CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
ĐẠI HỌC VỀ SỐ PHỨC
Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã “Khó hôm nay, dễ ngày mai”
Trang 1
Tính giá trị biểu thức:
1. Gọi z
1
, z
2
là hai nghiệm phức của phương trình: z
2
+ 4z + 13 = 0. Tính giá trị của biểu thức:
A = z
1
.z
2
+ |z
1

1
, z
2
là các nghiệm phức của phương trình: 2z
2
– 4z + 11 = 0. Tính giá trị:
( )
2
21
2
2
2
1
zz
zz
A
+
+
=
.
4. Cho phương trình: z
3
– 5z
2
+ 16z – 30 = 0 (1). Gọi z
1
, z
2
và z
3

3
1
1
21
i
i
z
+
+
=
. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: |z + z
1
| = 4
9. Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức
( )
231
1
++= ziz
, biết rằng: |z - 1| = 2.
10. Trong mặt phẳng phức Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w=(1 + i)z+1 biết
11z −≤

11. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (z + i)(2 + i), trong đó z là số phức thỏa |z - 2| = 3.
Môđun của số phức nhỏ nhất hoặc lớn nhất:
12. Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
izz 34 −+=
và biểu thức A = |z + 1 – i| + |z –2+3i|
có giá trị nhỏ nhất.
13. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện:
( )

n
, trong đó n ∈ N và thoả mãn: log
4
(n-3) + log
5
(n+6) =4
19. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp:
1)
( )
( )
12
16
1
3
i
i
z
+
+
=
2) z =
( )
( )
5
10
10
(1 ) 3
13
ii
i

2
9
−z
là số thuần ảo. b)
1
3
1
=
−
−
z
z
và
2
2
=
+
−
iz
iz
.
21. Tìm số phức z thoả mãn: a)
i
z
z
z
71
200
2
4

+
+−

22. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + i| = 2, biết z có phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.
23. Tìm số phức z thoả mãn: a)
izziz 22 +−=−
và
4)(
22
=− zz
. b)
8.2
2
2
=++ zzzz
và
2
=+
zz

24. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
iziz +−=+ 12
và
iz
iz
2
1
+
−+
là một số thuần ảo.

22=z
. b)
13. =zz
và |z – 4| + |z + 4| = 10
28. Tìm số phức z thoả mãn:
iziz 43|21| ++=−+
và
iz
iz
+
− 2
là một số thuần ảo.
29. Tìm số phức z thỏa mãn: 1)
( )
1 2 5 . 34z i va z z+− = =
2)
15z −=
và
17( ) 5 0z z zz+− =
3)
3
zz
=

Hai số phức bằng nhau:
30. Tìm các số thực x, y thoả mãn: 1) x(3 + 5i) + y(1 – 2i)
3
= 7 + 32i. 2)
( )
( )

2
+ z)
2
+ 4(z
2
+ z) – 12 = 0 2)
( )
( )
0
22
=−+ zziz

3) |z| - iz = 1 – 2i 4) z
3
+ 2z – 4i = 0 5) (z
2
– z)(z + 3)(z + 2) = 10 6)
( )
52
2
4
−= zzz

7) z
4
– z
3
+ 6z
2
– 8z – 16 = 0 a)

.
36. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thoả mãn: z = 1 + 2i + 3i
2
+ 4i
3
+ … + 2009i
2008
.
37. Cho số phức z thoả mãn: |z| = 1 và
2=+
z
i
z
. Tính tổng: S = 1 + z
2
+ z
4
+ … + z
2010
.
38. Tìm phần thực, phần ảo của số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
3000963
3 333 iiiiz −++−+−+−=

39. Chứng minh số phức sau là số thực:
i
i
i
i

iz
iz

43. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = 1+ (1 + i) + (1 + i)
2
+ (1 + i)
3
+ … + (1 + i)
20
.
44. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z + 1 = i
2011
+ i
2012
. Tìm môđun của số phức:
ziz +

45. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z, biết rằng:
32 +=− ziz
và |4z – 8 – 9i| nhỏ nhất.
46. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện:
2
18
1
−
−
=−
z
z
z








