Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 1

Nguyễn Phú Khánh









TỰ LUẬN VÀ TRẮÉC NGHIỆM

ĐẠI SỐ TỔ HP

TẬP 1
Dù biên soạn hết sức thận trọng, song cũng không thể tránh những
thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp chân tình của quý bạn đọc và đồng
nghiệp, để tập sách này được hoàn thiện. Mọi sự đóng góp xin vui lòng
liên hệ : 79/1 đường 3/2 , Dalat, Lâm Đồng.
Dalat, mùa thi 2007 – 2008
Nguyễn Phú Khánh
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 3

GIAI THỪA

I. Giai thừa: với mọi số tự nhiên n
≠
0, tích 1.2.3. n được
gọi là n giai thừa và được ký hiệu là n! ; n! = n(n – 1)(n – 2)
2.1.
II. Công thức:
n 2) p1)(n p(n
)!(
!
++=
− pn
n
⇒
n 2). 1)(p (p
!
!
++=

(
=
+−
−−

• Nếu m = 1 thì phương trình dạng
6
1
!2.1!0
0
!.
0
=
hay 0 =
6
1
vô lý. Vậy m = 1
không là nghiệm.
•
Nếu m
≥
2 thì phương trình dạng
6
1
)1m(m
1
m
=
+
−

−
−
+
+−

Theo đề n ≥ 4 . Bất phương trình dạng
5
6
)1n(n
!4
n)1n)(2n(
!4
n)1n)(2n(5
2n
1
≤
−
=






−−
−
−−
−

⇔ n(n –1) ≤ 30 ⇔

và nếu cách chọn đối tượng x
j
không trùng với bất kỳ
cách chọn j nào (i≠j), j = 1, 2, 3 ,n) thì có m
1
+ m
2
+ + m
n
cách chọn
đối tượng “x
1
hoặc x
2
hoặc x
n
“.
II. Quy tắc nhân:
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước lên
tiếp. Bước 1 có m
1
cách chọn đối tượng x
2
, bước 2 có m
1
cách chọn đối
tượng x
2
và cứ thế cho đến bước n có m
n

∈ E\{0} ⇒ a
1
có 9 cách chọn;
a
2
,a
3
,a
4
,a
5
∈ E ⇒ a
2
= a
3
= a
4
= a
5
= 10 cách. Do vậy có 9.10
4
=
90.000 số dạng
0aaaaa
54321
.
* x dạng:
5aaaaa
54321
tương tự có 90.000 số dạng 5aaaaa

C
)!kn(!k
!
n
k 3.2.1
)
1
k
n
(

.
)
1
n
(
n
k
n
−
=⇔
−
=
+−−III. Tổ hợp:

1. Đònh nghóa:
Một tập con k phần tử của một tập hợp n phần tử được gọi

!1!0CC
m
m
0
m
===
; 0
≤
K
≤
n
Ví dụ 1:
Các đường chéo của một n đa giác lồi gặp nhau tại bao nhiêu
điểm, nếu lấy bất kỳ 3 đường chéo nào cũng không cắt nhau tại 1 điểm?
Xác đònh 1 giao điểm đó là giao điểm của các đường chéo của từ giác
xác đònh bới các đỉnh ấy. Vì vậy số tất cả các giao điểm bằng số tổ hợp
chập 4 của n đỉnh:

4
n
C =
24
)
3
n
)(
2
n
)(
1

k
kn
nên
k
n
k
n
CC
≤
−1
nếu
1
1
≥
+
−
k
kn

⇒
k
≤

2
1
n
+

k
n

−

Nếu :
k
n
C
lớn nhất thì
k
n
k
n
CC
≤
−1
≤
1K
n
C
+

⇒

2
1
n
−
≤
k
≤
2

+ 1
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 6

⇒
k =
2
1
n
−

∨

2
1
n
+
Vậy
1m
1m2
m
1m2
CC
+
++
=
là lớn nhất
Ví dụ 3:

=
+
153
2
)1(
2
xx
CC
y
x
y
x

⇔






≤
−−+
=
−
16y
)xy18()!2y(
!18
)!y18(!y
!18
⇔

n
C =
1
n
n
C
−
= n
k
n
C =
1
k
1n
C
−
−
+
k
1n
C
−
1 ≤ k ≤ n – 1;
k
n
C =
1k
n
C
k

n
C
−
;
k
n
C +
`
k
n
C
+
=
1
k
1n
C
+
+
HOÁN VỊ – CHỈNH HP
I. Hoán vò
:
Những tập hợp sắp thứ tự khác nhau, mà chỉ khác nhau thứ tự
các phần tử do được tạo nên từ cùng 1 tập hợp được gọi là những hoán vò
của tập hợp đó. Số hoán vò của tập A có n phần tử là:
P
n

= 6! = 720 cách.
Th2
: Nếu các ghế trên kh6ong được đánh số thì mỗi hoán vò của 6
người thì được tính đổi chỗ 6 lần theo 1 chiều và có khả năng đổi chỗ
ngược lại. Do vậy có
66
P
6
+
= 60 cách
II. Chỉnh hợp
: các tập con sắp thứ tự k phần tử của một tập hợp có
n phần tử được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp
khác nhau chập k của n phần tử là:
)!kn(
!
n
)1kn( )1n(nA
k
n
−
=+−−=
Ví dụ 1
: Giải phương trình 12
1x
3x
C
−
+
= 55

2
1x
A
+
⇔ (x + 3) (x+2) = 110 ⇒ x
= 8
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 8

Ví dụ 2 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên trong đó không có số nào lặp lại?
5 chữ số trên ta có 5! cách, trong đó 4! cách lập 5 chữ số bắt đầu bởi
0. Do vậy có: 5! – 4! = 96
* Số có 4 chữ số: có thể lập được
4
5
A cách từ những chữ số trên và
có
3
4
A cách lập từ những chữ số trên bắt đầu bởi 0. Vậy có
4
5
A –
3
4
A =
96 cách

rồi thả lại vào tập hợp A. Ta lại rút ra từ A
một phần tử, ký hiệu là a
2
(a
2
có thể trùng a
1
) rồi trả lại nó vào tập hợp A.
Cứ thế cho đến k lần (k
≤ n) và như vậy ta tìm được một dãy (a
1
,a
2
a
k
)
gồm k phần tử (có thể trùng nhau) của A. Một dãy như thế gọi là 1 chỉnh
hợp có lặp.
II. Đònh ly
ù: Số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là
k
n
A
k
n
A = m(A
k
) = n
k


1
, k
2
k
s
sao cho k
1
+ k
2
+k
3
+ k
s
= n. Số
phân hoạch của 1 tập hợp A chứa n phần tử thành hợp rời rạc của S tập
con B
1
, B
2
B
S
với số phần tử theo thứ tự là k
1
, k
2
k
s
bằng
!k !k!k
!

Số cách phân phối là: C
7
(1, 2, 4) =
!4!2!1
!
7
= 105 cách
Chú ý
: Số hoán vò có lặp của 2 phần tử cấp m kiểu (k, m – k) bằng
số tổ hợp chập k của m phần tử C
m
(k, m – k) =
k
m
C =
)!km(!k
!
m
−

Ví dụ 2
: Có bao nhiêu số có 7 chữ số, trong mỗi số đó có 6 chữ số 6
lặp lại 3 lần, và chữ số 5 lặp lại 4 lần.
C
7
(3,4) =
3
7
C = 35
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp

1
5
C =
1
115
C
−+
=
1
5
C = 5 ,
2
5
C =
2
152
C
−+
=
2
6
C = 15
3
5
C =
3
153
C
−+
=

−−−
+++++=
n
0k
n0n
n
kknk
n
1n1
n
0n0
n
kknk
n
baC baC baCbaCbaC
Tổng quát:
∑
=
−
+
=
n
0k
kknk
n1k
baCT
Số hạng thứ 1: k = 0 : T
1
=
n0n0

nnnnn
n
bbaC
=
−

II. Nhò thức dưới dạng tường minh
(a + b)
n
= a
n
+ na
n–1
b +
2
.
1
)1(
−
nn
.a
n
–2b
2
+ +

n1nkkn
bnab b.a
k 2.1
)

!n !n!n
!
n
)a aa(
∑
=+++
≥≥
=+++

Bài Tập Bài tập 1
1. Cho tập hợp S = {1, 2, 3, 4, 6, 8}. Có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một được thành lập S.
2. Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là 1 số chẵn.
Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm; và x lẻ nên a
3
= 1
Cách 1:



2
1

7654321
aaaaaaa mà trong đó chỉ có 5 số có tổng các chữ số là số chẵn.
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 12

Rõ ràng a
1
có 9 cách chọn, và có 10
5
cách chọn cho a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
. Vậy
có 5.9.10
5
= 4500000 số.

