- 1 -
******************************************************************************
A. Më ®Çu
I. Cơ sở của đề tài
1. Cơ sở lí luận.
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý
trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính là tư
duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, lý trí một cách chính xác, lập luận có căn cứ.
Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Toán học là một nghành
khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của
tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người ta dùng suy diễn
lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các
khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các
khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế Toán học được coi là " môn
thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các
vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm Văn Đồng).
Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán
học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì
mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập
môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả
năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần
thiết và rất đáng để đầu tư công sức.
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học
người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic. Cụ thể là : Mô tả(không
định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng
minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh
chưa chặt chẽ. Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic,
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và
cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 3 -
******************************************************************************
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với
hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói
riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi
luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau
của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra rằng khi
học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và
đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em . Vì vậy,
tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông
qua dạy học chứng minh toán học".
II. Lịch sử của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong
quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó
khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao
năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không
ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả
năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng
dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo
hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành
bản sáng kiến kinh nghiệm này.
III. Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.
1. Mục đích:
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả
đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng
tư duy lôgic toán học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng

quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề
có mối quan hệ biện chứng với nhau. Để học tốt môn Toán người học phải có khả
năng nhất định về tư duy lôgic. Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành
và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán. Vì thế, việc hình thành khả năng tư
duy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 5 -
******************************************************************************
và duy trì bền bỉ trong suốt cả quá trình dạy học chương trình Toán THCS. Mọi
bài toán, mọi đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học. Vì vậy
trong mọi giờ học toán dù chính khoá hay ngoại khoá, dù dạy kiến thức mới hay
luyện tập, ôn tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực
hiện được vấn đề rèn tư duy lôgic.Tuy nhiên để có điều kiện nghiên cứu sâu, tìm
hiểu kỹ thì trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu thể nghiệm chủ yếu trong
loại toán chứng minh. Bởi vì trong điều kiện này khả năng tư duy của các em
được bộc lộ rõ nhất và cũng thuận lợi cho việc kiểm tra kết quả thực nghiệm ở
một nội dung cụ thể nào đó. Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính phổ dụng rộng
rãi của đề tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tính vừa
sức với đối tượng học sinh THCS.
V. Đổi mới trong kết quả nghiên cứu.
Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh
THCS thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan.
Trước một vấn đề , một bài toán đặt ra, học sinh bước đầu biết "cách suy nghĩ"
định hướng, lựa chọn phương pháp phù hợp . Khi tìm ra cách giải quyết vấn đề
các em đã tránh khỏi những sai lầm trong cách suy nghĩ cũng như khi trình bày
bài làm do khả năng tư duy lôgic được rèn luyện tốt. Từ đó, các em biết trình bày,
lập luận một cách chặt chẽ, hợp lý, ngắn gọn súc tích và đầy đủ. Qua đó hình
thành thói quen xem xét vấn đề ở các góc độ khác nhau theo các chiều hướng
khác nhau. Hơn thế nữa, khi khả năng tư duy lôgic của học sinh được nâng lên

Chẳng hạn:
• Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em
đều biết: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1
và chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 7 -
******************************************************************************
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? " thì học sinh chỉ trả lời
được phải " chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic
của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.
• Hoặc khi gặp bài toán:
Cho số :
*6

Tìm * để
*6
chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Không ít học sinh lần lượt xét * để
*6
chia hết cho 2. Rồi lại xét * để
*6
chia
hết cho 3
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy
(,) cũng như từ "và" của bài toán. Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.
• Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:






−=
=
7
2
3
x
x

Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "
⇒
" cả lỗi về dấu "
{
"
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 8 -
******************************************************************************
( Thực chất của dấu "
⇒
" là phép "Kéo theo" , dấu "
{
" là "Phép tuyển"
trong lôgic toán học )
• Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc
nhiều lỗi không kém.Thí dụ:

như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh
toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện
pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về
chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn tôi rút
ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán
học tốt qua loại toán chứng minh.
1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực
tiếp.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí
hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài toán(cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng
huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện
khả năng tư duy có lôgic.
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng
kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 10 -
******************************************************************************

k

) ABCD là hình chữ nhật Giả thiết
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
GT ABCD là hình chữ nhật
KL AC = BD
- 11 -
******************************************************************************
A
3
) Do đó
0
^^
90== BA
và AD = BC Từ A
1
và A
2

2. A
4
) Nếu hai tam giác tam giác vuông có cạnh Định lí đã biết
A
5
) Hai tam giác vuông ABD và ABC có AB Theo A
3
chung và AD =BC
A
6
) Do đó hai tam giác vuông ABD và ABC T ừ A
4

kinh nghiệm của mỗi giáo viên).
1.3. Hướng dẫn học sinh thiết lập sơ đồ phân tích bài toán từ đó trình bày
tốt lời giải.
Ngoài cách làm trên, khi học sinh bước đầu nắm bắt được tinh thần của
phương pháp chứng minh này giáo viên có thể trình bày dưới dạng một sơ
đồ để giúp học sinh nhìn rõ hơn quá trình suy luận (Sơ đồ 1) Và cũng chính
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 12 -
******************************************************************************
từ sơ đồ này học sinh học được kỹ năng phân tích để trình bày bài giải một
cách lôgic.

(GT)
( Định nghĩa)
(Định nghĩa)
Hai tam giác ABD và
ABC có AB chung  = B = 90
0
AD = BC
(c.g.c)
ΔABD = ΔABC (KL)
Sơ đồ1
Ví dụ 2:
Chứng minh định lý về đường trung bình của một tam giác: "đường thẳng
đi qua trung điểm một cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ
hai thì cũng đi qua trung điểm của cạnh thứ ba".

1
= E
3
(c.g.c)
ΔADE = ΔEFC (KL)

Sơ đồ 2
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
DE // BC
AE = EC
AD = DB
- 14 -
******************************************************************************
Ví dụ 3:
"Nếu hai số nguyên chia hết cho một số nguyên khác thì tổng của chúng
cũng chia hết cho số nguyên đó".
* Hướng dẫn học sinh xây dựng sơ đồ chứng minh như sau
(Với a,b,m
∈
Z) (GT)
(GT)
(Khái niệm) (Khái niệm)

(k
∈
Z) ) (q

các em có thêm vốn tri thức phương pháp về các cách chứng minh khác
như bác bỏ một mệnh đề hoặc chứng minh gián tiếp.
2. Hướng dẫn học sinh phương pháp bác bỏ mệnh đề .
Về phương pháp, thì bác bỏ mệnh đề A chính là phải xác định rằng A là sai
bằng cách vạch rõ rằng từ A (và một số mệnh đề đã được thừa nhận là đúng) lấy
làm tiền đề, có thể rút ra kết luận lôgic là một mệnh đề sai B. Mệnh đề B sai do đó
mệnh đề A sai.Tuy nhiên vẫn phải thông qua hệ thống ví dụ để hình thành
phương pháp.
Ví dụ 4: Chứng tỏ rằng kết luận sau là sai: "Mọi số đều bằng bình phương của
nó"
* Trước hết cần giúp các em viết gọn bằng kí hiệu:
∀
x (x
2
= x).
* Cho học sinh tìm giá trị cụ thể của x mà tại đó mệnh đề trên sai (chẳng hạn
x = 2 ) khi đó 2
2
= 4 như vậy mệnh đề trên là sai.
Ta nói rằng cách làm trên là chỉ ra một phản thí dụ.
Ví dụ 5:
Chứng tỏ mệnh đề sau là sai: "Có một hình đa giác lồi có 4 góc nhọn".
Giáo viên có thể phân tích cho học sinh rõ cách suy luận như sau:
Có 1 đa giác lồi có 4 góc nhọn R

⇓

⇓
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau".
Về mặt lôgic mệnh đề cần chứng minh có dạng : P
∧
Q
⇒
R tức là:
)//()()( bacbca
⇒⊥∧⊥
Để chứng minh gián tiếp ta lập phủ định của mệnh đề này, tức là:
)//()()( bakhongcbca ∧⊥∧⊥
(giả sử a cắt b tại I )
Ta có
cb
ba
⊥
⊥

⇒
Qua I có hai đường thẳng a, b cùng
a cắt b tại I vuông góc với c (S)
Mệnh đề S sai vì trái với định lý đã được chứng minh (Qua một điểm cho
trước, có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường
thẳng cho trước). S sai, vậy :
)//()()( bakhongcbca ∧⊥∧⊥
là sai
Do đó
)//()()( bacbca
⇒⊥∧⊥
là đúng.
Trong một số trường hợp ta cần hướng dẫn cho học sinh chứng minh trực tiếp


Sơ đồ 3
Lưu ý:
- Cần giúp học sinh thấy rõ phép chứng minh trực tiếp(phản chứng) và phép
chứng minh gián tiếp không tách rời nhau. Trong chứng minh gián tiếp một mệnh
đề nào đó, ta thường phải chứng minh trực tiếp một mệnh đề trung gian, cũng như
trong chứng minh trực tiếp một mệnh đề nào đó nhiều khi ta phải chứng minh một
số mệnh đề trung gian bằng phản chứng.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 18 -
******************************************************************************
- Thông thường phương pháp chứng minh gián tiếp hay được dùng để chứng
minh các định lý đảo(Dựa vào kết quả của định lý thuận) và khi chứng minh các
mệnh đề có dạng " Có ít nhất một "
Sau việc hướng dẫn qua ví dụ cụ thể giáo viên cần cho các em được thử sức
bằng các bài tập tương tự:
Bài tập tương tự:
1. Hãy trình bày thành sơ đồ phép chứng minh bằng phản chứng các mệnh đề
sau đây và xét xem ta đã dùng hình thức nào (Bác bỏ phủ định của mệnh đề phải
chứng minh hay chứng minh mệnh đề phản đảo):
a) Nếu tích của hai số nguyên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
b) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau.
c) Không có số hữu tỉ nào bình phương lên lại bằng 2.
d) Ở nước Việt Nam có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh, giờ sinh.
• Ngoài ra, cũng cần để ý rằng, trong giải toán các em thường mắc nhiều
sai lầm do vận dụng sai quy tắc lôgic. Vì thế không thể xem nhẹ vấn đề
này,giáo viên cần thống kê các sai lầm của học sinh qua các bài kiểm
tra, các lần trình bày bài làm của các em và rút ra những sai lầm cơ bản

+++++++
=+++++++
.22.22.
.2.22.2
22
22
(3)
(3) đúng, vậy (1) đúng . (điều phải chứng minh)
Cần phân tích cho học sinh thấy sự suy luận không hợp lôgic:
(1)
⇒
(4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
Ở đây các phép biến đổi là tương đương nên phải nói:
(1)
⇔
(4), (4) đúng, vậy (1) đúng.
Như thế trong toàn bộ lời giải chỉ cần thay:
"Từ (1) suy ra (2)" bởi " (1) tương đương với (2)"
4.2. Khi giải bài toán sau:
Cho một tam giác ABC với trực tâm H và HC = AB.
Chứng minh rằng góc C = 45
0

Một học sinh đã giải như sau:

H
C'
B'
C
A

H
B'
4.3 Khi giải bài tập sau:
Với những giá trị nào của a , b ta có bất đẳng thức:
2>+
a
b
b
a
?
Học sinh giải:
a
2
+ b
2
> 2ab
a
2
- ab > ab - b
2

a(a - b) > b(a - b)
a > b
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với a > b.
Như vậy sai lầm của học sinh là do trong suy luận đã dựa vào tiền đề sai.
Tóm lại: Những sai lầm của học sinh trong giải toán là rất nhiều song phổ
biến có thể là do suy luận không hợp lôgic như áp dụng sai quy tắc lôgic(4.1)
hoặc dùng quy nạp không hoàn (4.2) toàn hay dựa vào tiền đề sai (4.3)
Giáo viên cũng có thể cho học sinh phát hiện ra sai lầm trong cách giải bài
toán để các em không chỉ rèn tốt tư duy lôgic mà còn tránh được nhiều sai sót

2
+b
2
- 2ab
0
≥
(4)
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 21 -
******************************************************************************
Hay (a - b )
2

0≥
(5)
(5) đúng. Điều phải chứng minh"
VI. Kết quả thực nghiệm
Qua quá trình thực hiện nêu trên đối với học sinh thuộc các khối lớp tại trường
mà tôi trực tiếp giảng dạy trong những năm qua đã cho thấy kết quả rõ nét.
1.Các em bớt lúng túng trước những bài toán đặc biệt là dạng toán chứng
minh(trong các bài kiểm tra, bài thi với dạng toán này các em tỏ ra vân dụng tốt).
2.Biết chọn lựa phương pháp giải phù hợp với bài toán sao cho nhắn gọn dễ
hiểu nhất. Ch ứng tỏ bước đầu các em biết phân loại các bài toán chứng minh.
3.Khắc phục các lỗi khi phát biểu cũng như trình bày lời giải các bài toán
4. Khả năng tư duy toán học nâng lên rõ rệt. Khả năng tư duy lôgic các vấn đề
trong đời sống hàng ngày cũng được cải thiện.
5. Hứng thú môn học được ghi nhận rõ nét. Các em tỏ ra mong chờ giờ học
toán hơn trước đây.
6. Các em học sinh ở các lớp thuộc các năm học tôi trực tiếp giảng dạy và áp

nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tôi rất mong cũng có
nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời
góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong "sự nghiệp trồng người".
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 3 năm 2009.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 23 -
******************************************************************************
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa toán THCS các lớp 6,7,8,9. Nhà xuất bản Giáo dục, 2002.
2. Hoàng chúng - Mấy vấn đề về lôgic trong giảng dạy toán học, NXB Giáo
dục, 1969.
3. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp giảng dạy môn toán, NXB Đại học sư phạm,
2004.
4. Nhóm tác giả: Lê Văn Hồng - Phạm Đức Quang - Nguyễn Thế Thạch -
Nguyễn Duy Thuận - Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS
chu kì III ( 2004 - 2007), NXB Giáo dục, 2007.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 24 -
******************************************************************************
Mục lục
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học