+ 1
1
2
1
11
2

49. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z + 2i, biết rằng: |z – i| = |z(1 - i)|
50. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z
3
, biết: z(1 + i) = 2(1 + 2i).
51. Tìm số thực m để phương trình: z
3
– 5z
2
+ (m – 6)z + m = 0 có 3 nghiệm phức phân biệt z
1
, z
2
, z
3
thỏa
mãn điều kiện: |z

1








+








=
z
z
z
z
A

Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã
Trang 1
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức:
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

1 21 2
ii
ii
+−
+
−+

7) z =
23
( 3 2 )(1 ) (1 2 ) (3 )ii i i−+ − + − +
8) z =
22
(4 ) (1 3 )
ii
− −−
9) z =
22
( 2 5) (4 8)
ii
−+ +

11) z =
(2 ) (1 )(4 3 )
32
i ii
i
+++ −
−
12) z =
32

i
++
−
17)
( ) ( )
( ) ( )
22
22
223
121
ii
ii
z
+−+
−−+
=

18) z =
44
(2 7 ) [(1 2 )(3 )]i ii+ −− +
19) z =
7
5 (1 )ii−
20) z =
34
(2 ) (2 )
ii+−

Bài 2. Cho số phức z = 2 - 5i. Tìm phần thực, phần ảo và môđun: 1) z
2

12
22
23
zz
zz
+
+
2)
12 23 31
zz zz zz++
3)
123
zzz
4)
222
123
zzz++
5)
3
12
231
z
zz
zzz
++

Bài 5. Tìm các số thực x, y sao cho:
1) (1 – 2i)x + (1 + 2y)i = 1 + i 2)
i
i

Bài 7. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức biểu diễn các số:
1
4
−i
i
; (1 – i)(1 + 2i) ;
i
i
−
+
3
62
.
1) CMR: ∆ABC vuông cân. 2) Tìm số phức biểu diễn điểm D, sao cho ABCD là hình vuông
Tính toán:
1) Cho số phức
i
i
z
−
+
=
1
1
. Tính z
2009
. 2) Tính:
2004
1
1

i
i
−
+

3) Tính giá trị biểu thức:
816
1
1
1
1






+
−
+






−
+
=
i

ii
B

Dạng 2: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
Bài 1. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
1)
2 13
12
ii
z
ii
+ −+
=
−+
2)
4
1
zi
zi
+

=

−

. 3)
(9 3 ) (11 6 )
57
ii
i




7)
35 12
(1 )(4 3 )
13 2
ii
z ii
ii
++
+ =−+
−

8)
3
(1 2) (3 4) 2 3iz i i+ − − =−+
9)
(2 ) 3 4iz i
−=+
10)
2
( 2 5 ) ( 2 7 ) (1 )(1 2 )iz i i i+ =−+ − − −

10) (i+1)
2
(2– i)z = 8 +i+(1+2i)z (CĐ’09) 11)
5
(1 ) (3 2 )(1 3 )iz i i−=+ +
12)


Chuyên đề luyện thi đại học về số phức
Nguyễn Đức Toàn Thịnh – GV trường THPT Trung Giã
Trang 2
8)
1z =
và phần thực bằng 2 lần phần ảo. 9)



−=−
=−
|||1|
|||2|
izz
ziz
11)
1
1
z
zi
−
=
−
và
3
1
zi
zi
−

5 40xx+ +=

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2
3 6 3 13 0zi zi+− − +− + =
2)
( ) ( )
2
22
4 12 0zz zz+ + +−=
3)
2
33
3. 4 0
22
iz iz
zi zi
++

− −=

−−


Bài 3. (ĐH.A’09) Cho z
2
+ 2z + 10 = 0 có hai nghiệm phức z
1

+






+
−
iz
iz
iz
iz
iz
iz
3)
10)2)(3)((
2
=++− zzzz

4) z
4
+ 2z
3
– z
2
+ 2z + 1 = 0 5) z
4
– 4z
3

+ (5 – 4i)z – 10i = 0 2) z
3
+ (1 + i)z
2
+ (i – 1)z – i = 0
Dạng 4: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn các điều kiện:
1)
34zz++ =
2)
12zz i− +− =
3)
(3 4 ) 2zi−− =
. (ĐH.D’09) 4) |z – 2| + |z + 2| = 10
5)
22
() 4zz
−=
6)
32 1zi−+ =
7)
(1 3 ) 3 2z iz i+ − = +−
8)
22
zi zz i−= −+

