CHUYấN TH TCH

Phần 1.
Thể tích khối đa diện
A. Lý thuyết
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện
*Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó
tính đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể
tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích

2
a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a
C
S
A
B
O
a
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=

l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4
3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2


O
B
A'
A
C
a

AA
2
(sin
2
+ 4) = 9l
2


4sin
3
2
'
+
=

l
AA
V ngc Vinh
2
CHUYấN TH TCH

SABC =

++
==




ll
SO
VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3
3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A,
AB = a, AC = a
3
. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC.
Tính VAABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC

= 4a
2
- a
2
= 3a
2
AH = a
3
B
C
H
2a
a
a 3
C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa

A
a
a
B'
C'
B
b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ ⊥ SB
B’S = B’B
BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
AC’ ⊥ SC
C¸ch 1
2
2
2
1
2
1
2'
a
aSBAB ===
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'

⇒V∆AB’C’ =
363243
1
32

aaa
=
C¸ch 2
3
' '
1 1
2 3
3
a
SB SC
SB SC
a
= = =
3
' '
3
3
' ' '
1 1 1
' ' '
6 6 6 36
3
SAB C
SABC
a

D
S
Tam giác vuông SB có sin =
SB
BD
(2)
Từ (1) (2)

sinsincos
22
aAB
BDAB

==



sin
cos
22
2
2
aAB
AB

=
AB
2
(sin
2




= =
SA = AB. tan =


22
sincos
sin

a
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos

2
a
BD
=
x
n
A
D
C
m
B
M
N
Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(
62
2
2
2)(
3

Giải
V ngc Vinh
6
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

A
S
C
B
H
a
- Gäi H lµ h×nh chiÕu cña S lªn (ABC)
- V× c¸c c¹nh bªn nghiªng ®Òu trªn ®¸y ⇒ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
- Ta cã: ∆ABC =
α
sin
2
1
ACAB

mµ BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos α = 2AB
2
(1-cos α) = a
2

AH
SH
⇒ SH =
αα
α
cos2sin2
tan
aa
=
⇒VSABC =
αα
α
α
cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot
a
aa
ABC
SHS
==
∆
Bµi 7: SABC cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vµ SABCD =

2
4
3
2
3
2
2
1
==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC
vuông cân tại S SO =
1
2
1
=AC
VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o

= 2a
2
-SAC có AC
2
= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL


VSABC =
12
2
6
1
2
1
3
1
3
1
23
.2
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
.
SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh =
3
.
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD =
4
6


=
Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
SABCD =
2
2
2.5
2
).(
5a
aa
ADCDAB
==
+
VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a
3

∆SAB cã AB
2
= SA
2
+ SB
2
= 4a
2
⇒ SAB vu«ng t¹i S
⇒
222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH
=+=+=
⇒ SH =
2
3a
⇒VSBMDN =
3
1
S⋄BMDN.SH =
2
3
2
3
2
3

111
SDSHSH
+=
hay
222
225
1
64
11
aaSH
+=
hay
aaSH
17
120
289
14400
. ==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o

3
289
2
1
2
2
1
2
120sin
a
o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2
a

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.

(ABCD
SH

(ABCD)
Gọi K là trung điểm AB
Ta có HK

AB
V ngc Vinh
11
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

AB
⊥
SH (v× SH
⊥
(ABD))
⇒AB
⊥
(SKH) ⇒ AB
⊥
SK ⇒ ∆SAB c©n t¹i S
DÔ thÊy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos
2
α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα
= 2a2sin
2

3
2
1
a
SA
=
S∆ABC =
3.60tan
2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3
.3

2
1
3
1
aaa
=
⇒Vmabc =
3
4
1
a
Bµi 15 : H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA
⊥
(ABCD),
Vũ ngọc Vinh
12
CHUYấN TH TCH

AB = a, SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
Chứng minh rằng: SC

(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
A
C
O
H
K


SC (3)
Chứng minh tơng tự ta có: SC

AK (4)
Từ (3) (4) SC

(AKH)
Gọi {F} = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE

(AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a

SF
a
a
BD
KH
===
3
2
33
2
V ngc Vinh
13
CHUYấN TH TCH

HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =
3
1
SO
2
1
=
SF

a
V =
=
AHK
.
3
1
SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(
2
a
,
2
a
, 0)
SKA
:
SAD
SD
SA
SA
SK

)
3
2
,0,
3
2
(
a
aAH =

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=

,0)
2
,
2
(
aa
AO =
[
AKAH ,

Tính thể tích hình chóp ANIB.
Giải
V ngc Vinh
14
CHUYấN TH TCH

a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC BD
Trong SAC có ON // SA
ON

