Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 61 -
1, Giải phương trình:
4 2 sin(3 ).cos2 (2cos3 sin3 2) cot .cos 2cos2 .si
n
4
x x x x x x x x

      
Giải:
Điều kiện:
sin 0
x

. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với:
 
2
cos
4cos2 (sin3 cos3 ) 2cos3 sin3 2 (sin3 sin ) 0
sin
x
x x x x x x x
x
       


2sin3 (sin3 cos3 ) 1 2 sin 0
x x x x
   

sin6 cos6 2 sin
x x x
 

sin 6 sin
4
x x

 
 
 
 

2, Giải phương trình:
3 0
8cos ( 60 ) cos3
x x
 
Gợi ý: Đặt
0
60
x t
 
, Ta có:

3 0 3 0

x x x x

  

Chuyên đề II: PT Lượng giác, PT-Hệ PT
Phần 1: Phương Trình Lượng Giác
Coppy right ©: Mobile_lam

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 62 -
3 3
3 3 2
3
17
8cos 6 2 sin 2 3 2 cos 4 cos 2 16cos
2
8cos 6 2 sin 2 6 2 sin2 cos 2 16cos
8cos 12 2 sin .cos 16cos
x x x x x
x x x x x
x x x x

 
   
 
 
  

4 4
x x x x
 
   

3 3
(sin cos ).sin (3 ) (cos3 sin3 ).cos 0
x x x x x x
    

3 3
(sin cos ) (sin3 cos3 )
cos sin 3
x x x x
x x
 
 
3 3
(sin cos ) sin( 3 ) cos( 3 )
cos sin ( 3 )
x x x x
x x
 

   
 


2 2
(tan 1)(1 tan ) (cot( 3 ) 1)(1 cot ( 3 ))


5, Giải phương trình : (1 3)cos2 ( 3 1)sin 2 3 1 4 2 sin
4
x x x

 
      
 
 

Giải:
Ta có:
   
1 3 cos2 3 1 sin 2 3 1 4 2 sin
4
x x x

 
      
 
 





1 3 (sin cos )(cos sin ) 4(sin cos ) 3 1 (sin 2 1) 0
x x x x x x x
         



Giải:
Ta thấy biểu thức:
sin
cos3
x
x
có xuất hiện
cos3
x
ở dưới mẫu, nên ta nghĩ sẽ xuất hiện
tan3
x
. Giống
như trường hợp trên là có
sin 2
x
dưới mẫu thì có
cot2
x
ở phía trước kìa.

Tới đây ta thử cái xem.
Ta xét hiệu sau:
tan3 tan
H x ax
 Vì ta chưa rõ

Chúng ta thấy rằng chúng ta cần khử
cos
ax
mà giữ lại
sin
x
khiến chúng ta liên tưởng tới góc
nhân đôi. Mà bên kia là
sin
x
nên bên này phải là
sin 2
x
. Vậy ta sẽ thử với:
1
a

, suy ra:
.sin 2 1
sin 2 .sin sin
cos 2
k x
x k x x k
x
    
Từ những phân tích đó ta có biểu thức sau:
sin sin
tan3 tan 2(tan3 tan )
2.cos3 cos3
x x

an 0
x x x x x x x x
        

.
tan 27 tan 27 .
26
k
x x x x k x


       Bài toán được giải quyết.
7, Giải phương trình :
11
5cos 2 9 4sin
6 12
x x
 
   
   
   
   

Giải:
Cách 1: Ta có:
11
sin sin
12 12
x x
 

t

. Dễ dàng tìm được nghiệm
5
2 ,
12
x k k


  


8, Giải phương trình:
1 1 1
0
sin sin 2 sin 4
x x x
  

Giải:
ĐK:
sin sin 2 sin 4 0
x x x

(1)
Theo (1) ta có:
1 1 1
0
sin sin 2 sin 4
x x x

9, Giải phương trình:
3 3
3sin (1 sin ) cos (1 3cos ) sin 2
x x x x x
   
Giải:
Phương trình đã cho tương đương:


4 4
3sin cos 3 sin cos sin 2
x x x x x
   
3sin cos sin 2 3 cos2
x x x x
   
sin( ) sin 2
3 6
x x
 
 
   
 
 

10, Giải phương trình:
2
2cos2
4sin .sin 2(1 sin )
2 1 cot

nên việc giải quyết bài toán là khá đơn giản. Nhưng trước hết ta cần
chú ý tới điều kiện của phương trình.
Điều kiện :
cot 1
sin 0
x
x





.
Với điều kiện này phương trình đã cho tương đương với phương
trình:
2(sin cos )(cos )sin
2(1 cos )sin 2(1 sin )
sin cos
x x x sinx x
x x x
x x
 
   

2(1 cos )sin 2(cos sin )sin 2(1 sin )
x x x x x x
     
2sin (1 sin ) 2(1 sin )
x x x
   

x x x x x x x x
         
2
cos cos sin sin
x x x x
   
Ta có:
+) Với
sin 0
x

thì
2 2
sin sin sin sin 0
x x x x
   

Mà ta luôn có: VT>0, nên trong trường hợp này vô nghiệm.
+) Với
sin 0
x

, thì ta khảo sát hàm số:
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 65 -
2
( ) , 0

x x x x x
   

cos2 cos4 sin cos3 sin 6 0
x x x x x
     

2sin sin 3 sin cos3 2sin 3 cos3 0
x x x x x x
    





sin 2sin3 1 cos3 2sin3 1 0
x x x x
    





sin cos3 2sin3 1 0
x x x
   

13, Giải phương trình :
5
2sin(2 ) 2 2 sin( ) 1 0

   
 
        
 
 

Tới đây ta đặt:
sin( ) cos( )
6 6
t x x
 
    , thì:
2
2sin( )cos( ) 1
6 6
x x t
 
   

Thay vào phương trình trên ta được:
2 2
2(1 ) 2 1 0 2 2 1 0 0
t t t t
        

Tới đó thì ổn rồi.
Bài này nếu để là
5
:sin(2 ) 2 2 sin( ) 1 0
3 12

 
     
 
 

Phương trình đã cho tương đương với:
(cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 )
2 2(1 cos cos3 )
3
cos(2 )
4
2(cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 )
2 2(1 cos cos3 )
sin 2 cos2
x x x x
x x
x
x x x x
x x
x x

 
 

 
  


2 2cos cos3 cos2 sin 2 2 cos 4 cos2 cos2 sin 2
x x x x x x x x



Giải:
Điều kiện:
tan 1 0
cos 0
x
x
 





Ta sẽ biến đổi cái tử trước. Ta có:
2
1 7 5 1
(1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2 (sin cos ) sin 2
2 4 6 2 3
x x x x x x x

 
         
 
 

Ta có:
2
1 7
(1 sin )(1 cos ) 2sin sin 2

2cos13 3cos3 3cos5 2cos (cos12 3cos4 )
x x x x x x
    

2cos13 3cos3 3cos5 cos13 cos11 3cos5 3cos3
x x x x x x x
      

cos13 cos11
x x
 
Đến đây
thì Ok rùi
17, Giải phương trình:
2 cos2
2
sin3 sin5
x
x x




Giải:
Điều kiện:
sin 5 sin3
x x


Ta có:

x x x
   

Giải
Phương trình đã cho tương đương với :
3 2
cos2 4cos 2 3cos2 4(cos sin ) 0
x x x x x
    

2 2
cos2 ( cos 2 1) (cos sin ) 0
x x x x
     

2
(cos sin )[(cos sin )( cos 2 1) (cos sin )] 0
x x x x x x x
       Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 67 -
19, Tìm điều kiện để phương trình
sin 2 sin 2 cos
x m x m x
  

    




Trên đoạn
3
0,
4

 
 
 
ta thấy phương trình
1
cos
2
x

có nghiệm duy nhất
3
x


nên yều cầu của bài
toán trở thành:
Tìm
m
sao cho phương trình
sin

 
(Đề thi thử số 1 của Boxmath.vn)
Giải:
2
2
4 2cos ( ) 4 3cos2 5 0
4
x x

 
   
