
2 5
(4x 4x 1) dx− +
∫
10)
(2x 3) 2x 1 dx+ +
∫
x 2
dx
x 3x 2
−
∫
− +
VẤN ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
A. PHƯƠNG PHÁP
Tính I =
f (x)dx
∫
, ta có hai trường hợp sau:
• TH1: I =
'
f (x)dx g[φ(x)].φ (x).dx=
∫ ∫
Thì ta đặt: t =
φ(x)
⇒ dt =
'
φ (x).dx
⇒ I =
g(t)dt
∫
Tích phân này dễ dàng tính được.
(Tức nếu ta thấy trong biểu thức f(x) có thừa số này là đạo hàm của
thừa số kia thì ta đặt t = thừa số này)
• TH2: Theo các mẫu đã học ở SGK hay do đề bài hướng dẫn ta có thể đặt
π
2
−
≤ t ≤
π
2
8
3)
2 2
uα−
( a > 0, Δ > 0): Đặt u =
α
cost
với t∈(0,π)\{
π
2
}
VD:
∗
I =
2 2
dx
x 1 x
∫
−
thì ta đặt x = sint với
π π
t
dx
xln x
∫
3) T =
1
2
0
dx
1 x+
∫
4) K =
2
4
x 1
dx
x 1
−
+
∫
5) L =
3
6 4 2
x x
dx
x 4x 4x 1
−
+ + +
∫
6) T =
2
2
2
1 x 2x 1
ln | | C
2 2 x 2x 1
− +
+
+ +
5) Giả sử x ≠ 0, chia tử và mẫu cho x
3
, Sau đó đặt u = x +
1
x
⇒ ĐS: K =
4 2
4 2
1 x 2x 1
ln C
2
x 2x 1
+ +
+
+ +
VẤN ĐỀ 3
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP: Dùng phương pháp này để tính I =
f (x)dx
∫
khi:
(Trong đó: u.dv = f(x).dx)
Chọn u, dv thích hợp thì
vdu
∫
có dạng đơn giản.
Chú ý: Nếu
f (x)dx
∫
=
( ) ( )
P x .g x dx
∫
(Tích hai loại hàm khác nhau)
∗
Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm thuận như: sinu, cosu,e
u
thì ta đặt u = P(x) , dv = g(x).dx = (sinu / cosu / e
u
)dx
∗
Mà: P(x) là đa thức, còn g(x) là hàm ngược như:
u
a
log
, lnu
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
10
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
ln x dx
∫
HD-ĐS: 1) e 2)
2
e 5
4 4
+
3) Đặt u = ln
2
x, dv = dx: ĐS: e-2
Bài 2:
1)
1
2 2x
0
(1 x) .e dx+
∫
(Đặt u =
2
(1 x)+
, dv = e
2x
dx) 2)
e
2
1
x.ln x dx
∫
3)
6
∗
)
π
4
3
0
dx
cos x
∫
6)
π
2
2
0
x.cos x dx
∫
7)
π
2
0
x.sin x.cos x dx
∫
(Đặt u = x, dv =
2
sin x.cos x dx
) 8)
π
2
1
(1 ln 2)
2
−
5)
1
( 2 ln( 2 1)
2
+ +
)
6)
2
π 1
16 4
−
7)
π
3
8)
π
2
1
(2e 3)
5
−
9) -
π
1
(e 1)
VẤN ĐỀ 4
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
11
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
1) I =
4x 3
dx
2x 1
+
+
∫
2) I =
2
dx
x 4x 1− +
∫
3) I =
3 2
2x 3
dx
x x 2x
+
+ −
∫
4) I =
2
−
=
− +
∫
8)
e
3 2
1
2x 5
I dx
x 3x 4
−
=
− +
∫
9)
3
3
2
0
x
I dx
x 2x 1
=
+ +
∫
10)
4
1
6
HD & ĐS: 1) I = 2x +
1
ln | 2x 1| C
2
+ +
2) I =
1 x 2 3
ln | | C
2 3 x 2 3
− −
+
− +
3)
3 2
2x 3 A B C
x x 1 x 2
x x 2x
+
= + +
− +
+ −
⇒ A = -
3
2
, B =
5
3
, C = -
1
6
(x 1)
= + +
− +
−
⇒ A = 3, B = 2, C = 1
7) -ln18 8)
1 7 x 2
ln | |
3(x 2) 9 x 1
−
+
− +
+ C 9) 3ln4 -
9
4
10)
π
3
11) – 8 +
9
2
ln9 12) 1 + 25ln2 – 16ln3
VẤN ĐỀ 5
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
12