9) |2i.z – 1| = 2|z+3| 10)
9. =zz
11)
(3 2 )(1 ) 1z ii−+ −=

=
+
20)
iz
z
+
− 2
là số thực 21)
zi
zi
+
−
là một số thực dương
22)
2
( 1)zi−+
là một số thuần ảo. 23)
( )
2 ()ziz−+
là số thực tùy ý, 24)
1
1z −
là một số thuần ảo.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
23zi z i−= −−
.
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
Dạng 5: Dạng lượng giác và Acgumen của số phức.
Dạng lượng giác của số phức:
( )

=z
và một acgumen của
i
z
+1
là
4
3
π
−

Bài 3. Gọi z
1
và z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
0432
2
=−− izz
.Viết dạng lượng giác của z
1
và z
2

Một số bài tập:
1. Tìm căn bậc hai của số phức: -8 + 6i; 3 + 4i ;
i221−

2. Xác định phần thực của số phức
1

z i
= +
( )
( ) ( )
3 2
3
2 3 3 2
2 3
3 18
18 26 18 3 26 3
3 26
x xy
x yi i x y y x xy
x y y

− =

⇔ + = + ⇔ ⇔ − = −

− =



Gi
ả
i ph
ươ
ng trình b
ằ
ng cách

( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
1
3
a b a b
a a b b

+ = + =


+ + + =



( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 1 1
a b a b a a b b z z
⇒ + = ⇒ − + − = ⇒ − =

Dạng 2) Bài toán liên quan ñến nghiệm phức
Ví dụ 1) Giải phương trình sau:
2
8(1 ) 63 16 0
z i z i
− − + − =

ii
i
i
i
i
2
5
2
3
2
)1)(4(
1
4
)1(2
4)2(2
−=
−
−
=
+
−
=
+
+
−

z
2
=
i

Giải:
Ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2
2 1 4 5 0
z z z
− − + =
. T
ừ

ñ
ó ta suy ra
ph
ươ
ng trình có 3 nghi
ệ
m là
1 2 3
1

1
2
z
−
⇒ =
tho
ả mãn cả
hai ph
ương trình của hệ:Phương trình ñã cho tương ñương với
(
)
(
)
2
2 1 3 3 0
z z z i
+ − + + =
. Giải phương trình ta tìm ñược
1
; 2 ; 1
2
z z i z i
= − = − = +

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
2

Ví dụ 5) Giải phương trình:
3 2

ệ
m, t
ừ

ñ
ó ta có ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
(
)
(
)
2
(1 ) 2 0
z i z i z
− + − + =
. Giải pt này ta sẽ tìm ñược các nghiệm
Ví dụ 6) Tìm nghiệm của phương trình sau:
2
z z
=
.
Giải:
Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có

Dạng 3) Các bài toán liên quan ñến modun của số phức:
Ví dụ 1) Tìm các số phức z thoả mãn ñồng thời các ñiều kiện sau:
1 2 2
z i z i
+ − = − +
và
5
z i− =
Giải:
Giả sử z=x+yi (x,y là số thực) .Từ giả thiết ta có
1 ( 2) 2 (1 )
( 1) | 5
x y i x y i
x y i
 + + − = − + −


+ − =



( )
( )
2
2 2 2
2
2
1 ( 2) ( 2) (1 )
1 5
x y x y

Ví dụ 2) Xét số phức z thoả mãn
;
1 ( 2 )
i m
z m R
m m i
−
= ∈
− −

a) Tìm m ñể
1
.
2
z z
=

b)Tìm m ñể
1
4
z i
− ≤

c) Tìm số phức z có modun lớn nhất.
Giải:
a) Ta có
(
)
(
)

( )
2 2
2
2 2 2 2
2
(1 ) (1 ) 1 1
1 1 1 1
1
m m i m m m
i z i
m m m m
m
+ + +
= = + ⇒ = −
+ + + +
+

