CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

* PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của
hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có
tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (3,0 điểm)
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
- Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Bài toán tổng hợp.
Câu III (1,0 điểm)
Hình học không gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay;
tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu và thể
tích khối cầu.

* PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh học chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2).
Theo chương trình Chuẩn
Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng
và mặt cầu.
Câu V.a (1,0 điểm)
- Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức; căn bậc hai của số thực âm; phương
trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.

π

(
0
30
)
4
π

(
0
45
)
3
π

0
(60 )

2
π

0
(90 )

2
3
π

(

1
2

2
2

3
21
3
2

2
2

1
20

cos

1
3
2

2
||

3
−-1
3
3
−0

cot

||

31
3
30
3

+
+ = ≠ + ∈
−
−
− = ≠
+




 ℤ

a b a b a b
a b a b a b
a b a b b a
a b a b b a
a b
a b a b k k
a b
a b
a b a b
a b
, )
2
π
π
+ ∈
ℤ
k k


2
a a
a a
a
a
a
+ −
= =
+
−
=
 


4. Công thức biến đổi tích thành tổng

[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b

a a a k
π
π
π
π
+ =
+ = ≠ + ∈
+ = ≠ ∈
= ≠ ∈

 ℤ
 ℤ
 ℤ

5. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
sin( )
tan tan
cos cos
sin( )
cot cot
cos cos




IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG
2 2 2 2
2
3 3
sin cos 2 sin 2
4 4
cos4x = 2cos 2 1 1 2sin 2 2 sin 2
(sinx cosx) 1 sin 2
1
sin cos (sin cos ) 1 sin 2
2
π π
   
+ = + = −
   
   
− = − = −
± = ±
 
+ = + −
 
 




x x x cos x




III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Phương trình sinx = a

Phương trình cosx = a
2
sin sin ;
2
α π
α
π α π

= +
= = ⇔ ∈

= − +

ℤ
x k
x a k
x k


= − +

ℤ
x k
co x a co k
x k
2
;
2
π
π

= +
= ⇔ ∈

= − +

ℤ
x arccosa k
cosx a k
x arccosa k

Phương trình tanx = a
(
Đ
K:
π

= ⇔ = + ∈
ℤ
x a x a k k
cot t ;
α α π
= = ⇔ = + ∈
ℤ
x a co x k k
cot cot ;
π
= ⇔ = + ∈
ℤ
x a x arc a k kIV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình asinx + bcosx = c
asinx + bcosx = c
2 2
sin( )
a b x c
α
⇔ + + =
. Trong

cos 0
x
≠
, chia c
ả
2 v
ế
c
ủ
a ph
ươ
ng trình cho
2
cos x
, ta
đượ
c:
2 2
tan (1 tan )
a x btanx c d x
+ + = +BẢNG ĐẠO HÀM


'
( )
x
α

x


(sinx)’ = cosx

(cosx)’ = - sinx

(tanx)’ =
2
1
cos
x


(cotx)’ =
2
1
sin
x
−



'
( )
u
α
=
1
. '.



(sinu)’ = u’.cosu

(cosu)’ = -u’.sinu

(tanu)’ =
2
'
cos
u
u


(cotu)’ =
2
'
sin
u
u
−

'
)(
x
e
= e

e
= u’.e
u



'
)(
u
a
= u’.a
u
.lna

(ln| u |)’ =
u
u'


(log
a
| u |)’ =
a
u
u
ln
'


2
. .
'
( )
ax b a d b c
y y
cx d cx d
+ −
= ⇒ =
+ +

Chng I KHO ST V V TH HM S

I. KHO ST V V TH HM S BC 3, BC 4
1. Cỏc bc kho sỏt
- Tp xỏc nh: D = R ;
- Tớnh o hm y, gii phng trỡnh y = 0 v tỡm cỏc im cc tr ;
- Tớnh cỏc gii hn
lim
x
y

;
lim
x
y


3. Cỏc vớ d
Hm s bc ba Hm s bc bn
Vớ d : Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
3 2
3 4
y x x
= +

Gii
* Taọp xaực ủũnh: D = R
* o hm:
2
' 3 6 3 ( 2)
y x x x x
= + = +

Cho
0 4
' 0 3 ( 2) 0
2 0
x y
y x x
x y
= =

= + =

= =


Cho
2
1 4
' 0 4 ( 1) 0
0 3
x y
y x x
x y
= =

= =

= =


* Gii hn:
lim
x
y

= +
;
lim
x
y
+
= +

* Baỷng bieỏn thieõn:


+ Cho
1 0
x y
= ⇒ =
.
+ Cho
3 4
x y
= − ⇒ = −
.

x
−∞
-1 0 1 +
∞

y’ - 0 + 0 - 0 +
y
+∞
-3
+∞ -4 -4
* Nhận xét:
+ HS đồng biến trên
( 1;0)
−
và
(1; )

.

