PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI
( Analysis of variance – ANOVA)

MỞ ĐẦU:
Một công ty chuẩn bị xuất bản 4cuốn sách
hướng dẫn học một ngôn ngữ lập trình mới,
công ty muốn biết sách hướng dẫn nào thật sự
tốt. Để làm điều đó, công ty chọn 160 kỹ sư của
công ty và chia làm 4 nhóm cỡ 40. Mỗi nhóm sẽ
học 1 cuốn sách và sau đó làm bài kiểm tra. Dựa
vào kết đó đánh giá các cuốn sách và chọn 1
cuốn sách tốt nhất.

MỞ ĐẦU:
Giả sử là điểm cho các cá thể có phân
phối chuẩn. Ký hiệu , i= 1,…,4; j=1,
…,40 điểm kiểm tra của kỹ sư thứ j trong
nhóm i.
Giả sử độc lập và ij
x
chưa biết
Cần kiểm định giả thuyết:
ij
x
( )
2
ij

, n
2
, …,
n
k
quan sát từ k tổng thể khác nhau có phân phối
chuẩn. Ký hiệu , i= 1,…,k là trung bình của
các tổng thể
Cần kiểm định giả thuyết:
i
µ
Để kiểm định giả thuết này ta thực hiện như sau:
0 1 2
:
k
H
µ µ µ
= = =
K

Bước 1: Tính các trung bình mẫu
Xét bảng số liệu
Tổng thể
1 2 … k
x
11
x
12
…
x

= =
∑
Các trung bình mẫu:
Trung bình chung k mẫu:
k k
i
i=1 i=1
1
 
= =
 ÷
 
∑ ∑
i i
x n x n n
n

Bước 2: Tính các tổng các độ lệch bình phương
1
w
k
i
i
SS SS
=
=
∑
( )
( )
2

Tổng các độ lệch bình phương giữa các nhóm:
Ta chứng minh được: SST = SSW + SSG
Tổng các độ lệch bình phương toàn bộ:
( )
2
1
k
i i
i
SSG n x x
=
= −
∑
( )
2
ij
1 1
i
n
k
i j
SST x x
= =
= −
∑∑

Bước 3: Tính các phương sai:
MSw
MSG
F

Bậc tự
do(df)
Phương
sai (MS)
Tỉ số F
Giữa các
nhóm
SSG k-1
Trong nội
bộ các
nhóm
SSW n-k
Toàn bộ SST n-1
k-1
SSG
MSG
=
w
w
n - k
SS
MS
=
MSw
MSG
F
=

Dạng bảng kết quả ANOVA từ chương trình Exel,SPSS
Source of

F
=

Ví dụ 1:
Ban giám hiệu một trường đại học muốn nghiên cứu
ảnh hưởng của việc đi làm thêm đến kết quả học tập
của sinh viên. Một trong những nội dung nghiên cứu
đề tài này là xem xét thời gian đi làm thêm khác nhau
có ảnh hưởng đến kết quả học tập của sinh viên như
nhau không. Thực hiện cuộc khảo sát với 120 sinh
viên, có 22 sinh viên cho biết có công việc làm thêm
đều đặn ít nhất là 16 tuần trong năm học qua. Trong
đó, có 7 sinh viên có thời gian làm thêm dưới
6giờ/tuần; 7 sinh viên có thời gian làm thêm khoảng 6
đến 12giờ/tuần; 8 sinh viên có thời gian làm thêm trên
12giờ/tuần. Dữ liệu về kết quả trung bình học tập của
năm học vừa qua do phòng đào tạo nhà trường cung
cấp được trình bày trong bảng sau:

Điểm trung bình học tập của các sinh viên đi làm thêm
Nhóm 1
(TG làm thêm
dưới 6giờ/tuần)
Nhóm 2
(TG làm thêm từ 6 đến
12giờ/tuần)
Nhóm 3
(TG làm thêm
trên 12giờ/tuần)
6.3

= =
1
46.9
6.7
7
x = =
2
45.5
6.5
7
x = =
i
µ
Bước 1: Tính TB từng nhóm và TB chung cả 3 nhóm
3
46.8
5.85
8
x = =
7 6.7 7 6.5 8 5.85
6.3273
7 7 8
x
× + × + ×
= =
+ +
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
Cả 3 nhóm:

Phương sai trong nội nhóm
1.502
6.7
MSw 0.224
= = =
MSG
F
w 4.26
w 0.224
n - k 22 3
SS
MS
= = =
−
3.004
1.502
k-1 3 1
SSG
MSG = = =
−
Phương sai giữa các nhóm
Bước 4: Tính tỉ số F
1, 2,19
0.05
3.52
k n k
F F
α
− −
= =

254
272
232
238
256
250
1440 1431 1502
Xăng có ảnh hưởng đến quãng đường đi được của ôtô?

II Trường hợp các tổng thể được giả định có phân
phối bất kỳ
•
sử dụng biến W thay cho tỉ số F trong phần tính
toán giá trị kiểm định.
2
1
12
3( 1)
( 1)
n
i
i
i
R
W n
n n n
=
= − +
+
∑

F F
α
− − −
>
1. Giả thuyết H0 cho rằng trung bình của tổng thể
theo chỉ tiêu cột thì bằng nhau, có thể bị bác bỏ
khi:
2. Giả thuyết H0 cho rằng trung bình của tổng
thể theo chỉ tiêu hàng thì bằng nhau, có thể
bị bác bỏ khi:
1 h 1,(k 1)(h 1),
F F
α
− − −
>

VD

Phân tích phương sai hai chiều
(1 ô có nhiều quan sát)

1 k 1,(k 1)(h 1),
F F
α
− − −
>
1. Giả thuyết H0 cho rằng trung bình của tổng thể
theo chỉ tiêu cột thì bằng nhau, có thể bị bác bỏ
khi:
2. Giả thuyết H0 cho rằng trung bình của tổng