( )
2
2
2
2
1 1 1
. 1 2 1
2 2
1
m
z z m m
m
+

+ + +

c) Ta có
( )
2
max
2
2
2
1 1
1 | | 1 0
1
1
m
z z m
m
m
+
= = ≤ ⇒ = ⇔ =
+
+

Ví dụ 3) Trong các số phức z thoả mãn ñiều kiện
2 4 5
z i− − = Tìm số phức z có
modun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải:
Xét số phức z = x+yi . Từ giả thiết suy ra
( ) ( )
2 2

(sin 2cos ) (1 4) sin cos 5
α α α α
+ ≤ + + =

5 sin 2cos 5
α α
⇒ − ≤ + ≤
5 3 5
z⇒ ≤ ≤ . Vậy
min
1 2
| | 5 sin 2cos 5 sin ;cos 1, 2 1 2
5 5
z x y z i
α α α α
− −
= ⇒ + = − ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +
max
1 2
| | 3 5 sin 2cos 5 sin ;cos 3, 6 3 6
5 5
z x y z i
α α α α
= ⇔ + = ⇔ = = ⇔ = = ⇒ = +

Ví dụ 4) Trong các số phức thoả mãn ñiều kiện
2 4 2
z i z i
− − = −
.Tìm số phức z có

3 4
z z i
= − +
c)
4
z i z i
− + + =

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
4

Giải:
Gọi z=x+yi
a) Từ giả thiết ta có
2 2 2 2 2 2
9 9
3 9( ( 1) ) ( )
8 64
z z i x y x y x y= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
V
ậy tập hợp ñiểm M là ñường tròn tâm
9 3
(0; ),
8 8
I R
=

b) T
ừ giả thiết ta có

2
2
2 2 2
2
2 2 2
1 16
1 4
2 1 4
1 16 8 1 1
x y
x y
x y y
x y x y x y


+ + ≤
+ + ≤
 
⇔ ⇔
 
+ − = +
 
+ − = − + + + + +



( )
( )
2
2




Ta th
ấ
y các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung
ñộ
các
ñ
i
ể
m n
ằ
m trên (Elip)
luôn tho
ả
mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n y >-4. V
ậ


Đặ
t
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈

Ta có
1
z
− ≤
2
( )
2
2
1 4
a b
⇔ − + ≤
(1)
T
ừ
( )
( )
( )
3 2 3 1 3
1 3 2 1 3 2
3 3 3( 1)
x a b x a b

)
2
2
3 3 16
x y
− + − ≤
; tâm
(
)
3; 3
I
, bán
kính R=4.
Ví dụ 3) Xác ñịnh tập hợp các ñiểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
phức z sao cho số
2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
.
Giải:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
5


(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2
4 4
2 2 2
x y yi x x
x y y
i
x y x y x y
− + + + − +
+ −
= = +
+ + − + − +
(1)
Vì s
ố
ph
ứ
c
2
2
z
z

τ
>

( )
( )
2 2
2
2
2
2
4
2
2
4 3
2
2
x y
x y
y
x y
τ
τ

+ −
=

− +

⇒


1
z
≤
thì
2 1
1
2
z
iz
−
≤
+

Giải:
Gi
ả
s
ử
z =a+bi (a, b
∈
R) thì
2 2 2 2
1 1
z a b a b
= + ≤ ⇔ + ≤
. Ta có
2 2
2 2
4 (2 1)
2 1 2 (2 1)

1
2
z
z
+ ≤
. Chứng minh
rằng:
1
2
z
z
+ ≤

Giải:
Dễ dàng chứng minh ñược với 2 số phức
1 2
,
z z
bất kỳ ta có
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
Ta có
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z z z
   

i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
 
 

Giải:

a)
(
)
(
)
( )
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
i i
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ

tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− + −
   
 
   
 

- Khi
tan 0
2
ϕ
<
dạng lượng giác là:
tan cos sin
2 2 2
i
ϕ π π
 
   
− +
   
 
   
 


   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh.
- Khi
sin 0
ϕ
>
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác là:
2sin cos sin
2 2

   
 

Ví dụ 2): Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:
a)
(
)
1 cos sin
1 cos sin
i
i
ϕ ϕ
ϕ ϕ
− +
+ +
b)
[
]
[
]
1 (cos sin ) 1 cos sin
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + +
Giải:
a)
( )
2
sin cos
1 cos sin

