
BIẾN ĐỔI ĐIỀU KIỆN BÀI TOÁN 1 Bùi Văn Chi


BIẾN ĐỔI LIÊN TỤC
ĐIỀU KIỆN BÀI TOÁN
Mỗi bài toán với các điều kiện cho trước, dẫn đến một kết luận nhất đònh.
Khi điều kiện thay đổi thì kết luận cũng thay đổi.
Bài viết này giới thiệu với các bạn một số phương pháp biến đổi liên tục các điều kiện của
bài toán để từ đó làm xuất hiện các bài toán mới.
Những bài toán đó có sự liên quan mật thiết, chặt chẽ với nhau,
Trong đó mỗi phương pháp giải và kết quả của bài toán này có thể được khai thác và vận
dụng một cách linh hoạt cho bài toán kia. Bài toán 1

Cho đường tròn (O;R), dây AB cố đònh. C là điểm di động trên (O), kẻ dây CD vuông góc với AB.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Tìm vò trí của C ∈
∈∈
∈ (O) để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất. LƯC GIẢI:
AB
R
4
+

Suy ra MN đạt max =
2
2
AB
R
4
+
khi CD = 2R,
tức C là trung điểm của cung

AB
.

+) H nằm ngoài (O) (hình 2)

Chứng minh tương tự như trên, ta vẫn có MN ≤
2
2
AB
R
4
+

A
C

khi CD = 2R,
tức C là trung điểm của cung

AB
.

+) H ∈
∈∈
∈ (O)
• Xét H ≡
≡≡
≡ A ∈
∈∈
∈ (O) (hình 3),
Ta có D
≡
A, khi đó BC là đường kính của (O)
Trong trường hợp này, MN là đường trung bình của
∆
ABC
Nên MN = BC/2 = R <
2
2
AB
R
4
+• Xét H ≡

.

Bài toán 2
(hình 5)
Cho đường tròn (O;R), hai dây cung AB và CD di động nhưng luôn vuông góc với nhau tại H. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Tìm vò trí của H để đoạn thẳng MN có độ dài lớn nhất.

LƯC GIẢI:
Tiến hành giải tương tự như bài toán 1
(xem hình 1),
Ta có:
MN =
2 2
2 2
AB CD
R R R 2
4 4
+ ≤ + =

Do đó MN đạt max = R

R
N
B
D
H
A
B
D
C
M
N
Hình 5
OH
A
C
D
B
N
O
M
Hình 1
K
H
Thêm điều kiện dây cung AB cùng di động với dây cung CD sao cho hai dây cung vẫn
vuông góc nhau, ta có bài toán 2: F
⊥
AC, BD
⊥
AC nên EC // BD,
do đó BDCE là hình thang cân, suy ra CD = BE = 2OM (1)
Vì OMHN là hình bình hành nên OM = HN (2)
Từ (1), (2) suy ra CD = 2HN.
Ta chứng minh N là trung điểm của CD.
Thật vậy, giả sử N
’
là trung điểm của CD. Gọi I là trung điểm của BE.
Ta có BI = OM, BI // OM, HN = OM, HN // OM
suy ra BI = HN, BI // HN, do đó BHNI là hình bình hành
nên IN // BH, IN = BH (3)
Mặt khác, IN
’
là đường trung bình của hình thang cân BDCE nên
IN
’
// BH, IN
’
= BH (4)
Từ (3), (4) suy ra N
≡
N
’
.
Vậy N là trung điểm của CD,
hay các đường thẳng CN và BH cắt nhau tại điểm D
∈

E
I
N
O
M
H
P
N’
Hình 1
A
B
D
C
E
I
N
O
M
H
P
N’
Hình 2
A
B
C
E
I
N
O
M

0
.
Tiến hành chứng minh tương tự như trên ta có P vừa là trung điểm của OH
vừa là trung điểm của MN, suy ra N
≡
N’ là trung điểm của CD,
do đó CN và BH cắt nhau tại điểm D
∈
(O).
Vậy trong mọi trường hợp, ta luôn có
CN và BH cắt nhau tại một điểm D ∈
∈∈
∈ (O). Bài toán 4
(hình 1)
Cho đường tròn (O), hai dây cung di động AC và BD
vuông góc nhau tại điểm H cố đònh nằm trong (O).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố đònh.

BD.
Theo kết quả bài toán 3, ta có OMHN là hình bình hành
A
B
D
C
E
I
N
O
M
H
P
N’
Hình 5
A
B
D
C
E
I
N
O
M
H
P
N’
Hình 1
C
B



nên P cũng là trung điểm của OH.
Ta có:
OP 1
2
OH
=

Gọi K là trung điểm của OI, ta có K cố đònh.
∆
OIH có KP là đường trung bình nên KP = IH/2 = AB/4.
Do đó P
∈
đường tròn tâm K, bán kính AB/4.