 
 

2
4 1 cos(2 ) 4 3cos2 5 0
2
x x

 
     
 
 

2 2
4(1 sin2 ) 4 3cos 2 5 0 4 8sin 2 4sin 2 4 3cos2 5 0
x x x x x
          

2 2

   
2 2 4 2
3cos 3 2sin .cos 2 2 sin 2sin cos 0
x x x x x x
    

2 2
(cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0
x x x x
   22, Giải phương trình: sin 3 sin 2 3cos2
6
x x x cosx

 
   
 
 

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 68 -
Giải:
sin 3 sin 2 3cos2
6
x x x cosx

6 3 3
x x x
  
     
     
     
     23, Giải phương trình lượng giác:
2012 2012
1005
1
sin cos
2
x x 
Giải:
Đây là bài phương trình lượng giác trong đề thi HSG tỉnh Hải Dương. Mình có một lời giải như sau.
Mong các bạn đóng góp thêm các lời giải khác hay hơn.
Phương trình đã cho tương đương với:
2012 2 1006
1005
1
sin (1 sin )
2
x x  
Đặt:
2
sin (0 1)
t x t

Từ đó ta có:
1005
1 1 1
min ( ) min (0) ; ; (1)
2 2 2
f t f f f f
 
   
  
 
   
   
 

Từ đó suy ra chi có:
1
2
t

, thoả mãn.
24, Giải phương trình:
8 8 2
1 1
sin cos cos 2 cos2
2 2
x x x x
  
Giải:
Bài toán này được giải dựa trên các công thức quen thuộc sau:
8 8 4 4 4 4 4 4 2 2

25, Giải phương trình:
sin3 cos3 2 2 cos 1
4
x x x

 
    
 
 

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
1 1 1 1
cos3 sin3 2cos 0 cos 3 2cos 0
4 4 4
2 2 2 2
x x x x x
  
     
          
     
     

Đặt: 3 3
4 4
t x x t
 

     



 
 

  

26, Giải phương trình:


2
2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin
x x x x
   

Giải:


2
2sin 3sin 2 1 3 cos 3sin
x x x x
   

2 cos 2 3sin 2 3(cos 3sin )
x x x x
    
1 sin 2 3sin
6 6

2cos2
cos sin
x x
x
x x




Giải:
Điều kiện của bài toán là :
sin 0
.
cos 0
x
x





Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với
phương
trình:
3 3 2 2
cos sin 2(cos sin )( sin cos )
x x x x x x
   
(cos sin )(1 sin cos ) 2(cos sin )(cos sin )( sin co
s )

x x x x
x x
x x x


 
 
 
    
 
 

 



Mặt khác ta
có
1 3
1 sin cos 1 sin 2
2 2
x x x
   
Từ hai đánh giá trên ta có phương trình
(1)
vô nghiệm hay
phương trình đã cho chỉ có nghiệm cos sin 0 tan 1 ,
4
x x x x k k


sin 0
x x
x
 





Từ điều kiện này ta biến đổi phương trình đã cho thành
2 cos 2sin cos
2cos
2 sin sin cos
x x x
x
x x x
 

2 2sin
cos . 2 0
2sin sin cos
x
x
x x x
 
   
 
 

 

3
sin
x
ta sẽ thu được phương trình:
3 2
2cot 4cot 6 0
x x
  

Đặt:
cot
t x

, ta sẽ có được phương trình đại số bậc 3:
3 2
2 4 6 0
t t
  30, Giải phương trình:
2
sin5 sin 2sin 1
x x x
  

Giải:
Ở bài toán này sự xuất hiện của các cung lượng giác
5 ;
x x

sin3
2
x
x x x x x x x x
x



        




31, Giải phương trình:
3(cos2 cot2 )
4sin .cos
cot 2 cos2 4 4
x x
x x
x x
 

   
  
   

   

Giải:
Ở bài toán ta chú ý đến điều kiện của bài toán là :


