BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
NGUYỄN ĐÌNH DŨNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU
CHỈNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN TỬ ĐẶT KHÔNG CHỈNH
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ
CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN


Hà Nội – 2014
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach . . . . . . . . 15
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương
trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . 22
1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho
phương trình toán tử U− đơn điệu . . . . . . . 27
1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với
toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . . . . . . 35
Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên
tục và đóng yếu 42
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải . . . . . . . . 42
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải
và nhiễu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán
tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ
phương trình toán tử tuyến tính . . . . . . . . . 65
2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Nguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Công nghệ Thông tin.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Đình Dũng
4
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
R
n
Không gian Ơcơlit n-chiều.
X
∗
Không gian liên hợp của không gian Banach X.
A
∗
: Y
∗
→ X
∗
Toán tử đối ngẫu của toán tử A : X → Y .
H Không gian Hilbert.
I Toán tử đơn vị.
D(A) Miền xác định của toán tử A.
R(A) Miền ảnh của toán tử A.
A
−1
Toán tử ngược của toán tử A.
A

Mở đầu
Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài
toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu
đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của
bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các
bài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt
không chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f, (1)
ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y .
Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các
điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Phương trình (1) có nghiệm x
0
với mọi f ∈ Y ;
2. Nghiệm x
0
được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x
0
phụ thuộc liên tục vào f.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm.
6
Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực
tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn
đó dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì

của (1) trên tập M, trong trường hợp M là tập compact của X, thì với
mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M) thì tựa
nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm
thông thường có thể không duy nhất.
Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M)
7
cũng được Lavrentiev, M.M. [60] nghiên cứu. Tư tưởng phương pháp mà
Lavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉ
giải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộc
liên tục vào vế phải.
Năm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướng
mới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc
tham số
M
α
[x, f
δ
] = ρ
2
(A(x), f
δ
) + αψ(x), (2)
ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có
α(δ) → 0 và điểm cực tiểu x
δ
α
của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một toán tử liên tục và đóng

s
: X → X
∗
,
thỏa mãn điều kiện
U
s
(x), x = xU
s
(x), U
s
(x) = x
s−1
, s ≥ 2.
8
Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng
bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh (xem
[22], [39], [46]), tức là tìm nghiệm x
0
, sao cho
A
j
(x
0
) = f
j
, j = 1, 2, , N, (5)
ở đây, A
j
: X → Y

j
), còn (6) cho ta tính chất
chung của (A
j
, f
j
) và nghiệm của (6) phải thỏa mãn các tọa độ giống
nhau.
Năm 2007, Haltmeier,M. [46] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Landweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) khi f
j
được xấp xỉ bởi f
δ
j
j
, f
δ
j
j
− f
j
 ≤ δ
j
, j = 1, 2, , N, bao gồm phương
pháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặp
nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệu
chỉnh cho một số bài toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn,
bài toán chụp cắt lớp bằng nhiệt
Năm 2008, Hein,T. [48] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ
phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu dựa trên bài toán cực tiểu

, Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
x
δ
về nghiệm x
0
của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán
tử A
j
, j = 1, 2, , N.
Năm 2011, Cezaro,A.D. [38] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Tikhonov với các toán tử A
j
liên tục, khả vi Fréchet trên miền đóng yếu
D
j
, bao gồm phương pháp lặp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) và phương
pháp lặp xoay vòng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK). Phương pháp
này được xây dựng dựa trên cơ sở của phương pháp lặp Levenberg-
Marquardt-Kaczmarz [15] và phương pháp lặp cải tiến Landweber -
Kaczmarz [46].
Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa
về không gian tích thực hiện rất phức tạp khi N lớn. Cụ thể, khi xét sự
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh theo các cách tiếp cận này đòi hỏi phải
thỏa mãn ba điều kiện đặt lên từng toán tử A
j
, bao gồm điều kiện khả
vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận nghiệm
của (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ và điều kiện nguồn trên nghiệm
của (5) (xem [38]). Vì vậy, việc nới lỏng các điều kiện lên các toán tử là

U
2
(x).
Khi A
j
: H → H là các toán tử đơn điệu và h-liên tục, Buong,Ng.,
Thuy,Ng.T.T. [34] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không
tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
A
j
(x) = θ, j = 1, 2, , N, (9)
bằng sơ đồ lặp
x
(k+1)
= x
(k)
− β
k

N

j=1
α
j
k
A
j
(x
(k)
) + α

đối với vấn đề thứ nhất, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh
N

j=1
A
j
(x) −f
δ
j

2
+ αx −x
∗

2
→ min
X
, (11)
11
mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều
kiện của một toán tử A
1
. Trong trường hợp các toán tử A
j
: X → X
là U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ
và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp
hiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương trình
A
1

chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh. Chương 2 giới thiệu các kết
quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
với các toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả
số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp.
Cuối cùng, chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình phi tuyến đối với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
12
không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Các công trình đã công bố có liên quan đến luận án:
[1] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solu-
tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of Math.
Analysis, 3(34), 1693 - 1699.
[2] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Ap-
plied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788.
[3] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with
perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Tech-
nology, 83(7), 73 - 79.
[4] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization
for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Math-
ematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310.
[5] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solution
of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitz
continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo
Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông
tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
[6] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in reg-
ularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations

chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số
phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài toán này.
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng
trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).
Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiền
Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định
một hàm thực hai biến, ký hiệu là x, y và được gọi là tích vô hướng
của x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau:
• Với mọi x, y ∈ X, x, y = y, x;
• Với mọi x, y, z ∈ X, x + y, z = x, z + y, z;
15
• Với mọi x, y ∈ X và số thực β bất kỳ βx, y = β x, y;
• Với mọi x ∈ X, x, x ≥ 0 và x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với hàm x = x, x
1/2
thì X trở thành một không gian định chuẩn.
Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là
không gian đủ.
Cho x và y thuộc không gian tích vô hướng X, khi đó ta có các quy
tắc sau:
• Bất đẳng thức tam giác: x + y ≤ x + y;
• Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: |x, y| ≤ xy;
• Quy tắc hình bình hành: x + y
2
+ x −y
2
= 2x
2

giãn. Dễ thấy, nếu A là toán tử ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số λ
thì A là liên tục Lipschitz với hằng số 1/λ.
Định nghĩa 1.4 (xem [18]) Toán tử T được gọi là giả co chặt trên không
gian Banach X, nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
T x − T y, u(x − y) ≤ x −y
2
− λx −y − (Tx −Ty)
2
,
hay có thể viết dưới dạng
(I − T )x − (I − T)y, u(x −y) ≥ λ(I −T)x − (I − T )y
2
.
Do đó, I −T là ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số λ. Nếu λ = 0, thì
T được gọi là giả co. Nếu T là giả co, thì A := I − T là U− đơn điệu,
và ngược lại, nếu A là U− đơn điệu thì T = I − A là giả co.
Định nghĩa 1.5 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và
S(0, 1) := {x ∈ X : x = 1}.
17
Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn
lim
t→0
x + ty − x
t
tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1). Không gian X có chuẩn khả vi Gâteaux
đều nếu giới hạn trên hội tụ đều với mọi x ∈ S(0, 1). Không gian X
được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ S(0, 1) với x = y, ta có
(1 −λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.6 Tập S trong không gian Banach X được gọi là một
tập lồi, nếu với mọi x, y ∈ S thì {λx + (1 −λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊆ S. Nếu

k
(a
k
) := µ((a
1
, a
2
, )), khi đó µ được gọi là giới hạn
Banach nếu µ thỏa mãn µ = µ
k
(1) = 1 và µ
k
(a
k+1
) = µ
k
(a
k
) với
(a
1
, a
2
, ) ∈ 
∞
.
Với giới hạn Banach µ, ta có
lim inf
k→∞
a

k
−b
k
→ 0, khi k → ∞), ta có µ
k
(a
k
) = µ(a) = c (µ
k
(a
k
) =
µ
k
(b
k
)).
18
Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian Banach, toán tử A với miền xác
định D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
.
• Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu A(x) −A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈
D(A). A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi
x = y.
• Toán tử A được gọi là d-đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không
âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
∀x, y ∈ D(A)
A(x) −A(y), x − y ≥ (d (x) −d (y)) (x −y) .
• Toán tử A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không

∂ϕ(x) = {x
∗
∈ X
∗
: ϕ(y) −ϕ(x) ≥ x
∗
, y −x, ∀y ∈ X}.
Ta có mối liên hệ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn
điệu đều của dưới vi phân của nó như sau:
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach
phản xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều. Nếu D(ϕ) ≡ X thì ∂ϕ
còn là một toán tử h-liên tục tại mọi điểm x ∈ X , tức là:
lim
t→0
∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X.
Đây cũng là khái niệm về tính h-liên tục cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.12 Trong không gian Banach X, dãy {x
n
} được gọi là
một dãy cực tiểu hóa cho bài toán: Tìm x
0
∈ X sao cho f(x
0
) = inf
x∈X
f(x),
nếu lim
n→∞
f(x
n

n
} ⊂ X được gọi là
hội tụ mạnh tới x ∈ X nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là x
n
− x → 0
khi n → ∞.
Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên không gian Banach
X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x
0
, nếu ∀{x
n
} : x
n
 x
0
⇒
20
ϕ(x
0
) ≤ lim inf ϕ(x
n
). Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dưới
yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định của
nó.
Trên đây là các khái niệm, định nghĩa được sử dụng trong các mục
và các chương sau. Mục tiếp theo, chúng tôi trình bày các phương pháp
hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử có tính chất liên tục và đóng
yếu, toán tử có tính chất U− đơn điệu.
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh

n
(x, y) = n
−2
e
ny
sin nx, ở bài
toán này ta dễ thấy u
n
(x, 0),
∂u
n
∂y
(x, 0) → 0 khi n → ∞, trong khi đó
u
n
(x, y) → ∞ khi n → ∞ với mọi y > 0.
Việc tìm nghiệm của phương trình toán tử
Ax = f, f ∈ Y (1.1)
21
cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f, có nghĩa là x = R(f). Ta sẽ coi
nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian
X và Y với các độ đo tương ứng là ρ
X
(x
1
, x
2
) và ρ
Y
(f

1
= R(f
1
), x
2
= R(f
2
); x
1
, x
2
∈ X; f
1
, f
2
∈ Y.
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt
chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có:
1. Với mọi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2. Nghiệm x được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán tìm nghiệm ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
được gọi là bài toán đặt không chỉnh, đôi khi còn gọi là bài toán không
chính quy, hay bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình
với toán tử liên tục và đóng yếu
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử
tuyến tính liên tục (xem [1])
22
Xét bài toán tìm nghiệm x

(M
α
[x])

= 2(A
∗
h
A
h
x −A
∗
h
f
δ
+ αx),
(M
α
[x])

x, x ≥ 2αx
2
.
Vì vậy, phiếm hàm M
α
[x] lồi mạnh, cho nên nó đạt cực tiểu trên một
tập đóng D bất kỳ tại một điểm duy nhất x
η(h,δ)
α
(xem [80]).
Phần tử cực tiểu x

η(h,δ)
α
])

= 0,
23