2
ϕ
cos sin
2 2
i
π π
 
   
− + −
   
 
   
 

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
7

Khi
tan
2
ϕ
<0 thì dạng lượng giác là -
tan
2
ϕ
cos sin
2 2
i

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ
   
= − +
   
   
 
   
= − + −
   
 
   
 

-
Khi
sin 0
ϕ
=
thì d
ạ
ng l
ượ
ng giác không xác
ñị
nh
- Khi
sin 0
ϕ

2 2
i
π π
ϕ ϕ ϕ
 
   
− + + +
   
 
   
 

Dạng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMEN
Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
2
2 2 3
z i
= − +

Giải:
Ta có:

2 2
2 2
2 2 3 4 cos sin
3 3
z i z i
π π
 
= − + ⇔ = +


 
= +
 


= +
 

⇔ ⇔


 
= − −


= − +

 
 


T
ừ

ñ
ó suy ra ph
ầ
n th
ự

ộ
t acgumen b
ằ
ng
3
π

nên
1 3
2 2
z z i
 
= +
 
 
 

Do
ñ
ó:

(
)
1 3
z i− +
=
1 3
( 2)
2 2
z i

1 3
z i− +
là
4
3
π

TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
8

- Khi
2
z
=
thì
(
)
1 3
z i− +
=0 nên acgumen không xác ñịnh.
Ví dụ 3) Cho số phức z có môñun bằng 1. Biết một acgumen của z là
ϕ
, tìm một
acgumen của:
a)
2
2
z

a)
(
)
(
)
2 2
cos2 sin 2 2 2 cos2 sin 2 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = + ⇒ = −

V
ậy 2z
2
có một acgumen là
2
ϕ

b)
(
)
cos sin cos sin 2 2 cos sin
z i z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + ⇒ = − ⇒ = −
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )


c) Ta có:
2cos
z z
ϕ
+ =

N
ếu
cos 0
ϕ
>
thì có một acgumen là 0
N
ếu
cos 0
ϕ
<
thì có một acgumen là
π

N
ếu
cos 0
ϕ
=
thì acgumen không xác ñịnh.
d)
2
cos2 sin2 , cos sin

ϕ
nếu
3
cos 0
2
ϕ
>
, là
2
ϕ
π
+
nếu
3
cos 0
2
ϕ
<
và không xác ñịnh
n
ếu
3
cos 0
2
ϕ
=

Ví dụ 4) Cho số phức
1 cos sin
7 7

7 7
tan cot tan
4
7 14
1 cos 2sin
7 7
π π
π π
ϕ
π π
−
 
= = = = −
 
 
−

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
9

Suy ra:
,
14
k k z
π
ϕ π
= − + ∈

Vì ph

Ví dụ 5) Viết dưới dạng lượng giác của một số phức z sao cho
1
3
z
=
và một
acgumen của
1
z
i
+
là
3
4
π
−

Giải:
Theo giả thiết
1
3
z
=
thì
( )
1
cos sin
3
z i
ϕ ϕ

1 4 4
3 2
z
c i
i
π π
ϕ ϕ
 
   
= − − + − −
   
 
+
   
 

Do
ñ
ó:
3
2 2 , .
4 4 2
k k k
π π π
ϕ π ϕ π
− − = − + ⇔ = + ∈Ζ
v
ậ
y
1

3
1
z i
z i
+
=
+
( ) ( )
2 2
2 2
3 ( 3) ( 1) 3 1
2
z i z i x y i x y i x y x y
y
⇒
+ = + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +
⇒
= −

z+1 có 1 acgumen b
ằ
ng
6
π
−

t
ứ
c là
( )

=

 
⇔ ⇒ = − −
 
= −



− = −



Dạng 3) ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG BÀI TOÁN TỔ HỢP
Ví dụ 1) Tính các tổng sau khi n=4k+1
a)
0 2 4 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
−
+ + + + +
= − + − + −

b)
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1


(2 1) (2 1)
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
+
+
+ +
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

=
(2 1) (2 1) (8 3) (8 3)
2 2 cos sin 2 2 cos sin
4 4 4 4
n n
n n k k
i i
π π π π
+ + + +
   