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau đây:
3x 1
+
+
∫
6)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
7)
3
5 2
0
x 1 x dx+
∫
8)
3
7
3
2
0
x
dx
1 x+
∫
9)
x
ln 2
2
3
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫
13)
2
3 2
0
x x 1dx−
∫
14)
2
2
2
3
dx
dx
x x 1−
∫
15)
2
2
2
2
0
−
12)
106
15
13)
8
15
14)
π
12
15)
1π
( 1)
4 2
−
Bài 2: 1)
2 2
dx
x 1 x−
∫
2)
2
x 2x 3
dx
x 1
+ +
+
∫
x x+
∫
HD – ĐS: Bài 2: 1) ĐS:
2
1 x
C
x
−
− +
Với x = sint
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
13
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
2) ĐS:
1 u 1 1
2[ ln | | ] + C
2 u 1 u
−
+
+
Với u = cost, x + 1 =
2
tgt
Bài 3: 1) ĐS: 3
3 2
t t
[ t ln | t 1| ] C
3 2
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân
Bài 1:
π
2
5
1
0
I sin x dx=
∫
(
8
15
)
2
2
dx
I
sin x.cos x
=
∫
3
3
3
sin x dx
I
cosx. cosx
=
∫
2
4
=
∫
10
4
dx
I
sin x.cosx
=
∫
3
11
2
sin x.cos xdx
I
1 cos x
=
+
∫
π
2
4
12
0
I cos 2x dx=
∫
(
3π
16
)
2 4
=
∫
3
I sin5x.cos3x dx=
∫
4
I sin x.cos3x dx=
∫
Bài 3:
1
dx
I
1 sin x cosx
=
+ +
∫
2
dx
I
1 sin x
=
+
∫
3
dx
I
sin x
=
∫
0
sin x
I dx
sin x cosx
∗
=
+
∫
π
2
2 2
4
0
I cos x.cos 2x dx
∗
=
∫
(→
π
8
)
VẤN ĐỀ 7
TÍCH PHÂN HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI:
∫
b
a
| f(x)| .g(x).dx
A. PHƯƠNG PHÁP: Bài giảng
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Tính các tích phân sau:
I
4
=
π
0
1 sin 2x dx +
∫
(ĐS: 2
2
)
I
5
=
π
0
| cosx | sin x dx
∫
(ĐS:
4
3
) I
6
=
2π
0
1 sin x dx +
∫
(ĐS: 4
2
)
CHỦ ĐIỂM 3
≤ ≤
≤ ≤
• Dùng khai triển Niu tơn hoặc các công thức sau để rút gọn
n! n!
k k
P = n!, A = , C
n n n
(n k)! k!(n k)!
=
− −
Chú ý: m! = (m – 1)! m = (m – 2)! (m – 1) m
• Giải phương trình và chọn nghiệm thoả mãn điều kiện
• Kết luận
- Tính biểu thức M thì dùng các công thức trên để rút gọn A về dạng tối giản
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Giải các phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sau đây:
1)
2 n 1
A .C 48
n n
−
=
(ĐS: n = 4) 2)
1 1 1
n n n
C C C
x x x
C C C
5 7
6
− =
(ĐS: n = 3)
7)
1 3 5 2n 1
C C C C 1024
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
+
+ + + + =
+ + + +
(ĐH DB K
A
– 2005)
8) Tính giá trị của M =
4 3
A 3A
n
n 1
(n 1)!
+
+
+
, biết rằng:
2 2 2 2
C 2C 2C C 149
n 1 n 2 n 3 n 4
x x
y y
5A 2C 80
x x
+ =
− =
12)
n 1 n
C C
5 5
+
<
, Với n ∈
¥
13)
1 6
2 2 3
A A C 10
x x
2x
2 x
− ≤ +
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
16
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
P = n!, A = , C
n n n
(n k)! k!(n k)!
=
− −
Hoặc dùng các tính chất:
C
k
n
= C
n k
n
−
; C
k 1
n 1
+
+
=
k
n
n 1
C
k 1
+
+
; C
k 1
n 1
+
n
sau đó chọn x = a.