  Với tất cả điều kiện và phép biến đổi đó ta đưa phương trình đã
cho trở thành
3cos 2 (1 sin 2 )
2(1 sin 2 ) (1 sin2 )(1 2sin 2 ) 0 1 2sin 2 0
cos2 (1 sin2 )
x x
x x x x
x x

        


32, Giải phương trình:
2
3(sin 2 3sin ) 3 2cos 3cos 2
x x x x
    

Giải:
2
3(sin 2 3sin ) 3 (2cos 3cos 2)
x x x x
    

2 2 2
3(sin 2 3sin ) 3 2(sin cos ) 2cos 3cos
x x x x x x
      
2



2sin 3 sin 3cos 3
x x x   33, Giải phương trình:
tan tan2 tan3 tan 4 0
x x x x
   

Giải:
Điều kiện:
cos cos2 cos3 cos4 0.
x x x x

Ta có
sin5
tan tan 4
cos cos4
x
x x
x x
  và
sin5
tan 2 tan3 ,
cos2 cos3
x
x x
x x


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 72 -
34, Giải phương trình:
tan tan 2 sin3 .cos2
x x x x
  

Gợi ý.
Sử dụng công thức
sin3
tan tan2 .
cos cos2
x
x x
x x
 
Chứng minh
2
1 cos cos 2 0.
x x
 

35, Giải phương trình:
2
(cos2 cos4 ) 6 2sin3
x x x

sin 1 2 ,
2
x x x x
x x
x
x
x x
x x
x x k k


 
   
 
 
   
 
 

 
 
 
  
  


     36, Giải phương trình:

37, Giải phương trình:
2 2
1 sin .sin cos .sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x

 
   
 
 

38, Giải phương trình:
2
cos2 sin 2 sin 4cos 1
2
x
x x x
 
  
 
 

Giải:
Gợi ý. Sử dụng công thức cung nhân đôi
2
2cos 1 cos sin .
4 2 2
x
x x

sin 2sin cos
2 2
x x
x  và
2 2
sin 1 cos
2 2
x x
  quy về phương trình một ẩn theo
cos .
2
x

39, Giải phương trình:
 
2 2
2cos cos 1 cos sin 2
2
x x


 
 
 
 
(Đề thi thử số 2 - VMF)
Giải:
Từ phương trình đã cho ta biến đổi thành phương trình
 
2 2

2
x
x

 Lúc này ta
đưa phương trình biến đổi tiếp theo thành phương trình
1 cos2
cos2 cos( sin 2 ) cos (1 cos2 ) cos( sin 2 )
2 2 2
(1 cos2 ) sin 2 2
2
1 4 1
cos2 sin 2 , (1)
2 2
x
x x x
x x k
k
x x k
 
 

 
 

   
   
    
   
 

cos2 sin 2
2 2
x x
  

1 cos2 2sin 2 0
x x
   

cos (cos 2sin ) 0
x x x
  

cos 0
cos 2sin 0
x
x x

 




cos 0
1
tan
2
x
x


. Khi đó ta sẽ có:
2
( ) cos 1
2
x
f x x

  

( ) sin
f x x x

 

( ) 1 cos 0
f x x

  
Suy ra:
( ) (0) 0
f x f
 
 

Suy ra:
( ) (0) 0
f x f
 
 
, suy ra hàm số đã cho đồng biến, từ đó ta có:

2 sin 4sin
x x
x x
x x
     
2 2
(sin 1) 4sin (sin 1) 3(1 sin ) 0 (sin 1)(2sin 1)(2s
in 3sin 3) 0
x x x x x x x x
 
           
 
Tới đó các
bạn hoàn thành nốt phần còn lại nhé! Nhớ kiểm tra lại các nghiệm có thỏa mãn không vì phía trên ta
có sử dụng phép bình phương là phép biến đổi hệ quả!

42, Giải phương trình :
2
2
2sin 3 2sin sin 2 1
1
(sin cos )
x x x
x x
  
 


Giải:
Điều kiện: sin cos 0 tan 1

 
  


 


 

 




Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
5
2
4
x k


 
43, Giải phương trình:
3 3
(8cos 1) 162cos 27
x x
  

Giải:
Cách 1:


44, Giải phương trình:
1 1
sin 2 sin 2cot2
sin sin 2
x x x
x x
   
Giải:
Điều kiện:
sin 2 0
x


Ta có phương trình đã cho tương đương với:
1 1 cos2
sin 2 sin 2
sin 2 2sin sin 2
x
x x
x x x
   
   
   
   

2
cos 2 cos2 cos2 2 cos2 1
2 cos2 0
sin 2 2sin sin 2 sin 2 sin 2 2sin

2 cos5 sin( 2 ) sin 2 .cot3
2
x x x x


 
   
 
 

Giải:
Bài này có thể giải bằng cách để ý
sin( 2 ) sin 2 ,
x x

  

5
sin 2 cos2
2
x x

 
 
 
 
và
cos2 cos3 sin 2 sin 3 cos5
cos2 cot3 sin2 .
sin3 sin3

2 2
x x x x x x
       
   
 
2 2
2 cos 1
4cos 3 1 4sin 2 sin 4 0
2 2
x
x x x
     

 


2
1
4cos 3 2 cos 2sin 4 0
2
x x x
     
2
4cos 3 sin 2 0
4
x x


           
 
và
4 2
sin5 sin (16sin 20sin 5).
x x x x
  
Do đó, với điều kiện
cos5 0,
x

phương trình đã cho tương
đương với
4 2
sin
(16sin 20sin 5) 1 0.
cos5
x
x x
x
 
   
 
 

50, Giải phương trình:
2 2
sin7 sin9 2 cos cos 2
4 4
x x x x


nên phương trình đã cho tương đương với
sin7 sin9 sin2 sin 4 ,
x x x x
  

tức
2sin8 cos 2sin3 cos .
x x x x
Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 76 -
51, Giải phương trình:
1
2tan cot 2 1
sin 2
x x
x
 
  
 
 
.
Giải:
Điều kiện:

52, Giải phương trình:
2 2
1 3 4
sin sin cos cos sin 2
x x x x x
 
 

Giải:
Điều kiện :
sin 0
cos 0
.
sin 1
cos 1
x
x
x
x






 


 


2
sin cos sin 2 1 2sin
x x x x
    
sin cos sin 2 cos2
x x x x
   

2 sin 2 sin 2
4 4
x x
 
   
   
   
   

53, Giải phuơng trình :
3 3
sin cos
cos2
2cos sin
x x
x
x x




Giải:

cos2
2cos sin
x x
x
x x








3 3 2 2
sin cos cos sin 2cos sin
x x x x x x
    
3 2 2
cos cos sin 2sin cos 0
x x x x x
   54, Giải phương trình :
1 sin 2cos (1 cos )cot
x x x x
   

(Đề thi thử môn Toán khối A-Trường THPT Nguyễn Tất Thành- ĐHSP Hà Nội)
Giải:

sin cos sin cos 1 sin cos 1 sin cos 1 0
x x x x x x x x
         





sin cos 1 2sin 1 0
x x x
    55, Giải phương trình:
2
tan .tan 4tan .cos tan
2 2
x
x x x x

 
  
 
 

Giải:
Cách 1:
Điều kiện :
sin 0
.

cos sin
2 2
4
sin cos
sin
2
x x
x x
x
x x
 

 
 
 
 
 
2
cos sin 2cos
4 .
sin cos 1 cos
x x x
x x x
 


2 2
2cos (1 cos ) 1 cos
x x x
   

2
x
x x x
x
   
2tan
4cot cos 2 tan
1 cos
x
x x x
x
  


tan cos
2cot cos
1 cos
x x
x x
x
 

2
cos sin cos
2 .
sin cos 1 cos
x x x
x x x
 


tan 1
x
x






Với điều kiện đó phương trình đã cho được biến đổi thành :
2
1 2cos
2 2sin
cos (sin cos ) sin cos
1 2cos 2sin 2 (sin cos )
(cos sin )(cos sin ) 2 sin2 (cos sin ) 0
(cos sin )(sin cos 2sin 2 ) 0
x
x
x x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x
 