+ = +
   
   

n n n n
S C C C C= − + − +
Giải:
Xét
( )
0 1 2 2 2 4 1 3 5 7
1 1 ( )
n
n n
n n n n n n n n n n
i C iC i C i C C C i C C C C+ = + + + + = − + − + − + − +
( )
1 2 cos sin 1 2 cos sin
4 4 4 4
n
n
n n
i i i i
π π π π
   
+ = + ⇒ + = +
 
 
   

T
ừ ñó ta có kết quả
a)
2 cos
4

Ta có
0 1 2 3
2
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + + (1)
Xét
3
2 2
cos sin 1
3 3
i
π π
ε ε
= + ⇒ =

Ta có
( )
0 1 2 2 0 1 2 2 3 4
1
n
n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
ε ε ε ε ε ε ε
+ = + + + = + + + + + (2)
(
)
2 0 2 1 4 2 2 0 2 1 2 3 2 4

n n
n n n n n n
n
C C C C C C
π
ε ε
+ + + + = + + + ⇔ + = + + +

3 6
1
1 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
⇔ + + + = +
 
 TEL:0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
11

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Giải phương trình sau trên tập số phức:

2
) 2( ) 4 0
g z z z
− + + =

2) Tìm số thực x thoả mãn bất phương trình:
) 1 4 2 5
x
a i
−
+ − ≤

2
1 7
) log 1
4
i
b x
+
− ≤

2
1 2 2
)1 log 0
2 1
x i
c
 + + − 
− ≥
 

2
z i
b
z i
−
=
+

)3 3
c z i z z i
+ = + −

) 3 4 2
d z i
+ − =

) 1
e z z i
+ ≥ +

) 4 3
f z z i
= + −

2
) 1
2
z i
g
z i

)
(
)
1 2
z z i
− + là số thực và
z
nhỏ nhất.
8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết
z z i z
+ =

9) Tìm số phức z thoả mãn
2
2
z z
+ =
và
2
z
=

10) Giải hệ pt sau trong tập số phức:
2 2
2 2
)
4
z i z z i
a
z z

1 0
)
1 0
z z
c
z z

− + =


− + =



12 5
8 3
)
4
1
8
z
z i
d
z
z

−
=

−

có nghiệm
thực. Hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
12) Tìm phần thực phần ảo của
2011
2011
1
w
w
z = +
biết
1
w 1
w
+ =

13) Tìm n nguyên dương ñể các số phức sau là số thực, số ảo:
2 6
)
3 3
n
i
a z
i
 
− +
=
 
 
+
 

)
3 3
i
d z
i
 
−
=
 
 
−
 

www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
12

14) Cho n nguyên dương, chứng minh rằng
( )
0 2 4 6 2 2
2 2 2 2 2
2
3 9 27 3 2 cos
3
n
n n
n n n n n
n
C C C C C
π
Mọi thắc mắc xin vui lòng liên hệ thầy Nguyễn Trung Kiên 0988844088
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Số phức Trần Só Tùng
Trang 102

1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức: C
· Số phức (dạng đại số) :
zabi
=+

(a, b
R
Ỵ
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vò ảo, i
2
= –1)
· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
· Hai số phức bằng nhau:
'
’’(,,',')
'

(
)
’’’’
abiabiaabbi
+++=+++ ·
(
)
(
)
(
)
(
)
’’’’
abiabiaabbi
+-+=-+-
· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
·
u
r
biểu diễn z,
'
u
r
biểu diễn z' thì
'
uu
+
rr
biểu diễn z + z’ và

;'';.'.';
zz
zzzzzzzzzz
zz
ỉư
=±=±==
ç÷
èø
;
22
.
zzab
=+

· z là số thực Û
zz
=
; z là số ảo Û
zz
=-6. Môđun của số phức : z = a + bi
·
22
zabzzOM
=+==
uuuur

·

2
''.'.
'
.
zzzzz
zz
zzz
z
-
=== ·
'
'
z
wzwz
z
=Û=

I. SỐ PHỨC
CHƯƠNG
IV

SỐ PHỨC

Trần Só Tùng Số phức
Trang 103
8. Căn bậc hai của số phức:

·

zxyi

±-

9. Phương trình bậc hai Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
¹
).

2
4
BAC
D=-

·
0
D¹
: (*) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A
-±d
= , (
d
là 1 căn bậc hai của D)
·
0
D=

b
r
ì
ï
=+
ï
ï
Ûj=
í
ï
ï
j=
ï
ỵ

·
j
là một acgumen của z,
(,)
OxOM
j=

·
1cossin()
zziR
=Û=+Ỵ
jjj

11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
Cho

Ỵ
)
·
( )
cossincossin
n
inin
j+j=j+j

13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
· Số phức
(cos sin)
zri
=+
jj
(r > 0) có hai căn bậc hai là:

cossin
22
cossincossin
2222
ri
vàriri
ỉư
jj
+
ç÷
èø
éù
ỉưỉưỉư

Trang 104
VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
(
)
(
)
(
)
4–23–5
iii
+++
b)
1
22
3
ii
ỉư
-+-
ç÷
èø
c)
( )
25
23
34

-+

g)
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3
h)
i
2
1
3
+
i)
i
i
-
+
1
1

k)
mi
m
l)

Bài 2. Thực hiện các phép toán sau:
a)
( ) ( )
22
11–
ii
+- b)
( ) ( )
33
23
ii
+
c)
( )
2
34
i
+
d)
3
1
3
2
i
ỉư
-
ç÷
èø
e)
22

. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)
2
24
zzi
-+
b)
1
-
+
iz
iz

Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c
Ỵ
R:
a)
2
1
a
+
b)
2
23
a
+
c)
42
49
ab

143
i
-+
b)
465
i
+
c)
126
i

d)
512
i
-+

e)
45
32
i

f)
724
i
-
g)
4042
i
-+
h)

2
2
=+ zz
c)
izz 422 -=+
d)
0
2
=- zz

e)
218
zzi
-=
f)
(
)
452
izi
-=+

Trần Só Tùng Số phức
Trang 105
g) 1
4
=
÷
ø
ư
ç

izii
-+=

l) 0)
2
1
](3)2[( =+++-
i
izizi m)
11
33
22
zii
ỉư
-=+
ç÷
èø

o)
35
24
i
i
z
+
=-
p)
(
)
(

2
3430
xixi
+-=
d)
2
3.240
ixxi
+=

e)
2
320
xx
-+=
f)
2
.2.40
+-=
ixix
g)
3
3240
x
-=
h)
4
2160
x
+=

ixxi
++-=
p)
(
)
2
230
xix
+-=

Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a)
2313
ivài
+-+
b)
244
ivài
-+

Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm:
a)
34
i
=+
a
b)
73
i
a=-

i)
5
2
i
i
+
=
-
a

Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z
1
, z
2
thoả mãn điều kiện
đã chỉ ra:
a)
222
1212
10,:1
zmzmđkzzzz
-++=+=+
b)
233
12
350,:18
zmziđkzz
-+=+=

c)

=+ c)
12
21
zz
C
zz
=+

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
ỵ
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21
b)
ỵ
í
ì
+-=+
=

1
1
1
zzz
zzz
zzz
ì
++=
ï
++=
í
ï
=
ỵ
e)
125
83
4
1
8
z
zi
z
z
ì
-
=
ï
-
ï

Số phức Trần Só Tùng
Trang 106
g)
22
12
12
52
4
zzi
zzi
ì
ï
+=+
í
+=-
ï
ỵ
h)
2
1
ziz
ziz
ì
-=
ï
í
-=-
ï
ỵ
i)

xyi
xyi
ì
+=-
í
+=-
ỵ
c)
4
74
xy
xyi
ì
+=
í
=+
ỵ

d)
22
1111
22
12
i
xy
xyi
ì
+=-
ï
í

ỵ

g)
22
5
12
xyi
xyi
ì
+=-
í
+=+
ỵ
h)
33
1
23
xy
xyi
ì
+=
í
+=
ỵ
VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm
Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm
hệ thức giữa x và y.