Bài tập 2
Có 5 miếng bìa, mỗi miếng ghi một trong 5 chỉ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 4
miếng bìa từ 5 miếng bìa này lần lượt đặt cạnh nhau từ trái sang phải để
được các số gồm 3 chữ số.Hỏi có thể lập bao nhiêu số có nghóa gồm 3 chữ

chọncách4cóa
2
1
⇒ 4.3 = 12 số dạng 0aa
21

• Nếu a
3
= {2, 4} : có 2 cách chọn a
3
thì



chọncách3cóa
chọncách3cóa
2
1

⇒ Có 2.(3.3) = 18 số
Vậy có cả thảy: 12 + 18 = 30 số chẵn ⇒ 48 – 30 = 18 số lẻ.
Cách 2: Có
3
5
A cách chọn 3 số chọn trong 5 chữ số, trong đó có
2
4
A

số (a

A = 30 số chẵn.
Cách 3: Giả sử x lẻ: ⇒ a
3
= {1, 3} có 2 cách ⇒ có 2.
2
4
A

số lẻ trong
đó có 2.
2
4
A
số (a
1
= 0) ⇒ có 2.
2
4
A
– 2.
1
3
A = 18 số lẻ
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 13

Vậy có cả thảy (
3

3
2
1
⇒ Có 6.5.4 = 120 số
Cách 2: 3 số a
1
, a
2
, a
3
khác nhau được chọn từ 6 số của tập S là một
chỉnh hợp chập 3 của 6 là :
3
6
A = 120 số.
2. x chẵn ⇒ a
3
= {2, 4, 6, 8}
Cách 1:



chọncách4cóa
chọncách5cóa
2
1
⇒ Có 5.4 = 20 số dạng 2aa
21

Tương tự cũng có 20 số cho:

1. Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một?
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau
đôi một ?
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 14

đôi một ?
Bài Giải

1. Gọi x =
4321
aaaa là số cần tìm
x chẵn ⇒ a
4
= {0, 2, 4}
Cách 1: Nếu a
4
= 0





chọncách3cóa
chọncách4cóa
chọncách5cóa
3

, 4aaa
321

Vậy có tất cả 60 + 96 = 156 số.
Cách 2: a
4
= {0, 2, 4}: có 3 cách chọn ⇒ có
3
5
A cách chọn cho 3 số
321
aaa . Trong đó có 2.
2
4
A số (a
1
= 0).
Vậy có: 3.
3
5
A – 2. = 156 số.
Cách 3: Có
4
6
A cách chọn 4 số bất kỳ trong đó có
3
5
A cách chọn 4 số
có a
1




5aadạngsố16Có
0aadạngsố20Có
21
21
⇒ có 20 + 16 = 36 số chia hết cho 5
Cách 2:





= 0ầubắtsốACó
5chohếtchiasốchữ3cósốA2Có
1
1
4
2
5

⇒ Có 2.
2
5
A –
1
4
A
= 36 số.

⇒ Có
3
6
A –
2
5
A – (4
2
5
A – 4
1
4
A ) = 36 số.
3. x: chia hết 9 khi (a
1
+ a
2
+ a
3
) chia hết 9 ⇒ {a
1
, a
2
, a
3
} có thể là
{0, 4, 5} ; {1, 3, 5} ; {2, 3, 4}
+ Khi {a
1
, a

abc
861
. Và như vậy a, b, c là 3 chữ số chọn bất kỳ chữ số nào
trong 10 số tự nhiên trong E = {
9;0 }. Có 10
3
cách chọn.
Vậy số máy tối đa của Huyện Nghóa Hành là 10
3
= 1000 máy.
2. Gọi số máy cần tìm dạng x =
765432
aaaaaa8 và a
2
, a
3
,a
4
, a
5
, a
6
,
a
7
là 6 chữ số chọn bất kỳ chữ số nào trong E = { 9;0 } nên có 10
6
cách
chọn. Vậy có 10
6