 
   
     
    

2
(cos sin )(cos sin cos 2cos sin sin 2 ) 0
x x x x x x x x
       

2
(cos sin )(2cos 2cos 2sin cos ) 0
x x x x x x
    

(cos sin )(1 cos sin ) 0
x x x x
    

cos sin 0
x x
  cos sin 1
x x
 58, Giải phương trình:
7
cos 2 sin(4 3 )
2
x x

sin 2 sin 4
x x
   




sin 2 sin 4
x x
 
2
( )
6 3
k
x
k Z
k
x

 



 


 





Ta có:
2 2
cos sin cos2
cot tan
cos .sin cos .sin
x x x
x x
x x x x

  
Vậy:
cos2
(1) 3 8sin .cos
cos .sin
x
x x
x x
  
2
3cos2 2sin 2
x x
  
2
2cos 2 3cos2 2 0
x x
   
1
cos2
2

60, Giải phương trình:
1
cos2 3sin 2 1
sin
3
x x
x

  
 

 
 

Giải:
1
cos2 3sin 2 1
sin
3
x x
x

  
 

 
 

2
cos2 3 sin2 1

61, Giải phương trình:
 
2
2 3 cos 2sin
2 4
1
2cos 1
x
x
x

 
  
 
 



Giải:
Điều kiện:
1
cos 2 ,
2 3
x x n n


     


cos 3.cos 0

3
x k k


  


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 80 -

62, Giải phương trình:
7 3 5
sin cos sin cos sin 2 cos7 0
2 2 2 2
x x x x
x x
  

Giải:
     
1 1 1
sin5 sin2 sin3 sin 2 sin9 sin5 0
2 2 2
PT x x x x x x
      
sin3 sin9 0
x x

sin cos
x x
x
x x

 


Giải:
Viết
2 2
cos 1 sin
x x
  bắt thằng nhân tử chung
1 sin
x


64, Giải phương trình:
2cos cos3
3 sin cos 2 cos2
1 2cos2
x x
x x x
x

 
   
 


3 sin cos cos 2 cos2
PT x x x x
    
3.sin 2 cos2
x x
  
2
3.sin 2 (1 2sin )
x x
   
2
2.sin 3.sin 11 0
x x
   
sin 1
1
sin
2
x
x








65, Giải phương trình:
2


2 2
11
sin (2 ) cos 2
2
x x

  Khi đó phương trình trên
tương đương với:
2 2 2
2 2
2 2
8sin 2 .cos 2 1 cos 2
8cos 2 4(cos2 1) 2cos 1 (cos2 1) 0
2cos cos2 1 2cos cos2 1
x x x
x x x x
x x x x
 

       
 
   
 

3 3
2 2
2cos 2 (cos2 1) 2cos 2
(cos2 1) 0 (cos2 1) 1 0
2cos cos2 1 2cos cos2 1


 

Với:
cos2 1 0 cos 0 (lo?i)
x x
   
. Với:
3
2
2
2cos 2
1 (2cos 2 1)(cos2 1) 0 cos4 (cos2 1) 0
2cos cos2 1
x
x x x x
x x
       
 
cos4 0
8 4
cos2 1
2
k
x
x
x
x k
 



  

 

 
 

Giải:
ĐK:
3
( )
4
x K k Z


  
2
sin sin 2 2sin cos sin cos
6 cos 2 .
cos
4
x x x x x x
x
x

  

 


   
3cos2 sin 2 1
x x x
  
cos 2 cos
6 4
x
 
   
  
   
   67, Giải phương trình :
3cos2 5
sin 1
2cos 4
x
x
x

 


Giải:
Ta dễ thấy
2cos 4 0 cos 2
x x
   


Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 82 -
Giải:
Phương trình có thể được viết lại thành:
2
3 (2 1) 2 5 2
3 (2 1) (2 1)( 2)
cosx sinx sin x sinx
cosx sinx sinx sinx
   
