Chủ đề : Một số bài tập về chứng minh tính chất
(Mức độ bám sát Lớp 9)
Năm học 2007 - 2008
A. Mục tiêu:
+ Hệ thống, phân loại về một số bài tập về chứng minh tính chất.
+ Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức trong việc giải một số bài toán về chứng
minh tính chất .
+ Phát triển t duy suy luận, phân tích..., vẽ hình, trình bày lời giải, góp phần nắm
vững kiến thức cơ bản của hình học lớp 9.
B. Chuẩn bị : Thực hiện trong 6 tiết.
C. Hoạt động dạy học
Hoạt động 1: I. Phân loại bài tập về chứng minh tính chất
* Trong hoạt động này GV giới thiệu về sự phân loại.
+ Các bài tập hình học trong chơng trình lớp 9 THCS đợc quy về các dạng sau:
1/ Bài tập về chứng minh tính chất
2/ Bài tập về tìm quỹ tích
3/ Bài tập về dựng hình
4/ Bài tập về tính toán (bao gồm về nhận dạng các hình, tính số đo góc, số đo cung, tính độ
dài của đoạn thẳng, diện tích của một hình.
+ Các bài tập về chứng minh tính chất thờng đợc phân ra các dạng sau:
a) Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Chứng minh hai góc, hai cung bằng nhau.
c) Chứng minh hai đờng thẳng song song, vuông góc.
d) Chứng minh tập hợp các đờng thẳng đi qua một điểm cố định
e) Chứng minh tập hợp các đờng tròn đi qua một điểm cố định.
f) Chứng minh tập hợp các đờng thẳng đồng quy.
g) Chứng minh các tam giác bằng nhau.
h) Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
i) Chứng minh các đẳng thức, hệ thức lợng trong tam giác, trong đờng tròn.
k) Chứng minh Ax là tiếp tuyến tại A của đờng tròn tâm O bán kính R theo các cách sau:
1) A (O ; R) và OAx = 90

(Mức độ bám sát Lớp 9)
Năm học 2007 - 2008
4) Nếu AB cắt CD tại E, mà EA.EB = ED.EC
thì tứ giác ABCD nội tiếp.
m/ Để chứng minh n điểm A
1
, A
2
, , A
n
(n > 4) cùng nằm trên một đờng tròn ta phải chứng
minh:
- Bốn điểm trong n điểm đó cùng nằm trên một đờng tròn, rồi chứng minh các điểm
còn lại cũng ở trên đờng tròn đó (có thể chứng minh điểm còn lại tập hợp với 3 trong 4 điểm
ban đầu cùng thuộc một đờng tròn, lúc đó dĩ nhiên hai đờng tròn sẽ trùng nhau).
+Phơng pháp để giải các bài tập về chứng minh tính chất bao gồm các bớc sau:
Bớc 1: Đọc kĩ đề, căn cứ vào đề bài vẽ hình cho đúng, rõ ràng, sáng sủa.
Bớc 2: Tóm tắt giả thiết, kết luận, nắm chắc các giả thiết đã cho và những điều cần chứng
minh.
Bớc 3: Nhớ lại các kiến thức đã biết, đã học, sử dụng các kiến thức có liên quan, vận dụng
linh hoạt các kiến thức đó để tìm đờng lối giải.
Bớc 4: Trình bày chi tiết (phải có lập luận chính xác và có căn cứ) lời giải tìm đợc.
Hoạt động 2: Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) với hai đờng chéo AC BD. Gọi H là
giao của AC và BD. Chứng minh rằng MH CD với M là trung điểm của AB.
Giải
+Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4
bớc nêu trên.
+Gọi E là giao điểm của tia MH với CD.
Nghiên cứu gt của bài toán, yêu cầu chứng

= B
1
(1)
Mà A
1
= D
1
(Hai góc nội tiếp cùng chắn một
cung) (2).
Ta có A
1
+ B
1
= 90
0
(3)
Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô
2
E
O
B
A
D
C
1
1
1
2
E
1

A
1
; A
2
; B
1
; B
2
; C
1
; C
2
; D
1
D
2
. Chứng minh rằng : 8 điểm đó cùng nằm trên một đờng tròn.
Giải
+Giả thiết tiếp tuyến cho ta đợc điều gì?
Giả sử 8 điểm này đều cùng thuộc một đờng
tròn, thì đờng tròn đó có tâm hay đờng kính
là đâu?
+Vẽ hình
+HS thảo luận đa ra lời giải:
Theo giả thiết tam giác A
1
MO vuông tại A
1
,
nên điểm A

2
;
D
2
cùng thuộc một đờng tròn.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, M là
trung điểm của BC; AO kéo dài cắt đờng tròn tại E. Chứng minh rằng:
a) H, M, E thẳng hàng
b) AH//OM và AH = 2 MO.
Giải
+Giả sử H, M, E thẳng hàng, trong khi M là
trung điểm của BC, gợi ý cho ta điều gì?
+Giả thiết còn lại có giúp đợc gì cho ta trong
việc chứng minh đợc tứ giác BECH là hình
bình hành?
+Vẽ hình, nghiên cứu đề bài, kết hợp với
hình vẽ để tìm lời giải.
+Nếu chứng minh đợc tứ giác BECH là hình
bình hành là xong.
Nguyễn Trờng Mạnh Trờng THCS Tây Đô
3
D
2
C
2
B
2
D
1
C

Tơng tự CH//BE.
Vậy tứ giác BECH là hình bình hành. Theo
giả thiết M là trung điểm của BC (BC là đ-
ờng chéo của hình bình hành BECH) nên đ-
ờng chéo HE phải đi qua M, hay ba điểm H,
M, E thẳng hàng.
b) Theo câu a suy ra M là trung điểm HE, O
là trung điểm của AE, nên OM là đờng trung
bình của tam giác AEH, do đó:
AH//OM và AH = 2 MO.
Hoạt động 3: Bài tập
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có ba đỉnh cùng nằm trên đờng tròn tâm O, bán kính R. Từ M
là điểm chính giữa của cung BC vẽ dây MN//AB. Gọi giao điểm của MN và AC là K.
Chứng minh rằng:
a) Tam giác KAM cân
b) NC//AM
c) MN = AC
d) (AM + CN)KN = MN.CN
Giải
+Hãy tập dợt thực hiện giải bài toán theo 4
bớc nêu trên.
a) Hãy nghiên cứu giả thiết đề xuất cách
chứng minh tam giác KAM cân, cân tại đỉnh
nào?
+Nghiên cứu đề, vẽ hình, ghi giả thiết và kết
luận của bài toán.
+HS nêu các suy nghĩ của mình để lớp thảo
luận, đa ra lời giải:
a)Theo giả thiết M
là điểm chính giữa

đẳng thức cần chng minh này lại có tổng,
chúng ta hãy biến đổi đẳng thức cần chứng
minh này để tìm đờng lối chứng minh.
(AM + CN)KN = MN.CN
+Hãy suy ra tỉ lệ thức cần thiết
+Vế trái viết thành tổng của hai tỉ số, Vế
phải thì viết MN thành tổng của hai đoạn
thẳng nào? Rồi biến đổi tiếp ở hai vế.
+Tỉ lệ thức cuối cùng có thể chứng minh đợc
không?
+Vậy dựa vào sự phân tích này hãy nêu và
viết lời chứng minh.
nội tiếp chắn hai
cung bằng nhau)
Do MN//AB, suy ra
M = A
1
(so le trong)
Vậy A
2
= M, nên tam giác AKM cân tại K.
b) MAC = MNC (hai góc nội tiếp cùng chắn
cung MC.
MAC = AMN (hai góc đáy của tam giác cân
AKM theo câu a).
Suy ra MNC = AMN, mà hai góc này ở vị trí
so le trong nên NC//AM.
c) Theo câu b thì NC//AM suy ra tứ giác
AMCN là hình thang, mà hình thang này nội
tiếp đờng tròn (O) nên AMCN phai r là hình