chọncách7Có:a
chọncách4Có:a
2
3

⇒ Có 4.7 = 28 số.
• TH2: Nếu a
1
= 3 hoặc a
1
= 5 thì cũng có 4.7 = 28 số.
• TH3: Nếu a
1
= 2 thì x =
32
aa2 ⇒



chọncách7Có:a
chọncách3Có:a
2
3

⇒ Có 3.7 = 21 số.
• TH4: Nếu a
1
= 4 hoặc a

A = 24 số.
3. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm và x < 345 ⇒ a
1
có thể ;à 1, 2, 3.
• TH1: Nếu a
1
= 1 thì x =
32
1 aa
và có
2
5
A cách chọn
32
aa .
• TH2: Nếu a
1
= 2 thì x =
32
aa2 và có
2
5
A cách chọn
32
aa .
• TH3: Nếu a
2
= 1, 2 thì a

6
A –
4
5
A ) số có 5 chữ số có nghóa không có chữ số 5
Có (
5
7
A –
4
6
A ) sớ có 5 chữ số có nghóa.
Vậy có : (
5
6
A –
4
5
A ) – (
5
7
A –
4
6
A ) = 2160 – 600 = 1560 số.
Cách 2: Gọi số cần tìm x =
54321
aaaaa
Nếu a
1

3
5
A = 1560 số.
Cách 3: 5.
4
6
A – 4.
3
5
A = 1560 số.
2. Cách 1: Gọi x =
654321
aaaaaa là số cần tìm.
Φ x lẻ ⇒





5432
4
8
1
6
aaaachọncáchA
chọncách8:a
chọncách5:a
⇒ Có 5.8.
4
8

chọncách2Có:a
⇒ Có 2.5.
4
8
A = 16800
+ Nếu a
1
lẻ





5432
4
8
6
1
aaaachọncáchA
chọncách4Có:a
chọncách2Có:a
⇒ Có 2.4.
4
8
A = 13400
Vậy có 5.8.
4
8
A – 2.5.
4

= 6 ⇒





5432
4
8
6
aaaachọncáchA
chọn
cách
5
Có
:
a
⇒ 5.
4
8
A = 8400 số
Φ Tương tự có:





=
==
8achosốA5

19




2sốchữmặtcókhôngvàmộtđôinhaukhácsốchữ5cóSốACó
mộtđôinhaukhácsốchữ5cóSốACó
5
5
6
5

⇒ có
5
6
A –
5
5
A
= 600 số.
Cách 2:



lạicòntrívò5chochọncáchACó
2sốchữxếptrívò5Có
4
5
⇒ Có 5.
4



1sốchữcókhôngmà6sốchữchosốACó
6sốchữcókhôngmà1sốchữchosốACó
kỳbấtsốchữ5chosốACó
5
5
5
5
5
6

Có
5
5
5
5
5
6
A.AA − = 180 số.
Bài tập 9
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được:
1. Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
1. Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
Bài Giải
1. Gọi số cần tìm dạng x =
4321
aaaa
1. Cách 1:




≠
chọncách2Có:a
chọncách3Có:a
chọncách4Có:a
)01a(:chọncách4Có:a
4
3
2
1
⇒ Có 4.4.3.2 = 96 số
2. Cách 1: x lẻ





≠
=
32
2
3
11
4
aachọncáchA
)0a(chọncách3Có:a
chọncách4Có:}3,1{a
⇒ 2.3.
2

321
,
4aaa
321
.
⇒





≠
chọncách2Có:a
chọncách3Có:a
)01a(chọncách3Có:a
3
2
1
⇒ Có 2.(3.3.2) = 36 số.
⇒ Vậy có 24 + 36 = 60 số chẵn ⇒ 96 – 60 = 36 số lẻ.
Cách 3: 2
3
4
A
– 2.
2
3
A
= 36 số.
Bài tập 10

