1
Bài 5.24
1. Lập phương trình vi phân chuyển động của hệ
- Động năng của hệ:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
JJT
(1)
- Thế năng của hệ:
2
122
2
1
1
)(
2
1
2
1
(với i=1,2) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được:
0
0
221222
2212111
tt
ttt
kkJ
kkkJ
(4)
Theo đề bài ta có:
tttt
kkkk 2;
21
;
JJJJJ 22;
121
0
0
22
23
222
23
det
0
20
0
22
23
det
0
2
2
2
2
tt
tt
tt
tt
kJk
kkJ
J
J
kk
kk
mk
04223
222
ttt
kkJkJ
04
2242
3. Ma trận dạng riêng của hệ:
Các véc tơ riêng:
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
Ar
A
A
A
A
với:
t
t
t
k
kJ
A
A
r
k
kJ
A
A
r
Ma trận dạng riêng của hệ:
3661,03661,1
11
A
Đề số 1 (Bài tập):
Cho cơ hệ như hình vẽ:
smNMtMM
rad
mN
C
rad
mN
C
mkgJmkgJ
/15;.8;cos
.
10.3;
.
10.2
.10.2;.10.5,1
20202
2
2
2
1
21
2
21
1
JJT
(1)
3
- Thế năng của hệ:
2
122
2
11
)(
2
1
2
1
ccV
(2)
- Phương trình Lagrange có dạng:
i
iii
M
VTT
dt
d
(4)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
(5)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:
iiii
tAt
cos
với i=1,2; (6)
Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:
0det
0
0
0
det
0
2
2
22
221
2
1
2
1
2
cJc
cccJ
J
J
cc
ccc
mk
21
2121
2
122221122221
2
2
2
1
4
/
;
4
/
JJ
ccJJJcJcJcJcJcJc
JJ
ccJJJcJcJcJcJcJc
Thay số được:
)/1(1538,66);/1(3776,21
21
ss
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Ar
A
A
A
A
với:
4
5214,0
4382,1
2
2
2
22
2
1
2
2
2
2
21
2
11
1
1
1
2
1
4. Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
0 ; 6/
0 ; 0
0
22
11
t
Nghiệm của phương trình (1) là:
22
2
12211
1
1112
22
2
1211
1
111
sinsin
sinsin
tArtArt
tAtAt
(9)
Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:
1
111
2
2
121
1
112
2
2
11
1
11
sinsin0
sinsin0
coscos0
coscos0
ArAr
AA
ArAr
AA
(10)
Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
00
00
00
00
00
00
1
00
00
1
2112
211
2
2121
212
1
2
2
2
211
r
arctg
r
r
rr
X
r
r
rr
X
Thay số ta được:
0)0(
0)0(
2672,0
9597,1.669597,1
1
2672,0
9597,1.669597,1
1
2
1
2
2
Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:
5
ttt
ttt
1538,66cos1393,03776,21cos3842,0
1538,66cos2672,03776,21cos2672,0
2
1
5. Dao động cưỡng bức của hệ
Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:
.2,1 ;cos jtXtx
jj
Trở kháng cơ học của hệ tính theo công thức:
2,1, ;
2
2
11
;
;
cZ
cJZ
ccJZ
Áp dụng công thức 5.35 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
2
222
2
211
2
2011
2
2
2
222
2
211
2
ttx
5cos0703986,0
;5cos0425579,0
2
1
Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:
tttt
tttt
5cos0703986,01538,66cos1393,03776,21cos3842,0
5cos0425579,01538,66cos2672,03776,21cos2672,0
2
1
Đề số 2 (Bài tập): 6
Cho cơ hệ như hình vẽ:
1. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ:
- Động năng của hệ:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
JJT
(1)
- Thế năng của hệ là:
(với i=1,2) (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được:
0
cos
2211122
10211111
cccJ
tMccJ
(4)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
0
cos
0
0
10
2
1
211
11
2
1
2
1
tM
ccc
cc
J
J
(5)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:
0
21
2
122111
4
21
ccJcJcJcJJ
(7)
Giải phương trình (7) được hai nghiệm:
21
2121
2
122111122111
21
21
2121
2
122111122111
2
2
2
1
4
/
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
Ar
A
A
A
A
với:
7208,1
3874,0
1
A
A
r
Ma trận dạng riêng của hệ:
7208,13874,0
11
A
4. Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
0 ; 0
0 ; 6/
0
coscos
tArtArt
tAtAt
(8)
Ta có:
22
2
12211
1
1112
22
2
1211
1
111
sinsin
2
2
1221
1
1112
2
2
121
1
111
2
2
121
1
112
2
2
11
212
12
1
1
r
r
arctg
r
r
arctg
r
r
rr
X
r
r
rr
X
arctg
arctg
X
X
0
0;;
2101
1122122111
221211
12222111
FtMF
ckcckck
ccc
mJmJm
Từ đó ta có:
112
212
2
22
11
2
11
;
;
cZ
ccJZ
MccJ
X
Thay số được:
)(01239,0
)(04308,0
2
1
radX
radX
Nghiệm riêng của hệ phương trình:
ttx
ttx
4cos01239,0
;4cos04308,0
2
1
C
rad
mN
C
mkgJmkgJ
/14 ;.5;cos
.
10.2;
.
10.4;
.
10.3
.10.3;.10.2
20202
2
3
2
2
2
1
21
2
21
1
1
JJT
(1)
- Thế năng của hệ là:
2
23
2
122
2
11
2
1
2
1
2
1
cccV
(2)
- Phương trình Lagrange có dạng:
i
iii
M
VTT
dt
d
0
202321222
2212111
(4)
Viết dưới dạng ma trận ta có:
1
(5)
2. Tìm các tần số riêng:
Phương trình (5) có hai nghiệm điều hoà:
iiii
tAt
cos
với i=1,2; (6)
Thay (6) vào (5) ta được phương trình tần số:
0det
0
0
0
det
0
32
2
22
221
2
1
ccJc
cccJ
J
J
ccc
ccc
mk
2
1312222113122221
21
21
3231212121
2
1312222113122221
2
2
2
1
4
/
;
4
/
JJ
ccccccJJJcJcJcJcJcJcJcJc
JJ
ccccccccJJJcJcJcJcJcJcJcJc
Thay số được:
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Ar
A
A
A
A
A
A
với:
5235,0
273,1
2
32
2
22
2
1
2
2
2
2
21
2
11
1
1
1
2
1
4. Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu:
0 ; 0
0 ; 6/
0
22
11
t
Nghiệm của phương trình (1) là:
22
2
12211
1
1112
22
2
1211
1
111
sinsin
sinsin
tArtArt
tAtAt
(9)
Thay điều kiện đầu t=0 vào các biểu thức (8) và (9) ta được:
121
1
111
2
2
121
1
112
2
2
11
1
11
sinsin0
sinsin0
coscos0
coscos0
ArAr
AA
ArAr
AA
(10)
Giải hệ phương trình (10) công thức 5.18 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
00
00
00
00
00
00
1
00
00
1
2112
211
2
2121
212
1
2
r
arctg
r
r
arctg
r
r
rr
X
r
r
rr
X
Thay số ta được:
0)0(
0)0(
371,0
6
.273,1
7969,1
1
1525,0
6
arctg
arctg
X
X
Biểu thức biểu diễn dao động tự do của hệ với điều kiện đầu là:
ttt
ttt
431,67cos194,0871,30cos194,0
431,67cos371,0871,30cos1525,0
2
1
5. Dao động cưỡng bức của hệ
Lấy nghiệm riêng của hệ dưới dạng:
.2,1 ;cos jtXtx
jj
212
322
2
22
211
2
11
;
;
cZ
ccJZ
ccJZ
Áp dụng công thức 5.35 [S. Rao, Dao động cơ học, tập I], ta có:
2
2322
2
211
2
20211
2
1
radX
radX
Nghiệm riêng của hệ phương trình:
ttx
ttx
4cos01367,0
;4cos00785,0
2
1
Vậy, biểu thức của dao động cưỡng bức là:
tttt
tttt
4cos01367,0431,67cos194,0871,30cos194,0
4cos00785,0431,67cos371,0871,30cos1525,0
2
1
Copyright: Tài liệu đại học ©