• Cách 3: Dùng đạo hàm cấp 1, cấp 2, …
B1: Chọn nhị thức Niutơn để khai triển
B2: Lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai của hai vế
B3: Chọn a, b, x, n thích hợp
Nhận dạng cách giải và chọn nhị thức khai triển:
o
Dùng đạo hàm cấp 1: Nếu một vế của khai triển mất
0
n
C
hay
n
n
C
(C đầu hay cuối) và đồng thời trong mỗi tổ hợp hệ số đi cùng với nó tăng
hoặc giảm đều một đơn vị,…
o
Dùng đạo hàm cấp 2: Nếu một vế của khai triển mất (
0
n
C
và
1
n
C
C
và
n
n
C
(C đầu và cuối) đồng thời
mẫu số trong mỗi tổ hợp tăng hoặc giảm đều một đơn vị, ….
o
Nếu hệ số của số hạng thứ k trong tổ hợp là: b
k+1
– a
k+1
o
Chọn nhị thức Niutơn dựa vào các đặc trưng tương tự như cách 4 sau khi
đã loại bỏ các đặc trưng của tích phân.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Chứng minh rằng:
1)
2 2
C C n
n
n 1
= +
+
2)
1
n n 1 n 1
C C C
2n 2n 2n 2
2
3)
0 2 2 2008 2008 2008 2009
C 3 C 3 C 2 (2 1)
2009 2009 2009
+ + + = −
4)
1 3 2n 1 0 2 2n 2n 1
C C C C C C 2
2n 2n 2n 2n 2n 2n
− −
+ + + = + + + =
Bài 3: Chứng minh rằng:
1) 1.
1 2 3 n n 1
C 2.C 3.C nC n2
n n n n
−
+ + + + =
2) 1.
n1 2 3 n
C 2.C 3.C ( 1) nC
n n n n
0
+ + − =
− −
3)
2 3 n n 2
2.1C 3.2.C n(n 1)C n(n 1)2
n n n
−
n
1 1 ( 1) 1
0 1 2 n
C C C C
n n n n
2 3 n 1 n 1
−
− + − + =
+ +
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
18
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
3)
2 3 n 1 n 1
5 5 5 5 1
0 1 2 n
5C C C C
n n n n
2 3 n 1 n 1
+ +
−
+ + + + =
+ +
4)
3 7
n 1 n 1 n 1
2 3 2
0 1 2 n
C C C C
7)
2009
1
1 2
0 1 2008
C C C
2009 2009 2009
2009 3000
3
+ + + =
Bài 5: Tính các tổng sau: (Dùng đạo hàm)
1) S =
2 40 2 4 2008 2008
C 3 .C 3 .C 3 .C
2008 2008 2008 2008
+ + + +
2) S =
7 8 9 10 11 12 13
C C C C C C C
13 13 13 13 13 13 13
+ + + + + +
3) S =
0 1 2 3 2008
C 3.C C C .C
2008 2008 2008 2008 2008
4. 5. 3000+ + + ++
4) S =
0 1 2 3 2007
C 2.C C C .C
− − −
= + + + +
+
3)
n 1 n 1
3 1 3 1 3 1
0 1 n
S C C C
n n n
n 1 n 1
+
− − −
= + + +
+
Bài 7: Chứng minh bất đẳng thức:
1)
1 2 3 2008
C .C .C .C
2008 2008 2008 2008
2 3 2008
2008!
2008
+ + + +
<
2)
2 3 4 2008 2007
C 2.C 3.C C 2006.2
2008 2008 2008 2008
2007.+ + + + >
III. DẠNG 3:
n
=
n
k n k k
C a b
n
k 0
−
∑
=
(1)
• Có hệ số tổng quát là a
k
=
k
C
n
…
• Xét tính đơn điệu (tăng:
Z
, giảm:
]
) của dãy số {a
k
} như sau:
° Nếu
1 {a }
a
k
Cách 2: Tìm k để
a a
k k 1
≥
+
và
a a
k k 1
≥
−
⇒ (a
k
)
max
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau:
1)
1
12
(x )
x
+
2)
28
3
15
n
(x. x x )
trong khai triển (x
3
+ xy)
15
Bài 4: Biết tổng các hệ số trong khai triển (1 + 2x)
n
bằng 59049. Tìm hệ số của x
4
Bài 5: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
20
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
1)
3
3
19
( 2 )+
2)
4
7
120
( 9 )
+
Bài 6: Tìm hệ số của x
8
trong các khai triển sau đây:
1)
5
3
C 2.C 2.C C
n 1 n 2 n 3 n 4
149+ +
+ + + +
+ =
(ĐH KD 2005)
Bài 8: Tìm hệ số của x
26
trong khai triển của
7
4
1
x
x
n
( )+
, biết rằng:
201 2 n
C C C
2n 1 2n 1 2n 1
2 1+ + +
+ + +
= −
(ĐH KD 2005)
Bài 9: Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của x(1 – 2x)
5
+ x
2
− =
Bài 12: Biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển
n
1
(x )
3
−
bằng 5.
Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển trên.
Bài 13: Tìm hệ số lớn nhất trong các khai triển sau:
1) (1 + 2x)
n
, ứng với: a) n = 12 b) n = 30
2)
40
1 2
( x)
3 3
+
Bài 14: Tìm n của khai triển
n
x 2
( x)
5 5
+
biết hệ số của số hạng thứ 9 lớn nhất.
Bài 15: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần
tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A.
Tìm k∈{1, 2,…,n}sao cho số tập con gồm k phần tử là lớn nhất.
CHỦ ĐIỂM 4
2
2
2
2
tan .cot 1
1
1 tan ( , )
2
cos
1
1 cot ( , )
sin
x x
x x k k Z
x
x x k k Z
x
π
π
π
=
= + ≠ + ∈
= + ≠ ∈
2. Giá trị hàm số lượng giác của các
cung đặc biệt
Cung
Hàm
0
0
0
♦Cung phụ nhau:
• sin(π/2 - x) = cosx
• cos(π /2 - x) = sinx
• tan(π /2 - x) = cotx
• cot(π/2 - x) = tanx
♦Cung hơn kém π
• sin(x ± π) = - sinx
• cos(x ± π) = - cosx
• tan(x ± π) = tanx
• cot(x ± π) = cotx
6. Biểu diễn cosa , sina , tga theo
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
22
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
sinx
0
2
1
2
2
2
3
1 0
cosx 1
2
3
2
2
2
± =
tan a tan b
cot(a b)
1 tan a tan b
± =
±
4. Công thức nhân đôi, nhân ba
t =
a
tan
2
(tham khảo)
2
2 2 2
1 2 2
cos ;sin ,tan
1 1 1
t t t
a a a
t t t
−
= = =
+ + −
7. Công thức biến đổi tích thành
tổng
[ ]
[ ]
[ ]
cos .cos
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
+ −
+ =
+ −
− =−
+ −
+ =
+ −
− =
±
± =
9. Một số công thức đặc biệt :
sin a cosa 2 cos(a ) 2 sin( a)
4 4
sin a cosa 2 (a )
4
sin
π π
• + = − = +
sin3a 3sina 4sin a
3
sin3a 3tana tan a
tan3a
cos3a
•
•
•
•
• = −
• = −
−
• = =
2
1 3tan a
−
4 4 2
6 6 2
1
sin cos 1 sin 2
2
3
sin cos 1 sin 2
4
x x x
x x x
• + = −
• + = −
II. CÁC PTLG THƯỜNG GẶP
1. Phương trình lượng giác cơ bản
♦cosx = 0 ⇔
π+
π
=
k
2
x
; cosx = -1 ⇔
ππ
2kx
+=
; cosx = 1 ⇔
x k2
= π
;
♦tanx = 0 ⇔ x = kπ; tanx = -1 ⇔
π
π
kx
+−=
4
; tanx = 1 ⇔
x k
4
π
= + π
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
24
TT BDVH & LTĐH NHÂN TÀI 245/40 Nguyễn Công Hoan - ĐN §TLH: 0905.652.581-0905.620.855
* Cách 1: Dùng góc phụ
Điều kiện để phương trình có nghiệm: c
2
≤ a
2
+ b
2
Ta có: asinx + bcosx = c
⇔ sinx +
b c
cosx
a a
=
⇔ sinx + tanαcosx =
c
a
(Với tanα =
a
b
, - π/2 < α < π/2)
⇔ sinx +
sin
cos
α
α
cosx =
c
a
⇔ sinxcosα + sinαcosx =
c
Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t
0
, ta sẽ có phương trình
cơ bản:
0
x
tan t
2
=
Tài liệu ôn thi đại học cấp tốc môn Toán Biên soạn: Ths Trương Nhật Lý
25
sin(x + α) = sinβ
Copyright: Tài liệu đại học ©