aaaaa9dạngmáy10Có
aaaaa8dạngmáy10Có
aaaaa7dạngmáy10Có
⇒ Có 3. 10
5
máy

Bài tập 11
1. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau dạng x =
654321
aaaaaa sao cho a
1
+ a
6
= 10 , a
2
+ a
5
= 10 ; a
3
+ a
4
= 10.
2.Có bao nhiêu biển số xe gồm 4 chữ số hoàn toàn khác nhau? Từ
đó tìm ra số xe gồm 4 số có thể trùng nhau.
Bài Giải
1. Rõ ràng số 0 và 5 có trong x không thỏa mãn bài toán. Do vậy
còn 8 số 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9.
⇒


achọncách7Có
achọncách8Có
achọncách9Có
achọncách10Có
⇒ Có 10.9.8.7 = 5040 biển số.
Cách 2: Chọn 4 số thứ tự trong 10 số có
4
10
A = 5040 biển số.
b. Do a
1
= a
2
= a
3
= a
4
và chọn trong 10 số nên có 10
4
= 10000 số.
Bài tập 12
Từ các chữ số 0, 4, 5, 7, 9
1. Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau?
2. Có bao nhiêu số lớn hơn 5000?
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 22

3. Có bao nhiêu số chia hết cho 5?

Acó:5trong4Chọn
1
4
3
4
5
⇒ Có
3
4
4
5
AA − = 96 số.
2. Số lớn hơn 5000 thì a
1
≥ 5
Cách 1: a
1
≥ 5: nên a
1
có 3 cách chọn và
3
4
A cách chọn 3 vò trí a
2
a
3
a
4

trong 4 vò trí còn lại ⇒ Có 3.

=
2
31
3
4
55
Alà0acósốcácSố
A.2là5chohếtchiasốchữ4cósốcácSố
chọncách2cóa:}5,0{a

⇒ 2.
2
3
3
4
AA − = 42 số
Cách 2: Nếu a
5
= 0 thì x = 0aaaa
4321
⇒







chọncách1có:a
chọncách2có:a

3
2
1

⇒ 3.3.2.1 = 18 số.
Vậy có 24 + 18 = 42 số.
Bài tập 13
Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
1. Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
2. Có bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
Bài Giải

1. Gọi x =
4321
aaaa là số cần tìm. x chẵn
Cách 1: a
5
= { 0, 2, 4, 6} ⇒ a
5
: 4 cách chọn nên có 4.
4
6
A số có 5
chữ số chẵn khác nhau và có 3.
3
5
A số có a
1
= 0.
Vậy số cần tìm: 4.




≠
chọncách3có:a
chọncách4có:a
chọncách5có:a
)0a(chọncách5có:a
4
3
2
11
⇒ Có 5.5.4.3 = 300 số dạng
2aaaa
4321

Tương tự có 300 số dạng
4aaaa
4321
, 300 số dạng 6aaaa
4321

Vậy có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số.
2. Gọi x =
321
aaa là số cần tìm; x lẻ nên a
3
= {1, 3, 5}
Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp


11

TH1: Nếu a
1
= 1 thì x =
32
aa1 ⇒



chọncách5Có:a
chọncách2Có:a
2
3

⇒ Có 2.5 = 10 số
TH2: Nếu a
1
= 2 thì x =
32
aa2 ⇒



chọncách5Có:a
chọncách3Có:a
2
3

⇒ Có 3.5 = 15 số

1
51
1
51
⇒
1
5
1
5
1
5
A.2A.3A.2 ++ = 35 số. Bài tập 14
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
1. Hãy tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng
(300,500)
2. Các chữ số không cần khác nhau.

Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 25

Bài Giải

1. Gọi x =
321
aaa và 300 < x < 500 ⇒ a

⇒ Có cả thảy 12 + 12 = 24 số.
Cách 2: Có 2.
2
4
A = 24 số.
2. Các chữ số không cần khác nhau :





chọncách2Có:a
chọncách5Có:a
chọncách5Có:a
1
3
2
⇒ có 5.5.2 = 50 số.
Bài tập 15
Từ các chữ số 1, 2 ,3, 4, 5. Hãy tín tổng tất cả các số có 5 chữ số
khác nhau được tạo thành từ các số trên.

Bài Giải

Cách 1: Có 5! số khác nhau.Có