(ABCD) NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1

2
23
1
32

aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), SAD đều. Gi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
A
C
N
a
D
P
B
M
F
E
S
y
x
z
V ngc Vinh

1
8
1
4
1
aSS
ABCDCBD
==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3
1
3
.
aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng

ABD vuông ở B BD=a
V ngc Vinh
16
CHUYấN TH TCH

OBD đều BH=
2
3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA

(ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a
.
(BCM) SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN

SMAD
=
SBCMN =
33
10
).(
2
1
2
a
BMBCMN =+
VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và
SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp
S.BCNM
Giải
V ngc Vinh
17

3
a
Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a
2
. M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất

2
2
22
4
1
1.4
cossin4
sin2
x
xx
C
x
xx
CC
−
−
===
⇒Tam gi¸c vu«ng HCD cã HD
2
= CD
2
- DC
2

=
2
2
2
4
3

x
ABC
x
S HD x x x
−
∆
−
= − = −
C¸ch 2:
B
A
D
M
C'
Gäi M lµ trung ®iÓm CD ⇒ CD
⊥
ABM
V× ∆ACD vµ ∆BCD ®Òu ⇒ AM = BM =
2
3
Vũ ngọc Vinh
19
CHUYấN TH TCH

VABCD = 2VCBMA = 2.
3
1
CM.SABC =
ABM
S

43
1
=
b)
SACD=
4
3
d(B,(ACD))=
ACD
ABCD
S
V3
=
xx .3
3
1
2

c)
VABCD =
2 2
2
3
1 1 1
12 12 2 8
3 . .
x x
x x
+
=

BM

AH
SABM =
2
1
SABCD =
2
1
a
2
Mà SABM =
2
1
AH.BM AH=
22
22
xa
a
BM
a
+
=
V ngc Vinh
20
CHUYấN TH TCH

SAH vuông ở A có SH=
22
2

+
VSABH =
22
3
.
6
1
.
3
1
xa
xha
SAS
ABH
+
=
ha
ax
xha
2
3
12
1
26
1
=
Dấu bằng xảy ra khi a=x tức M trùng D.
Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với
đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB. Đặt góc ACM bằng


P
Q
R
B
V ngc Vinh
21
CHUYấN TH TCH

+Dựng PQR sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm PQ, QR, PR.
+SDCR = SBCQ = SPDB =
4
1
SPQR
SBCD =
4
1
SPQR
AD = BC = PR
D là trung điểm PR
AR

AP
Tơng tự AP b AQ, AQ b AR
VAPQR =
4
1
SPQRAR
Bài 26: VABCD =
6
1

Gọi F là trung điểm SC EF b SC
SBC cân tại B vì BC =BS (Vì SAB = CAB (g.c.g))
FS = FC
FBC =
3

Tam giác vuông EBC có CE =


tan
2
Tam giác vuông FBC có BC =
22
EBCE
+
2
cos cos 2cos
( )
a
a
EB

= = =
Sin
2

=
BC
FC
FC = BC sin

22
2




=
a
a
a
SSEC =
2
1
EF.SC = EF.FC =
2cos22
22
cos2
sin sinsin





aa

=
2
22
2
cos2

Giải
Cách 1:
V ngc Vinh
23
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

B
O
C
D
A
S
M
N
Ta cã AB // CD (gt)
(ABM) (SCD) = MN
⇒MN // CD ⇒ N lµ trung ®iÓm SD
VSABCD =
2
1
SABCD.SO =
2
1
AC.BD.SO =
2822.2.4
2
1
=
2
1

V
SBCD
SBMN
⇒ VSBMN =
4
1
SSBCD =
2
28
4
1
.
=
2
⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = 3
2
C¸ch 2: Sö dông ph¬ng ph¸p to¹ ®é
O
S
A
C
D
N
M
B
z
x
y
Chän hÖ to¹ ®é xyz cã tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS
Vũ ngọc Vinh

SN
= (0; -
2
1
; -
2
)
[
SA
,
SM
] = (0; 4
2
; 0)
VSABM =
6
1
[
SA
,
SM
].SB =
3
22
VSAMN =
6
1
[
SA
,

1
2
1
.
3
1
'.
3
1
===

abcabcSCC
BCD
V
Tơng tự ta có: VAABD = VBAB C = VDADC =
6
1
V
VACDB = V - 4.
6
1
V =
3
1
V=
3
1
abc
V ngc Vinh
25