+=
h)
3
1
zi
zi
-
=
+
i)
12
zi
-+=

k) 2
ziz
+=-
l)
11
z
+<
m)
12
zi
<-<

Bài 2. Xác đònh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:
a)
2

8
cos.
8
sin
p
p
i f) )1)(3.1( ii +-
Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(
)
(
)
3cos20 sin20cos25 sin25
oooo
ii++ b)
5cos.sin.3cos.sin
6644
ii
ỉưỉư
pppp
++
ç÷ç÷
èøèø

c)
(
)
(
)

oo
oo

g)
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+
h)
2(cos45sin45)
3(cos15sin15)
i
i
+
+
oo
oo

i)
)
2
sin.
2
(cos2
)
3

Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 31 i- b)
1
i
+
c) )1)(31( ii +- d) )3.(.2 ii -
e)
i
i
+
-
1
31
f)
i
2
2
1
+
g)
j
j
cos.sin i
+
h)
22
i
+

i)

(
)
3cos120sin120
oo
i+
d)
6
(2)
i
+
e)
3
(1)(12)
i
ii
+
+-
f)
1
i

g)
1
21
i
i
+
+
h)
( )

100
1
cossin
144
i
i
i
ỉưỉư
+
+
ç÷
ç÷
-èø
èø
pp
m)
( )
17
1
3
i
-

Bài 5. Tính:
a)
( )
5
cos12 sin12
oo
i+ b)

ç
ç
è
ỉ
-
+
i
i
h)
12
2
3
2
1
÷
÷
ø
ư
ç
ç
è
ỉ
+ i i)
2008
1
÷
ø
ư
ç
è

tttt
=-+

c)
23
sin33cossin
ttt
=-
d)
3
cos34cos3cos
ttt
=- Số phức Trần Só Tùng
Trang 108 Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
a)
(2)(32)(54)
iii
+-

+-

e)
(24)(52)(34)(6)
iiii
-+++
f)
232009
1
iiii
+++++

g)
200019992018247
iiiii
++++
h)
2
1 ,(1)
n
iiin
++++³

i)
232000
iiii
k)
571310094
()()()
iiiii

22
12
22
23
zz
zz
+
+

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
432
(12)313,23
Azizizzivớizi
=+-++++=+

b)
232
1
(2)(2),(3)
2
Bzzzzzvớizi
=-+-+=-

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:
a)
(12)(12)1
ixyii
-++=+
b)

724
i
-

e)
2
1
1
i
i
ỉư
+
ç÷
-
èø
f)
2
13
3
i
i
ỉư
-
ç÷
ç÷
-
èø
g)
12
22

22
i
+
d)
186
i
+

Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:
a)
212
i-
b)
3
i
+
c)
2
i
-
d)
724
i
-+

Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
3
1250
z

zizi
+-+-=

Bài 9. Gọi
12
;
uu
là hai căn bậc hai của
1
34
zi
=+
và
12
;
vv
là hai căn bậc hai của
2
34
zi
=-
. Tính
12
uu
+
12
vv
++
?
II. ÔN TẬP SỐ PHỨC

-+-=
f)
2
3 2 3 0
zz
-+=

g)
()()0
zzzz
+-=
h)
2
20
zz
++=
i)
2
2
zz
=+

k)
2323
zzi
+=+
l)
( ) ( )
2
2+2230

zizi
ỉư
++
-+=
ç÷

èø
b)
( )( )
(
)
2
5330
zizzz
+-++=

c)
(
)
(
)
22
26 2160
zzzz
+-+-=
d)
( ) ( )
32
1330
zizizi


i)
( ) ( )
2
363130
zizi
+ +-+=
k)
(
)
2
cossincossin0
zizi
-j+j+jj=

Bài 12. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)
(
)
2
34510
xixi
-++-=
b)
(
)
2
120
xixi
++ =

zizizi
+-+ +=

Bài 14. Tìm m để phương trình sau:
( )
(
)
22
220
zizmzmm
+-+-=

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức
Bài 15. Tìm m để phương trình sau:
32
(3)3()0
zizzmi
++ +=
có ít nhất một nghiệm thực
Bài 16. Tìm tất cả các số phức z sao cho
(2)()
zzi
-+
là số thực.
Bài 17. Giải các phương trình trùng phương:
a)
(
)
42

a)
22
12
zz
+
b)
22
1212
zzzz
+ c)
33
12
zz
+

d)
12
2112
1212
zz
zzzz
ỉưỉư
+++
ç÷ç÷
ç÷ç÷
èøèø
e)
33
2112
zzzz


Bài 20. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ
thức sau: