Tổng kết kinh nghiệm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI MỘT SỐ THỰC KHÔNG DÙNG ĐỊNH LÝ ĐẢO
Lĩnh vực: Toán THPT
Tác giả:
Giáo viên môn: ToánTrang 1
Tổng kết kinh nghiệm
Năm học
Trang 2
Tổng kết kinh nghiệm
PHẦN MỞ ĐẦU
I.Bối cảnh của đề tài
Trong quá trình đổi mới công tác giáo dục, việc đổi mới chương trình, nội
dung sách giáo khoa và đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng
giáo dục là việc làm hết sức cần thiết. Với lý do giảm tải nên trong chương trình
Toán THPT không còn định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, tuy nhiên ta vẫn còn
gặp một số bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc
hai.
II. Lý do chọn đề tài
Giải bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai
như trước khi thay sách ta phải dùng đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, dạy
theo chương trình và sách giáo khoa đổi mới, không dùng định lý đảo về dấu tam
thức bậc hai nên giáo viên ít nhiều còn lúng túng.
III. Phạm vi và đối tượng của đề tài

, x
2
(x
1
< x
2
) và x
1
<
α
< x
2
.
Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) là tồn tại số
α
sao cho
( ) 0af
α

.
Chú ý: Phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) và
α
nằm ngoài đoạn [x
1
; x
2
]
0
( ) 0af
α
∆ >

⇔

>



− >

Phương trình bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
và x
1
< x
2
<
α
0
( ) 0
0
2
af
S
α
α


∆ >


0
c
P
a
∆ >


⇔
′

= >

′

Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
0
0
0
c
P
a
b
S
a


∆ >

′


′

= − <

′

Phương pháp hàm số:
Trang 4
Tổng kết kinh nghiệm
Ký hiệu K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn chứa trong
¡
Định lý 1: Cho hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f
/
(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) đồng biến trên K.
b) Nếu f
/
(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) nghịch biến trên K.
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K. Nếu f
/
(x)
≥
0 ( f
/
(x)
≤

0) với mọi x thuộc K và f
/
(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f( x) đồng

2
( ) ( 1) 0f x m x mx⇔ = − + =
(2) ( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
( x
1
< x
2
) và x
1
< x
2
<–1 hoặc
–1< x
1
< x
2
⇔
2
0
( 1) ( 1) 0
m
m f

∆ = >

y
x
+
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 1
x
x
+
+
= mx + m – 1 (1)
2
( ) 2 3( 1) 3 0f x mx m x m⇔ = + − + − =
(2)
( do
1
2
x = −
không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và x

2
2 3
2
x x
x
−
−
= 2mx – m (1)
2
( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0f x m x m x m⇔ = − + − + =
(2)
( do x = 2 không là nghiệm của phương trình)
(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và x
1
< 2< x
2
2( 1) (2) 0m f⇔ − <
1m⇔ >
Vậy m > 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số
3 1
3
x
y

2
< 3 hoặc
3 < x
1
< x
2
(3) 0mf⇔ > ⇔
m < 0
Vậy m < 0
Tuy nhiên có một số bài tập áp dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai rất
khó:
Ví dụ5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
sin cos
2 2
x x
m+ =
Giải: Đặt
2
sin
2
x
t =
với
1 2t≤ ≤
, phương trình trở thành
2
t m
t
+ =



∆ >

>


⇔ − >


>



− <

Phương trình (1) có hai nghiệm t
1
, t
2
và t
1
≤
1
≤
t
2
<2 hoặc 1< t
1
≤

1.Giải các bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh.

Trường hợp 1
: Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung.
Ví dụ 1: Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −
=
+
có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm
giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C).
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
1
1
1
x x
mx
x
− −
= −
+
(1)

0
1
m
m
m
m
m
m

> −


>
 
−
⇔
−
 
 
≠
≠


−

⇔
m < 1 và m
≠
0
Vậy m < 1 và m

(2)
2
x
m
x
m
= −


⇔
−

=

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn
1
2
−
3 1 3
0
2 2 2
m
m m
−
⇔ > − ⇔ >
⇔
m > 0
Vậy m > 0

(d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C)
⇔
phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
< 2 < x
2
Trang 8
Tổng kết kinh nghiệm
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm t
1
, t
2
và t
1
< 0 < t
2
2
0
2( 1)
P
m
−
⇔ = <
−
⇔

phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
và x
1
< x
2
<3 hoặc x
1
> x
2
>3
⇔
phương trình (2) có hai nghiệm t
1
, t
2
phân biệt và cùng dấu.
2
(3 4) 32 0
8
0
m m
P
m

∆ = − + >

⇔

mx
x
− −
= −
+
(1)
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = 0 với mọi m.
Với
0x ≠
, phương trình (1)
1
x
m
x
⇔ =
+
(2)
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C)
⇔
Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x > –1 và x
≠
0
Xét hàm số
( )
1
x
f x
x
=
+

⇔
m < 1 và m
≠
0
Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương
trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt lớn hơn –1
Ví dụ 6: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
+
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt. ( Ví dụ 2, mục III )
Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 1
x
x
+
+
= mx + m – 1 (1)
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = –1 với mọi m.
Với x
≠
–1, phương trình (1)
3

f x
x
−
′
=
+
< 0 với mọi x >
1
2
−
Bảng biến thiên:
x
1
2
−
+
∞
f
/
(x) –
f

(x)
+
∞

0
Vậy yêu cầu bài toán
⇔
m > 0

3
x x
y
x
− −
=
+
tại hai
điểm thuộc hai nhánh phân biệt.
3)Tìm m để đường thẳng y= mx + m cắt đồ thị hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
tại hai điểm
phân biệt cùng thuộc một nhánh.
4) Tìm m để đường thẳng y= mx + m – 2 cắt đồ thị hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
− −
=
+

1 2t≤ ≤
.
Bài toán trở thành tìm miền giá trị của hàm số f(t) trên đoạn [1; 2]
2
2
( ) 1f t
t
′
= −

( ) 0 2f t t
′
= ⇔ =
hoặc t = –
2
( loại)
Bảng biến thiên
t
1
2
2
f
/
(t) – 0 +
f(t)
3 3
2
2

Vậy với m

t
x
−
=
+
với
0 1t≤ <
do
4 4
1 2
0 1 1
1 1
x
x x
−
≤ = − <
+ +
Khi đó (1) trở thành –3t
2
+ 2t = m

( 2)
Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có nghiệm trong đoạn [ 0; 1]
Trang 11
Tổng kết kinh nghiệm
Xét hàm số f(t) = –3t
2
+ 2t với
0 1t
≤ <

t m∈ ⇔ − < ≤
Ghi chú: Nếu từ (2) mà ta chuyển vế thì dẫn đến bài toán tìm m để phương trình bậc
hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 0; 1]
Ví dụ9: Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
3
1 ; 3
 
 
:
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
(1) ( m là tham số thực)
Giải: Điều kiện: x > 0
Đặt
2
3
log 1t x= +
, với
[ ]
3
1 ; 3 1 ; 2x t
 
∈ ⇒ ∈
 
Phương trình (1) trở thành
2
2 2 0t t m+ − − =
( )
2

f
/
(t) +
f

(t)
2

0
Trang 12
Tổng kết kinh nghiệm
Vậy yêu cầu bài toán
⇔
Phương trình (2) có nghiệm
[ ]
1 ; 2t ∈

0 2m⇔ ≤ ≤
Ví dụ 10: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
sin sin
sin sin
2 2 2
4 4
x y
x y
m

+ =



1
2
2
v≤ ≤
Hệ phương trình trở thành
2 2 2
2
2 2
2
( ) 2
2
u v
u v u v
m
uv
u v m u v uv m
+ =

+ = + =
 

⇔ ⇔
  
= −
+ = + − =
 


u, v là nghiệm của phương trình
2 2

′
= ⇔ =
Bảng biến thiên
t

1
2
1 2
f
/
(t) – 0 +
f

(t)

5
4
2

1
Vậy hệ phương trình có nghiệm
5 5
1 2
2 4 2
m
m⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Bài tập tương tự:
1) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
2 2 1x mx x+ + = +

x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −


Bài toán 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch
biến) trên K ( K là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn chứa trong
¡
)
Phương pháp
+ Tính f
/
(x)
+ Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K
( ) 0,f x x K
′
⇔ ≥ ∀ ∈
+ Biến đổi
( ) 0,f x x K
′
≥ ∀ ∈
tương đương
( )

′
⇔ ≤ ∀ ∈
Ví dụ 11 Cho hàm số y = –x
3
+3x
2
+ mx –2 ( m là tham số thực). Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2).
Giải: Tập xác định
¡
y
/
= –3x
2
+6x +m
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2)
( )
0, 0;2y x
′
⇔ ≥ ∀ ∈

( )
2
3 6 , 0;2x x m x⇔ − ≤ ∀ ∈
Xét hàm số g(x) = 3x
2
– 6x với
( )
0;2x ∈
g

2
+6(2m+1)x – (12m+5)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( –
∞
; –2)
( )
0, ; 2y x
′
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ −

( )
2
3 6 5
, ; 2
12 12
x x
m x
x
− +
⇔ ≤ ∀ ∈ −∞ −
−
Xét hàm số g(x) =
2
3 6 5
12 12
x x
x
− +
−
với

/
(x) +
g(x)

29
36
−–
∞

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( –
∞
; –2)
29
36
m⇔ ≥ −
Ví dụ 13: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
+ −
=
+
nghịch biến trên nửa
khoảng [ 1; +∞)

Xét hàm số
2
14
( )
4
g x
x
−
=
+
với x
∈
[ 1; +∞)
( )
2
2
28
( )
4
x
g x
x
′
=
+
;
( ) 0 0g x x
′
= ⇔ =
( loại )

( 1) ( 3) 4
3
x
y m x m x= − + − + + −
đồng biến
trên khoảng
( )
0 ; 3
2) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
− +
=
−
đồng biến trên khoảng
( )
3 ; +∞
3) Tìm giá trị của tham số m để hàm số
3
2
(2 1) 2
3
x
y mx m x m= − − + − − +
nghịch
biến trên khoảng

được phổ biến cho học sinh trong báo Vui học Toán của Tổ Toán của trường.
Trong bài viết khó tránh khỏi thiếu sót, mong các đồng nghiệp đọc góp ý để
kinh nghiệm được hoàn chỉnh, cám ơn.
Người viết
MỤC LỤC
Phần mở đầu trang 1
I.Bối cảnh của đề tài trang 1
II.Lý do chọn đề tài trang 1
III.Phạm vi và đối tượng của đề tài trang 1
IV.Mục đích nghiên cứu trang 1
V.Điểm mới trong nghiên cứu trang 1
Phần nội dung trang 1
I. Cơ sở lý luận trang 1
II.Thực trạng của vấn đề trang 3
III. Các biện pháp giải quyết vấn đề trang 5
IV. Hiệu quả của kinh nghiệm trang 14
Phần kết luận trang 15
I. Những bài học kinh nghiệm trang 15
II. Ý nghĩa của kinh nghiệm trang 15
III.Khả năng ứng dụng, triển khai trang 15
Tài liệu tham khảo
Sách giáo khoa chỉnh lý năm 2000
Sách giáo khoa phân ban năm 2008
Đề thi đại học từ năm 2006 đến 2009
Báo Toán học tuổi trẻ các tháng của năm 2008 và năm 2009
Trang 17
Tổng kết kinh nghiệm
Trang 18