DỮ LIỆU NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: Hình học Giải tích
(Dùng cho: Đại học sư phạm Toán)
Công thức xác lập đề thi:
Phần tự luận: 1 đề thi (7 điểm) = 1 câu loại 2 điểm + 1 câu loại 2 điểm + 1 câu loại 3 điểm.
Phần trắc nghiệm: 12 câu.
LOẠI CÂU 2 ĐIỂM
Câu 1: Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
). Chứng minh rằng:
1. Một m - phẳng (
m 1≥
) luôn song song với một siêu phẳng hoặc có giao với một siêu phẳng
là một
( )
m 1−
- phẳng.
2. Nếu hai phẳng
α
,
β
cùng song song với phẳng
γ
và
α
cắt
β
thì phẳng

M M M M
+
+ + ∩ + + = ∅L L

với mọi
0 k m 1≤ ≤ −
.
Câu 3: Trong không gian affine thực
3
A
với mục tiêu affine
{ }
1 2 3
O;e ,e ,e
ur uur uur
cho các điểm
0
A (1;1;1)
,
1
A (2;0;0)
,
2
A (1;0;0)
,
3
A (1;1;0)
,
0
A (0;0;0)

2. Tìm công thức đổi mục tiêu từ
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
đến
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
.
Câu 4: Trong không gian affine
n
A

(n 1)≥
với mục tiêu
{ }
1 2 n
O;e ,e , ,e
ur uur uur
K
, cho n điểm độc lập
1 2 n
P ,P , ,PK
. Chứng minh rằng:
1. Có duy nhất một siêu phẳng
α
đi qua n điểm đã cho.

M ,M , ,MK
độc lập. Chứng minh rằng hệ điểm
0 m m 1
M , ,M ,M
+
K
phụ
thuộc khi và chỉ khi với điểm O của
n
A
tuỳ ý thì
m
m 1 i i
i 0
OM OM
+
=
= λ
∑
uuuuuuur uuuuur
với
m
i
i 0
1
=
λ =
∑
và
m+1 0

1 2 n
O;e ,e , ,e
′ ′ ′
ur uur uur
K
(2) là một mục tiêu affine. Viết công thức đổi mục tiêu affine từ (1) sang (2).
Câu 6: Trong không gian affine
n
A
(n 1)≥
, với mục tiêu affine
1 2 n
{O;e ,e , ,e }
ur uur uur
.
1. Cho điểm E sao cho
1 2 n
OE e e e= + + +
uuur ur uur uur
L
. Viết công thức đổi mục tiêu affine từ mục tiêu
1 2 n
{O;e ,e , ,e }
ur uur uur
sang mục tiêu
1 2 2 3 n 1
{E;e e ,e e , ,e e }+ + +
ur uur uur uur uur ur
.
2. Viết phương trình tổng quát của phẳng cho bởi phương trình tham số sau:

uuuur uuuur
K
trong
n
A
, viết phương trình tổng quát và phương
trình tham số của m - phẳng đi qua các điểm
0
S
,
1
S
, ,
m
S
.
Câu 8: Trong không gian affine
n
A
(n 1)≥
cho hai cái phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur
,
β
r

: ( ) ( ) ( )
(M, M ),(N, N ) (M, N); (M , N )
′ ′ ′
Φ × × × → ×
′ ′ ′ ′ ′
ϕ ϕ
A A A A A A
ur uur
a
2. Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
), chứng minh rằng: hệ
m 1+
điểm
0 1 m
M ,M , ,MK
độc lập
khi và chỉ khi từ
m
i i
i 0
OM 0
=
λ =
∑
uuuuur r
và

r
.
Chứng minh rằng:
1. Nếu
α
trực giao với
β
thì chúng có không quá một điểm chung và nếu chúng bù trực giao
thì chúng có một điểm chung duy nhất.
2. Nếu
∆
là đường vuông góc chung của hai phẳng
α
,
β
và giao điểm của
∆
với
α
,
β
lần
lượt là I, J thì
d( , ) d(I,J)α β =
.
Câu 2: Cho E, E' là hai không gian Euclid và
f :
′
→E E
là một ánh xạ. Chứng minh rằng f là ánh

với
i, j 0,1, ,n= K
.
Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
, cho hai tam giác ABC và A'B'C' có
AB A'B'=
,
BC B'C'=
,
AC A 'C'=
. Chứng minh rằng tồn tại phép biến đổi đẳng cự của
2
E
biến tam giác ABC thành tam
giác A'B'C'. Có bao nhiêu phép biến đổi đẳng cự như thế nếu cho tam giác ABC là tam giác cân,
không đều?
Câu 5: Cho hai phẳng
α
và
β
trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
) với không gian vectơ liên kết lần
lượt là
α

( )
2
1 2 m
1 2 m
Gr( , , , ,KQ)
d ,
Gr( , , , )
ε ε ε
α β =
ε ε ε
ur uur uur uuur
K
ur uur uur
K
Câu 6: Trong không gian affine A
n
cho hai phẳng
α
,
β
. Chứng minh rằng:
1. Có phẳng bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa cả
α
,
β
. Nó được gọi là bao affine của
α

và
β

1 1 2 2 n n 0
a x a x a x a 0+ + + + =L
. Viết biểu thức toạ độ của biến đổi đẳng cự biến
điểm M thành điểm M' sao cho
α
là siêu phẳng trung trực của đoạn thẳng MM'.
Câu 8: Trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
) cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D. Chứng minh rằng:
1.
d(A, B) d(B,D) d(D,C) d(C,A) d(A,D) d(B,C)+ + + ≥ +
.
2.
d(A,C).d(B,D) d(A,D).d(B,C) d(A,B).d(C,D)+ ≥
.
Câu 9: Trong không gian Euclid
n
E
(
n 1≥
), cho hai phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur

x z y
q p 1
a c b

   
+ = +
 ÷  ÷

    

   

− = −
 ÷  ÷

   

Gọi d' là hình chiếu vuông góc của d xuống mặt phẳng Oxy, ellipse (E) là giao tuyến của
hyperboloid một tầng với mặt phẳng Oxy. Chứng minh rằng d' là tiếp tuyến của ellipse (E).
Câu 2: Trong không gian Euclid
3
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz cho ellipsoid có
phương trình
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
+ + =

x y z
0
a b c
+ − =
với
(a,b,c 0)>
. Tìm những mặt phẳng có phương trình
dạng
z Ax By C= + +
cắt mặt nón đã cho theo những đường tròn.
Câu 4: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho parabola
2
y 2px=

(
p 0>
) có tiêu điểm là F.
1. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của F xuống các tiếp tuyến của parabola.
2. Gọi AB là dây cung tuỳ ý đi qua tiêu điểm F của parabola. Chứng minh rằng
1 1
FA FB
+
là
một hằng số.
Câu 5: Trong mặt phẳng Euclid
2
E

2
y 2px=
(
p 0>
).
1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của parabola tại điểm
0 0
(x , y )
có phương trình dạng
0 0
y y p(x x )= +
.
2. Chứng minh rằng đường thẳng có phương trình
Ax By C 0+ + =
là tiếp tuyến của parabola
khi và chỉ khi
2
pB 2AC=
.
Câu 8: Trong mặt phẳng Euclid
2
E
với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hyperbola có phương
trình chính tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
− =

E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy, cho ellipse có phương
trình chính tắc
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
(với
a b 0
> >
).
1. Chứng minh rằng tiếp tuyến của ellipse tại điểm
0 0
(x , y )
có phương trình
0 0
2 2
x x y y
1
a b
+ =
.
2. Chứng minh rằng đường thẳng có phương trình
Ax By C 0+ + =
là tiếp tuyến của ellipse
khi và chỉ khi
2 2 2 2 2
a A b B C+ =

β
song song với nhau.
Trường hợp 2:
α ⊄ β
thì do
α
là một m - phẳng (
m 1≥
) nên
α +β =
n
A
, ta áp
dụng định lý số chiều của phẳng ta có:
n m n 1 dim( )= + − − α ∩β
Từ đó suy ra:
dim( ) m 1α ∩β = −
nên
α
cắt
β
theo một (
m 1−
) - phẳng.
0,25
0,25
Nếu
α
và
β

thì phẳng
α ∩β
song song với
γ
.
1,0
Gọi
α
ur
,
β
r
,
γ
r
lần lượt là phương của
α
,
β
,
γ
. Do
α
,
β
cùng song song với phẳng
γ
nên khi đó có các trường hợp sau xảy ra:
Trường hợp 1:


song song với
γ
. 0,25
Trường hợp 3:

γ ⊂ α

⇒ α ∩β ⊂ γ

β ⊂ γ


r ur
ur r r
r r
nên
α ∩β
song song với
γ
. 0,25
Trường hợp 4:

γ ⊂ α

⇒ γ ⊂ α ∩β

γ ⊂ β


r ur

uuuuuur uuuuuur uuuuuur
K
là
hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của hệ
{ }
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur
K
.
Gọi
α
ur
là không gian vectơ sinh bởi hệ
{ }
0 1 0 2 0 k
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuur
K
, gọi
α
là phẳng
đi qua
0
M
có phương là
α
ur
. Khi đó
α

=
=
∑
uuuuuur uuuuuur

với mọi
i k 1, ,m= + K
và do đó
0 i
M M ∈α
uuuuuur ur
với mọi
i k 1, ,m= + K
. Do đó ta
suy ra
k 1 m
M , ,M
+
K
cũng thuộc
α
.
Giả sử
′
α
là phẳng có phương
′
α
uur
chứa các điểm đã cho, khi đó

0,25
0,25
0,25
2
2
.
Chứng minh rằng nếu hệ điểm đã cho độc lập thì
( )
( )
L L
0 k k 1 m
M M M M
+
+ + ∩ + + = ∅
với mọi
0 k m 1
≤ ≤ −
.
0,5
Nếu
( ) ( )
0 k k 1 m
M M M M
+
+ + ∩ + + ≠ ∅L L
thì tồn tại điểm M thuộc cả hai
phẳng đó, tức là:
k
0 i 0 i
i 1

x M M x 1 M M x M M 0
+
= = + = +
 
+ − − =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
uuuuuur uuuuuuuur uuuuuur r
Do đó hệ vectơ
{ }
0 1 0 2 0 m
M M ,M M , ,M M
uuuuuur uuuuuur uuuuuuur
K
phụ thuộc tuyến tính (trái với giả
thiết). Nên
( ) ( )
0 k k 1 m
M M M M
+
+ + ∩ + + = ∅L L
.
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
1.
Chứng minh rằng
( )
0 0 1 0 2 0 3

=
uuuuur
,
0 2
A A (2;0;1)
′ ′
=
uuuuur
,
0 3
A A (1;0;1)
′ ′
=
uuuuur
. Từ đó ta tính được:
1 1 1
0 1 1 1 0
0 0 1
− −
− − = ≠
−
suy ra hệ
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
độc lập tuyến tính nên
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A

A ;A A , A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
.
1,0
Trước hết ta có:
0 0
A A ( 1; 1; 1)
′
= − − −
uuuuur
.
Giả sử
0 1
A A (a;b;c)
′ ′
=
uuuuur
đối với cơ sở
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
. Khi đó:
0 1 0 1 0 2 0 3
A A aA A bA A cA A
′ ′
= + +
uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur
(1;1;0) a(1; 1; 1) b(0; 1; 1) c(0;0; 1)⇒ = − − + − − + −

= − −
uuuuur
,
0 3
A A (1; 1; 1)
′ ′
= − −
uuuuur
đối với cơ sở
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
.
Vậy ma trận đổi cơ sở từ
{ }
0 1 0 2 0 3
A A , A A ,A A
uuuuur uuuuur uuuuur
sang
( )
0 0 1 0 2 0 3
A ;A A ,A A ,A A
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
uuuuur uuuuur uuuuur
là:
1 2 1
C 2 2 1
1 1 1
 

Do hệ điểm đã cho độc lập nên hệ vectơ
{ }
1 2 1 3 1 n
P P ,P P , ,PP
uuuur uuur uuuur
K
độc lập tuyến tính
trong
n
A
uuur
.
Gọi
α
ur
là không gian vectơ con của
n
A
uuur
có cơ sở là hệ vectơ
{ }
1 2 1 3 1 n
P P ,P P , ,PP
uuuur uuur uuuur
K
,
α
là phẳng đi qua
1
P

nên
0 1 0 n
P P , ,P Pβ = = α
r uuuur uuuur ur
K
. Từ đó suy ra rằng
α = β
.
Vậy có duy nhất một siêu phẳng
α
đi qua n điểm đã cho.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
2
.
Nếu
i i i
OP a e=
uuur ur
với
i
a 0≠
và
i 1,2, ,n= K
thì phương trình của siêu phẳng
α
có thể viết dưới dạng

α
dạng:
1 2 n 0
A x A x A x A 0+ + + + =L
với
2 2 2
1 2 n
A A A 0+ + + ≠L
.
Vì
i
P ∈α
nên toạ độ của P
i
phải thoả mãn phương trình của
α
, hay:
1 1 0
A a A 0+ =
,
2 2 0
A a A 0+ =
,…,
n n 0
A a A 0+ =
Suy ra:
0
1
1
A

0
A 0≠
.
Thay
0
1
1
A
A
a
= −
,
0
2
2
A
A
a
= −
,…,
0
n
n
A
A
a
= −
vào phương trình ta được:
0 0 0
0

M , ,M ,M
+
K
phụ thuộc khi và chỉ khi với điểm O của
n
A
tuỳ ý thì
m
m 1 i i
i 0
OM OM
+
=
= λ
∑
uuuuuuur uuuuur
với
m
i
i 0
1
=
λ =
∑
và
m+1 0
M M≠
.
⇒
) Giả sử hệ

= + +
 ÷
 
∑ ∑
uuuuuuur uuuuur uuuuur uuuur
⇒
m m
m 1 i 0 i i
i 1 i 1
OM 1 t OM t OM
+
= =
 
= − +
 ÷
 
∑ ∑
uuuuuuur uuuuur uuuur
Đặt:
m
0 i i i
i 1
1 t ; t (i 1, 2, ,m)
=
λ = − λ = =
∑
K
. Ta có điều phải chứng minh.
⇐
) Ngược lại, giả sử

uuuuur uuuuuuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuuur
Suy ra
m
0 m 1 i 0 i
i 1
M M M M
+
=
= λ
∑
uuuuuuuur uuuuuur
, hay hệ
{ }
0 1 0 m 1
M M , ,M M
+
uuuuuur uuuuuuuur
K
phụ thuộc tuyến tính
và do đó hệ
0 m m 1
M , ,M ,M
+
K
phụ thuộc.
0,25
0,25
0,25
0,25
5

O;e ,e , ,e
′ ′ ′
ur ur uur
K
(2) là một mục tiêu affine. Viết công thức
đổi mục tiêu affine từ (1) sang (2).
1,0
Từ giả thiết ta có:
1
e (1;0; ;0)
′
=
ur
K
,
2
e (1;1;0; ;0)
′
=
uur
K
, ,
n
e (1;1; ;1)
′
=
uur
K
.
Mặt khác ta lại có

C

0 0 1
 
 ÷
 ÷
=
 ÷
 ÷
 
Hay công thức đổi mục tiêu là
1 1 2 n
2 2 n
n n
x x x x
x x x

x x
′ ′ ′
= + + +


′ ′
= + +




′
=

nên điểm E có toạ độ là
E(1;1; ;1)
.
Đặt
i i i 1
e e e
+
′
= +
ur ur uuur
,
(i 1, ,n 1)= −
,
n n 1
e e e
′
= +
uur uur ur
. Thì ta có:
1
e (1;1;0; ;0)
′
=
ur
,
2
e (0;1;1; ;0)
′
=
uur

x x x 1

x x x 1
−
′ ′
= + +


′ ′
= + +




′ ′
= + +

0,25
0,25
0,25
0,25
6
2
.
Viết phương trình tổng quát của phẳng cho bởi phương trình tham số … 1,0
Từ phương trình tham số của phẳng ta giải hệ theo ẩn
i
t
:
1 2 3 1

1
t (x 3x x )
3
= + −
Thay các tham số vừa tính được vào phương trình 4 và 5 ta được:
4 1 2 3 1 2 3 3 2
5 1 2 3 1 2 3 3 2
1 1
x (x 3x x ) (x 3x 2x ) 2(x x )
3 3
1 1
x 3 (x 3x x ) (x 3x 2x ) 4(x x )
3 3

= + − − − + + −




= − + − + − + + −


3 4
1 2 3 5
x x 0
2x 24x 17x 3x 0
− =

⇔


không, phụ thuộc vào
u ∈A
r ur
.
Lấy hai vectơ khác không tuỳ ý
u, v
r r
của
A
ur
mà
u< >
r
và
v< >
r
là phương của
hai đường thẳng bất kỳ không song song với nhau.
Khi đó: hệ
{ }
u, v
r r
độc lập tuyến tính và
f (u) ku , f(v) tv, f (u v) (u v)= = + = µ +
r r r r r r r r r r r
Mặt khác
f (u v) f (u) f (v) ku tv+ = + = +
r r r r r r r r r
⇒
u v ku tv k tµ + µ = + ⇒ = = µ

ta đều có
f (u) ku=
r r r
, với
k 0
≠
tuỳ ý nào đó và không phụ
thuộc vào
u ∈A
r ur
. Nên
A
f kId=
uur
r
.
Vậy với
k 1=
thì f là phép tịnh tiến, còn nếu
k 1≠
thì f là phép vị tự.
0,25
0,25
0,25
7
2
.
Cho mục tiêu affine
{ }
0 0 1 0 n

i
S
có
toạ độ là:
{
i
i
S (0; ;0; 1 ;0; ;0)K K
,
i 1,2, ,n= K
và điểm
0
S (0; ;0)K
.
Khi đó ta có phương trình tham số của phẳng đi qua các điểm
0
S
,
1
S
, ,
m
S
là:
i i
j
x t i 1, ,m
x 0 j m 1, , n
= =


Câu Ý Nội dung Điểm
1. Nếu
α ∩β ≠ ∅
thì
dim( ) dim dim dim( )α+β = α + β − α ∩β
.
1,0
Nếu
α ∩β ≠ ∅
thì giao
α ∩β
là cái phẳng có phương là
a ∩β
r r
. Ta lấy điểm I
thuộc
α ∩β
và gọi
γ
là cái phẳng đi qua I có phương là
γ = α +β
r ur r
.
Do
γ ⊃ α
r ur
,
γ ⊃ β
r r
và

′
γ
chứa
γ
. Từ đó suy ra
γ = α +β
.
Vậy:
dim( ) dim dim dim( )α +β = γ = γ = α +β =
r ur r
dim dim dim( ) dim dim dim( )= α + β − α ∩β = α + β − α ∩β
ur r ur r
0,25
0,25
8 2. Nếu
α ∩β = ∅
thì
dim( ) dim dim dim( ) 1α + β = α + β− α ∩β +
ur r
1,0
Nếu
α ∩β = ∅
thì có điểm I thuộc
α
, có điểm J thuộc
β
sao cho
IJ∉α+β
ur ur r
. Gọi

γ
đi qua điểm E và phương của nó
phải chứa cả
α
ur
,
β
r
và
δ
r
. Từ đó suy ra
′
γ
chứa
γ
và do đó
γ = α +β
.
Vậy:
( )
dim( ) dim dim dim ( )α +β = γ = γ = α +β ⊕ δ =
r ur r r
dim( ) dim dim dim dim( ) 1
dim dim dim( ) 1
= α +β + δ = α + β − α ∩β + =
= α + β − α ∩β +
ur r r ur r ur r
ur r
0,25

′ ′
∈ ×A A
r ur ur uur
thì theo giả thiết ta có:
Trong A có duy nhất điểm N sao cho
(M, N) uϕ =
r
.
Trong A' có duy nhất điểm N' sao cho
(M , N ) u
′ ′ ′ ′
ϕ =
ur
.
0,25
Tức là trong
′
×A A
có duy nhất cặp
(N, N )
′
sao cho:
( ) ( )
(M, M ),(N, N ) (M, N), (M , N ) (u,u )
′ ′ ′ ′ ′ ′
Φ = ϕ ϕ =
r ur
ii) Lấy tuỳ ý ba cặp
(M, M )
′

.
Trong không gian affine
n
A
(
n 1≥
), chứng minh rằng: hệ
m 1+
điểm
0 1 m
M ,M , ,MK
độc lập khi và chỉ khi từ
m
i i
i 0
OM 0
=
λ =
∑
uuuuur r
và
m
i
i 0
0
=
λ =
∑
ta suy
ra được

{ }
0 1 0 m
M M , ,M M
uuuuuur uuuuuuur
K
độc lập tuyến tính
nên
1 m
0λ = = λ =L
, lại do
m
i
i 0
0
=
λ =
∑
nên
0
0λ =
.
Ngược lại, giả sử ta có
m
i 0 i
i 1
t M M 0
=
=
∑
uuuuuur r

K
độc lập tuyến tính
0,25
0,25
0,25
0,25
LOẠI CÂU 2 ĐIỂM
Câ
u
Ý Nội dung
Điểm
1.
Nếu
α
trực giao với
β
thì chúng có không quá một điểm chung và nếu
chúng bù trực giao thì chúng có một điểm chung duy nhất.
1,0
Giả sử hai phẳng
α
,
β
trực giao. Nếu có hai điểm M, N thuộc vào
α ∩β
thì
0,25
khi đó ta suy ra
MN.MN 0=
uuuur uuuur

1 2.
Nếu
∆
là đường vuông góc chung của hai phẳng
α
,
β
và giao điểm của
∆
với
α
,
β
lần lượt là I, J thì
( , ) ( , )=d d I Jα β
.
1,0
Với mọi
M
∈α
,
N∈β
ta có:
MN MI IJ JN= + +
uuuur uuur ur uur
Từ đó suy ra:
2 2 2
MN MI IJ JN MI JN IJ 2IJ(MI JN)= + + = + + + +
uuuur uuur ur uur uuur uur ur ur uuur uur
0,25

→
là ánh xạ trực giao có ánh xạ liên kết
f : E E
′
→
r ur uur
là ánh xạ
tuyến tính trực giao, nên
f
r
bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ bất kỳ. Nên
nếu với mọi M, N thuộc E thì:
d(M, N) MN f (MN) f(M)f (N) d(f (M),f(N))= = = =
uuuur r uuuur uuuuuuuuuur
.
Giả sử ngược lại
f : E E
′
→
là ánh xạ bảo tồn khoảng cách giữa các điểm.
Lấy
I E∈
đặt
I f(I)
′
=
và xét ánh xạ
f : E E
′
→

uuuuuuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuur uuuuuuur
(**)
Do
d(I, N) d(I ,f (N)) , d(I,M) d(I ,f (M)) , d(M, N) d(f (M),f (N))
′ ′
= = =
nên
từ (*), (**) ta suy ra:
IM.IN I f (M).I f(N) . f( ).f ( )
′ ′
= ⇒ αβ = α β
uuuruur uuuuuuur uuuuuur ur r r ur r r
. Vậy
f
r
bảo toàn tích vô hướng.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
Cho
n n
f :E E→
là một biến đổi affine của không gian Euclid
n

f : E E→
là một biến đổi affine liên kết với biến đổi tuyến tính
n n
f : E E→
uur uur
r
. Nếu f là biến đổi đẳng cự thì với mọi cặp điểm
i
A
,
j
A
của
n
E
ta
đều có:
i j i j i j i j i j i j
d(A ,A ) d(f (A ),f (A )) f (A )f (A ) f (A A ) A A d(A ,A )
′ ′
= = = = =
uuuuuuuuuuur r uuuuur uuuuur
Ngược lại,
0 1 n
A ,A , ,AK
là
n 1+
điểm độc lập của
n
E

) thì hệ vectơ
{ }
1 n
e , ,e
ur uur
K
và hệ vectơ
{ }
1 n
e , ,e
′ ′
ur uur
K
là những cơ sở của
n
E
uur
.
Đồng thời
i i
e e
′
=
ur ur
và
·
( )
· ·
·
( )

 
′
= = =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
r r r ur r ur ur
n n n
j j j j j j
j 1 j 1 j 1
f (y) f y e y f(e ) x e
= = =
 
′
= = =
 ÷
 
∑ ∑ ∑
r r r ur r ur ur
Mặt khác:
·
( )
·
( )
i j i j i j i j i j i j
e .e e e cos e ,e e e cos e ,e e .e
′ ′ ′ ′ ′ ′
= = =
urur ur ur ur ur ur ur ur ur urur
Nên:

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu Ý Nội dung Điểm
Trong mặt phẳng Euclid
2
E
, cho hai tam giác ABC và A'B'C' có
AB A'B'=
,
BC B'C'
=
,
AC A'C'
=
. Chứng minh rằng tồn tại phép biến đổi đẳng cự của
2
E
biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Có bao nhiêu phép biến đổi
đẳng cự như thế nếu cho tam giác ABC là tam giác cân, không đều?
2,0
4
Trong
2
E
các điểm A, B, C không thẳng hàng nên các vectơ
AB

biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' liên kết với biến đổi tuyến tính
f
r
của
2
E
uur
mà
f (AB) A B
′ ′
=
r uuur uuuur
,
f (AC) A C
′ ′
=
r uuur uuuur
.
Ta sẽ chứng minh
f
r
là ánh xạ trực giao.
Với mọi
2
1 2 1 2
x E x x AB x AC f(x) x f (AB) x f(AC)∈ ⇒ = + ⇒ = +
uur
r r uuur uuur r r r uuur r uuur
2 2
2 2 2

Do đó:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
f (x) x A B x A C 2x x A B .A C x AB x AC 2x x AB.AC
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
= + + = + + =
r r uuuur uuuur uuuuruuuur uuur uuur uuuruuur
( )
2
2
1 2
x AB x AC x= + =
uuur uuur r
Từ đó suy ra
f (x) x=
r r r
vậy
f
r
là ánh xạ trực giao.
Nếu tam giác ABC là tam giác cân không đều thì có hai phép biến đổi đẳng cự
biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Đó là phép đẳng cự biến A, B, C lần
lượt thành A', B', C' và phép đẳng cự biến A, B, C lần lượt thành A', C', B'.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

và
β
có thể tính theo công thức:
( )
2
1 2 m
1 2 m
Gr( , , , ,KQ)
d ,
Gr( , , , )
ε ε ε
α β =
ε ε ε
ur uur uur uuur
K
ur uur uur
K
1,5
Giả sử
α
,
β
là hai phẳng không có điểm chung, có phương lần lượt là
α
ur
,
β
r
, gọi
{ }

d( , ) QHα β =
uuur
Mặt khác
KQ KH HQ , KH= + ∈α+β
uuur uuur uuur uuur ur r
nên ta có:
1 m 1 m
1 m 1 m
Gr( , , ,KQ) Gr( , , ,KH HQ)
Gr( , , ,KH) Gr( , , ,HQ)
ε ε = ε ε +
= ε ε + ε ε
ur uur uuur ur uur uuur uuur
K K
ur uur uuur ur uur uuur
K K
Suy ra
2
1 m 1 m 1 m
Gr( , , ,KQ) Gr( , , ,QH) QH Gr( , , )ε ε = ε ε = ε ε
ur uur uuur ur uur uuur uuur ur uur
K K K
Vậy
2
2
1 m
1 m
Gr( , , ,KQ)
d ( , ) QH
Gr( , , )

α
,
β
không rỗng, vì có không gian tổng là
cái phẳng chứa chúng.
Gọi
γ
là giao của tất cả những phẳng chứa cả
α
,
β
, tức là:
i
i I∈
γ = ∩ γ
,
i
γ
chứa cả
,α β
.
Gọi
i
γ
ur
là phương của phẳng
i
γ
, thì
γ

Gọi không gian vectơ chỉ phương của
α
,
β
, bao affine của
α
và
β
theo thứ
tự là
α
ur
,
β
r
,
γ
r
. Khi đó:
α ∩β ≠ ∅ ⇔ γ = α+ β
r ur r
1,0
Giả sử
α ∩β ≠ ∅
, khi đó
α ∩β
là cái phẳng có phương là
α ∩β
ur r
.

,
β
r
nên
'γ
ur
chứa
γ
r
. Đồng thời
γ
và
'γ
cùng đi qua điểm I nên
'γ ⊃ γ
. Nên
γ
là bao affine của
α
,
β
.
Ngược lại, nếu
γ = α +β
r ur r
, lấy điểm
I
∈α
,
J ∈β

) với hệ toạ độ Descartes vuông góc, cho
siêu phẳng
α
có phương trình
1 1 2 2 n n 0
a x a x a x a 0+ + + + =L
. Viết biểu thức toạ
độ của biến đổi đẳng cự biến điểm M thành điểm M' sao cho
α
là siêu phẳng
trung trực của đoạn thẳng MM'.
2,0
7
Giả sử điểm
1 n
M(m ; ;m )K
biến thành điểm
1 n
M (m ; ;m )
′ ′ ′
K
qua phép đối xứng trực
giao qua
α
. Khi đó đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
α
có phương trình dạng:
1 1 1
n n n
x m a t

i 1
a m a
I m a
a

a m a
I m a
a
=
=
=
=

 
+

 ÷

 ÷
= + −

 ÷
 ÷

 




 

 
L
hay
i i i
m 2I m
′
= −
(với
i 1,n=
) nên ta có:
·
2
i i
i i 1 1 i i n n 0
n n
2 2
i i
i 1 i 1
1 2a 2a
m m (a m a m a m a )
a a
= =
−
′
= − + + + + +
∑ ∑
L L
với
i 1,n=
. Kí hiệu

a
=
= −
∑
;
i 0
i
n
2
i
i 1
2a a
c
a
=
= −
∑
;
ij
C (c )=
;
1 n
c col(c c )= L
Thì biểu thức toạ độ của phép đối xứng trực giao qua
α
là:
x Cx c
′
= +
0,25

d(A, B) d(B,D) d(D,C) d(C,A) d(A,D) d(B,C)+ + + ≥ +
0,25
0,25
0,25
0,25
8 2.
d(A,C).d(B,D) d(A,D).d(B,C) d(A,B).d(C,D)+ ≥
. 1,0
Trên các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm
B',C',D'
sao cho
AB.AB' ACAC' ADAD' k (k 0)= = = ≠
uuuruuuur uuuruuuur uuuruuuur
không đổi. Khi đó:
Từ
AB.AB' ACAC'=
uuuruuuur uuuruuuur
ta suy ra tứ giác BB'C'C nội tiếp đường tròn từ đó ta có
tam giác ABC đồng dạng với tam giác AB'C' hay
k
BC AB AC AC.AC'
AB
B'C' AC' AB' AB' AB'
= = ⇒ = =
.
Ta có:
k AC k BC k BC
AB.AC B'C'
AB' B'C' AB.AC
= = ⇒ =

) cho hai phẳng
α
,
β
có phương lần lượt là
α
ur
,
β
r
. Chứng minh rằng nếu
α
,
β
không có điểm chung thì chúng có đường
vuông góc chung và đường vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi
{ }
0α ∩β =
ur r r
2,0
9
Gọi
γ
r
là không gian con bù trực giao với tổng
α +β
ur r
, nghĩa là
n
E ( )

α
còn J thuộc
β
.
Vì
IJ IP PQ QJ x PQ y PQ x y IJ= + + = − + − ⇒ = + +
ur uur uuur uur r uuur r uuur r r ur
. Vậy
IJ∈ γ
ur r
, nghĩa là
IJ ⊥ α
ur ur
và
IJ ⊥ β
ur r
.
Vì
α
và
β
không có điểm chung nên I không trùng với J, như vậy đường thẳng
IJ là đường vuông góc chung của hai phẳng
α
và
β
.
Nếu ngoài đường thẳng IJ còn có đường thẳng I'J' là đường vuông góc chung của
α
và

0,25
0,25
LOẠI CÂU 3 ĐIỂM
Câu Ý Nội dung Điểm
Trong không gian Euclid
3
E
với hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. Cho
hyperboloid một tầng:
2 2 2
2 2 2
1+ − =
x y z
a b c
và một họ đường sinh thẳng d có
phương trình
1
1

   
+ = +
 ÷  ÷

    

   

− = −
 ÷  ÷


M (E)∈
. Nên
2 2
0 0
2 2
x y
1
a b
+ =
và
0 0
0 0
x y
p q 1
a b
x y
q p 1
a b

 
= +
 ÷

  

 

= −
 ÷


 
uur
. Nên
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
α
chứa d và vuông góc với Oxy là
2 2
2pq p q
n ; ;0
a b
α
 
−
=
 ÷
 
uur
. Khi đó phương trình của
α
là:
2 2 2 2
0 0
2pq p q 2pq p q
x y x y
a b a b
− −
+ = +
, thay p và q ở trên vào phương trình
đồng thời sử dụng điều kiện
2 2


.
Mặt khác phương trình của (E) là
2 2
2 2
x y
1
a b
z 0

+ =



=

. Nên
d
′
là tiếp tuyến của (E) tại M
0
.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25