*) Phần đảo
Trên đường tròn tâm K, bán kính AB/4, lấy điểm P bất kỳ.
Gọi H là một giao điểm của đường thẳng OP với
đường tròn tâm I, bán kính AB/2. Các đường thẳng AH, BH
cắt đường tròn (O) tại C, D. Gọi M, N là trung điểm của BC, AD.
Ta chứng minh P là trung điểm của MN.
Vẽ đường kính AE.
Dựa theo chứng minh ở phần thuận, ta có:
AE // BD (cùng
⊥
AC), do đó BDAE là hình thang cân,
có FN là đường trung bình nên FN // BD, FN = BH.
Gọi F là trung điểm của BE.
Ta có, OM là đường trung bình của

các trường hợp của vò trí điểm H đối với đường tròn (O).
C
B
I
E
A
O
M
Hình 2
F
K
D
N
H
P
C
B
A
I
E
N
O
M
H
Hình 1
F
K
P
D


Từ đó, ta có:
S
OAC
=
. . . . . .
1 1 1
OMAC HNAC BD AC
2 2 4
= =

(1)

S
OBD
=
. . . . . .
1 1 1
ONBD HMBD ACBD
2 2 4
= =
(2)
Từ (1), (2) suy ra S
OAC
= S
OBD
.

Chú ý:

+) Kết luận bài toán vẫn đúng trong trường hợp AB và CD

AOC BOD
=

Từ đó S
AOC
=
1
2
.OA.OC. sin

AOC
=
1
2
.R
2
.sin

AOC
=
1
2
.R
2
.sin

BOD
= S
BOD
.

⊥
⊥⊥
⊥
BD, đưa đại lượng diện tích tam giác vào, ta có bài toán 6: F
BIẾN ĐỔI ĐIỀU KIỆN BÀI TOÁN 7 Bùi Văn Chi

Bài toán 7 (hình 1)
Cho đường tròn (O;R), điểm H nằm trong (O).
Qua H, vẽ hai dây cung AB, CD của đường tròn (O) vuông góc nhau
và bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Tính chu vi và diện tích của tứ giác OMHN theo R và d. (Với d = OH)

LƯC GIẢI:
Theo một kết quả trong phần chứng minh bài toán 3, ta có
Tứ giác OMHN là hình bình hành.
Theo giả thiết, ta có AB = CD
Từ đó


= = ⇒ =
= 90
0

⇒



AOC BOD
=
= 90
0
.
Do đó
∆
AOC và
∆
BOD là các tam giác vuông cân tại O
suy ra AC = BD = R
2

Từ đó OM = ON =
AC R 2
2 2
=
Vậy chu vi tứ giác OMHN bằng 4OM =
2 2R
.

+) Tính diện tích tứ giác OMHN

2 2
1 1
OHMN d 2R d
2 2
= −
.
Bài toán 8 (hình 2)
Cho đường tròn (O;R), hai dây cung AB, CD của đường tròn (O)
bằng nhau và vuông góc nhau tại điểm H nằm ngoài (O).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BD.
Tính chu vi và diện tích của tứ giác OMHN theo R và d.
(Với d = OH, R < d < R
2
)

A
O
Hình 1
H
B
C
D
N
M

F
BIẾN ĐỔI ĐIỀU KIỆN BÀI TOÁN 8 Bùi Văn Chi


LƯC GIẢI:
Giải tương tự bài toán 7, ta vẫn có kết quả OMHN là hình thoi.
Chu vi tứ giác OMHN bằng
2 2R

Diện tích tứ giác OMHN bằng
. .
2 2
1
d 2R d
2
−
.



Dấu “=” xảy ra khi
2R
2
– d
2
= d
2

⇔
⇔⇔
⇔
d = R
⇔
⇔⇔
⇔
H
∈
(O).
Do đó S
OMHN
đạt max =
2
R
2
khi d = R
Vậy khi H ≡
≡≡
≡ A ∈
∈∈

M
P
R
R
A
O
Hình 1
H
B
C
D
N
M
P
R
R
B
C
M
Hình 2
O
A
D
H
N
R
Rd

OMHN là hình thoi.
Trong cả 3 trường hợp của vò trí điểm H đối với
đường tròn (O):
+) H nằm trong (O) (
hình 1)
+) H nằm ngoài (O)
(hình 2)
+) H nằm trên (O)
(hình 3)
Ta luôn có:
Chu vi hình thoi OMHN có giá trò không đổi và bằng
2 2R
. Tóm lại, bằng các cách biến đổi liên tục các điều kiện của bài toán, ta phát hiện ra nhiều
bài toán mới có cùng một cách giải trên cơ sở khai thác rất linh hoạt những kết quả tương
tự của bài toán.

của đường tròn (O) di động nhưng vẫn giữ nguyên điều kiện AB
⊥
⊥⊥
⊥
CD và AB = CD, ta có bài
toán 10
:

A
O
Hình 1
H
B
C
D
N
M
P
R
R
D
O
Hình 2
H
B
C
A
N
M
P