    69, Giải phương trình:
2 2
1
tan cot 3.
sin 2
x x
x
  

Giải:
Cách 1:
ĐK
sin cos 0

sin x



Để ý hằng đẳng thức:
2
2
tanx cotx
sin x
 
Do đó ta có thể viết phương trình đã cho thành:
2
2
1 4 1
( ) 2 3
2 2

5 0
2
tanx cotx
sin x sin x sin x
       70, Giải phương trình
3(cot cos )
2(1 sin )
cot cos
x x
x



.
3 (1 )
2(1 ) 3 2(1 )( 0
(1 )
1
1) ( t/m ( * ) )
2
cosx sinx
sinx sinx docosx
cosx sinx
sinx sinx

      


    
71, Giải phương trình:
2 2
sin sin 2 cos sin 2 1 2cos
4
x x x x x

 
   
 

   

72, .Giải phương trình:
2cos5 cos3 cos8 ,( )
x x sinx x x R
  

Giải:
Phương trình đã cho tương đương với :
cos8 cos2 sin cos8
x x x x
  
2
1 2sin sin 0 (sin 1)(2sin 1) 0
x x x x
       73, Giải phương trình:
2 2
2 3sin .cos 3sin 2sin .cos c 2sin 2 2s
0
ox x x x x xx
     

Giải:
2 2
cos 2 3sin 2 3sin cos 2sin cos 4sin cos 0
x x x x x x x x
     

Giải:
2
1 cos cos2 cos3 2cos 2cos cos2 2cos (cos cos2 )
x x x x x x x x x
      
Như vậy phương trình viết lại thành : Chú ý điều kiện !
3
cos sin 1
3
x x
 

76, Nghiệm thuộc
4
0 ;
3

 
 
 
của phương trình :
3 1
sin sin cos cos3
3 6 4 2
x x x x
 
   
   
   
   

1 1 1 3 1
sin3 sin sin cos3
4 4 4 4 2
x x x x
    
3 1 1
cos3 sin3
4 4 2
x x
  
cos cos
6 4
x
 
   
  
   
   77, Giải phương trình:
sin 4 (cos 2sin4 ) cos4 (1 sin 2cos4 ) 0
x x x x x x
    

Vũ Tùng Lâm II: PT- HPT THPT Lục Ngạn 3

Email: : 01645362939

- 84 -

m n
x
n
x
 


 




 
 







Kết hợp lại ta thu được nghiệm của phương trình là :
,
2
x m m


  



cos2 sin 2 2 sin 4
x x
x x x




 

Ta có: Với: sin cos tan 1
4
x x x x k


      . Với:
24 3
cos2 sin 2 2 sin 4 sin 4 sin 2
3
4
8
x k
x x x x x
x k
 




 



 



  


Giải:
Về bản chất của bài toán ta có thể hiểu rằng là bài toán tính góc của một tam giác.
Từ giả thiết đề bài :
sin 3sin
sin sin sin
1 2 sin 2sin .
3
y x
x y z
z x
x y z
x y z





 


 
 

3cos 2cos 1
cos 2cos 3
1
cos
3
2
cos 3cos 2
cos 0
2
x
x
z y
z x
y
y
y x
z
z













   
  
   
   

Giải:
Đặt:
3
10 2
x
u

 
, suy ra:
3
3
10 2
x
u


  
.
Phương trình đã cho trở thành:
1
sin sin( 3 ) 2sin sin3 0
2
u u u u

    

x x x
  

Giải:
4 6
cos cos2 2sin 0
x x x
  

4 2 2 2 4
cos (cos sin ) 2sin sin 0
x x x x x
    

2 2 2 4
cos (cos 1) sin (1 2sin ) 0
x x x x
    

2 2 2 4
cos (cos 1) (cos 1)(1 2sin ) 0
x x x x
     83, Giải phương trình:
2
2 3 3 2
sin 3
sin (cos3 sin sin3 cos ) sin sin 3 .