II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
ax b
y
cx d
+
=
+
,
d
x
c
 
 
 
≠ −

Các bước khảo sát Ví dụ
* TXĐ: D =
\
d
R
c
 
 
 
−
.


⇒
Tiệm cận đứng:
d
x
c
= −
.

lim
x
a
y
c
→+∞
=
,
lim
x
a
y
c
→−∞
=

⇒
Tiệm cận ngang: y =
a
c
.
* Lập bảng biến thiên:

x D
∀ ∈
.
* Giới hạn, tiệm cận:
+ Vì
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞
nên TCĐ: x = 1.
+ Vì
lim 1
x
y
→±∞
=
nên tiệm cận ngang là y = 1.
* Bảng biến thiên:
x
−∞
1 +
∞

y’ - -
y
1
+∞

0 1
x y
= ⇒ = −
.
+ Cho
0 1
y x
= ⇒ = −
. BÀI TẬP
Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
3 2
3 1
y x x
= + −

2.
3 2
3 1
y x x
= − +

3.
3 2
3
y x x
= +


9.
3 2
3 1
y x x
= − + −

10.
3
3 2
y x x
= − + −

11.
3 2
3 2
= − − +
y x x

12.
3 2
3 4
= − + −
y x x

13.
3 2
6 9 1
= − + −
y x x x

2 2
y x x
= − −

6.
4 2
2 1
y x x
= − +7.
4
2
3
2 2
x
y x
= − −

8.
4 2
4
y x x
= − +Bài tập 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1.
1

1
x
y
x
−
=
+

5.
3
1
x
y
x
+
=
−

6.
3 1
1
x
y
x
+
=
−7.

2 1
2
x
y
x
− +
=
+

11.
2 1
2
x
y
x
+
=
−

12.
2
1
x
y
x
+
=
+

13.

∆ = −
. Khi
đ
ó:

- Nếu
0
∆ <
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
.
- Nếu
0
∆ =
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x
∈
ℝ
, trừ
2
b
x
a
= −
.
- N
ế
u
0
∆ >

+
∞

f(x)

cùng d
ấ
u a 0 trái d
ấ
u a 0 cùng d
ấ
u a
2. Định giá trị của m
Đối với hàm bậc 3
3 2
y ax bx cx d
= + + +
(
0
a
≠
)
- T
ậ
p xác
đị
nh: D = R

-
Đạ

 
−
 
 
.
Đạ
o hàm:
2
. .
'
( )
a d b c
y
cx d
−
=
+

y
đồ
ng bi
ế
n trên D

' 0
y
⇔ ≥
,
x D
∀ ∈

⇔

∆ ≤

a

y
đồ
ng bi
ế
n trên t
ừ
ng
kho
ả
ng c
ủ
a D
' 0
⇔ >
y
,
x D
∀ ∈0
⇔ − >
ad bc


ố

3 2
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m
= + + + − +

đồ
ng bi
ế
n trên
t
ậ
p xác
đị
nh.
Giải.
T
ậ
p xác
đị
nh: D = R
2
' 2 6
y x mx m
= + + +
có
' 2


= >

⇔ − < <

− − <


a
m
m m
.
Ví dụ: Đị
nh m
để
hàm s
ố

(2 1) 3
m x
y
x m
− +
=
+

đồ
ng
bi
ế

Đ
thì
2
1
' 0 2 3 0
3
2
< −


> ⇔ − − > ⇔

>

m
y m m
m
.
BÀI TẬP

1.
Cho hàm s
ố

3 2
( 2) ( 1) 2
= + + − − −
y x m x m x
(1).
Đị

hàm s
ố
(1)
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
3.
Cho hàm s
ố

2 3 2
1
( 1)
3
( 1) 2 1
−
= + − − +
m
y x m x x
(1).
Đị
nh m
để


( ; )

a b

* Tớnh cỏc giỏ tr
1 2
( ), ( ), ( ), ( )
y a y b y x y x
* Tỡm s ln nht M v s nh nht m trong cỏc s
trờn, ta cú:
max
[ ; ]
=
y M
a b

min m
[ ; ]
=
y
a b

Vớ d.
Tỡm GTLN v GTNN c

a hm s


3 2



* Ta cú y(-1) = -2 ; y(0) = 2 ; y(1) = 0
* V

y:
max 2
[ 1;1]
=

y

t

c t

i x = 0.

min 2
[ 1;1]
=

y

t

c t

i x = -1.
BI TP


n 1).
3.
Tỡm GTLN, GTNN c

a hm s


3 2
2 6 1
y x x
= +
trờn

o

n [-1 ; 1] (TN THPT 2008 L

n 2).
4.
Tỡm GTLN, GTNN c

a hm s


3 2
1
2 3 7
3
= +

y x e
trờn

o

n [3 ; 3].
7.
Tỡm GTLN, GTNN c

a hm s


2
x
y x e
=
trờn

o

n [-1 ; 0]. BI TON 3: Phng trỡnh tip tuyn ca th hm s

Ph

ng trỡnh ti

p tuy

0
'( )
k f x
=
l: Cỏc bi toỏn thng gp:
L

p ph

ng trỡnh ti

p tuy

n v

i

th

hm s

(C): y = f(x).
1.
T

i


(
0
x
) t

ng

ng.
Lu ý:
+ T

i giao c

a

th

(C) v

i tr

c tung: Ta cú x
0
= 0.
+ T

i giao c

a


t



ú tỡm

c
0
y
.
3.
Bi

t ti

p tuy

n

ú song song v

i

ng th

ng (d) y = ax + b.
Cỏch gii:
Vỡ ti

p tuy


n

ú vuụng gúc v

i

ng th

ng (d) y = ax + b.
Cỏch gii:
Vỡ ti

p tuy

n vuụng gúc v

i d nờn k.a = -1 t



ú suy ra

c k, t

ph

ng trỡnh
0 0 0 0
( ) '( )( )

y
x
=
+
.
1. Theo đề bài ta có x
0
= -1
⇒
y
0

( 1) 2
= − = −
y
. Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = 3.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + 2 = 3(x + 1) hay y = 3x + 1.
2. Theo đề bài ta có y
0
= 2
0
0 0 0
0
1
2 1 2( 2) 5
2
x
x x x
x
−

x
x
x
. Mặt khác hệ số góc k = y’(1) =
1
3
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – 0 =
1
3
(x - 1) hay y =
1
3
x -
1
3
.
4. Theo đề bài ta có x
0
= 0
⇒
y
0
= -
1
2
. Mặt khác hệ số góc k = y’(0) =
3
4
.

9
1
2
y x
= +
.
Giải
2
2
'
( 1)
y
x
−
=
−
.
1. Theo đề bài ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
0
2
'( ) 2 2 ( 1) 1 2 0
2
( 1)
x

0
1
'( )
2
y x
= −
.
Ta có
0
2 2
0 0 0 0
2
0
0
3
1 2 1
'( ) ( 1) 4 2 3 0
1
2 ( 1) 2
=

−
= − ⇔ = − ⇒ − = ⇒ − − = ⇒

= −
−

x
y x x x x
x

y x
− = − +
hay
1 1
2 2
y x
= − +
.
3. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
9
2
y x
=
nên tiếp tuyến có hệ số góc k =
0
2
'( )
9
y x
= −
.
Đến đây làm tương tự câu 2.
Đáp án: Có 2 tiếp tuyến thoả mãn là
2 32
9 9
y x= − +
và
2 8
9 9
y x

−
=
+
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008).
4. Cho HS
2 1
2
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -5 (TN
THPT 2009).
5. Cho HS
4 2
1 3
3
2 2
= − +
y x x
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
6. Cho HS
2 3
1
−
=
−
x

m y
>


<

: (1) có 1 nghiệm.
*
CD
CT
m y
m y
=


=

: (1) có 2 nghiệm.
*
CT CD
y m y
< <
: (1) có 3
nghiệm. *
CT
m y
<

3
3 1 0
x x m
− + − =
.
Giải
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số:
(học sinh tự làm).
* Đồ thị:
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số
4 2
2 1
= − −
y x x
. Dựa vào đồ thị (C), biện
luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2
2 1 0
− − + =
x x m
.
Giải
* Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số:
(học sinh tự làm).
* Đồ thị:

* Ptrình

− = =
 
thì phương trình (1)
có 2 nghiệm.
+ Nếu
2 1 2 1 3
m m
− < − < ⇔ − < <
thì phương trình
(1) có 3 nghiệm. * Ptrình
4 2 4 2
2 1 0 2 1 2
− − + = ⇔ − − = −
x x m x x m
(1)
* Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m – 2. Dựa vào đồ thị (C),
ta có:
+ Nếu
2 2 0
− < − ⇔ <
m m
thì phương trình (1) vô
nghiệm.
+ Nếu
2 2 0
− = − ⇔ =

hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
2. Tìm các giá trị của m để phương trình
− + + + =
3 2
3 2 1 0
x x m
có 3 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Học sinh tự làm.

2. Tìm các giá trị của m …
− + + + = ⇔ − + − = +
3 2 3 2
3 2 1 0 3 2 1
x x m x x m
(1)
Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị
(C) với đường thẳng y = m + 1. Để phương trình
có 3 nghiệm phân biệt thì:
2 1 2 3 1
m m
− < + < ⇔ − < <
.
Ví dụ: Cho hàm số
4 2
1
2
4

m m
< − < ⇔ < <
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số
3 2
2 3 1
y x x
= + −
có đồ thị (C). Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương
trình
3 2
2 3 1
x x m
+ − =
(TN THPT 2008 – Lần 1).
2. Cho hàm số
3 2
6 9 1
= − + −
y x x x
có đồ thị (C). Tìm m để phương trình
3 2
6 9 0
x x x m
− + − =
có 3
nghiệm phân biệt.
3. Cho hàm số
4 2


≠
⇔
∆ >
.

Ví dụ: Định m để hàm số
3 2
( 1) 2
y x m x x
= + − + −

có cực đại, cực tiểu.
Giải
Đạo hàm:
2
' 3 2( 1) 1
= + − +
y x m x

Ta có
' 2 2
'
( 1) 3.1 2 2
∆ = − − = − −
y
m m m

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
2

y x m x m m x m
. Xác định m để :
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu. (Đáp án: 0 < m < 1).
b. Hàm số luôn đồng biến trên R. (Đáp án:
0
m
≤
hoặc
1
m
≥
).
2. Cho hàm số
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
3. Cho hàm số
3 2
3 (2 2) 2
y mx x m x
= − + − −
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4. Cho hàm số
4 2
2( 1)
= − − +
y x m x m
. Xác định m để hàm số có 3 cực trị.

để
hàm s
ố

3 2 2
( 1) (3 4 ) 9
3
= + − + − + −
m
y x m x m m x m

nh
ậ
n
đ
i
ể
m x =1 làm
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i.
Giải
Điểm
0
x

3
4 2 0
2
m m
y
m m
m
y
m
m

= ∨ = −

=

− − =


⇔ ⇔ ⇔ = −
  
<
− <



<


.
BÀI TẬP
Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số
3 2
2 1
y x mx x
= − − +
luôn có một điểm cực đại và
một điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
Giải
* Tập xác định: D = R.
* Đạo hàm:
2
' 3 2 2
y x mx
= − −

* Ta có
2 2
' ( ) 3.( 2) 6 0,
∆ = − − − = + > ∀ ∈
m m m R
. Suy
ra y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’đổi dấu (có
thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm
1 2
;
x x
) khi x đi
qua 2 nghiệm đó.

m
.
a

m n m n
m n
n
a a a
a
a
+
−
=
=



(
)
m .
a
a

b
n
m n
m
m
m
a

.
- n lẻ,
b R
∈
: tồn tại duy nhất
n
b
.
- n chẵn: + b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
+ b = 0:
0 0
n
=
.
+ b > 0: tồn tại 2 căn bậc n trái dấu của b đó
là
n
b
và -
n
b
.
Tính chất (
, 0
a b
>
,
,m n
+
∈



.
n
m n m
a a
=



m
n m
n
a a
=



.m n
m
n
a a
=
3. Luỹ thừa với số mũ thực (
0
a
>

α
α β
β
−
=



a a
b b
α
α
α
 
=
 
 

(
)
.
a a
β
α α β
=



1
a
≠
, M, N > 0.



log 1 0
a
=



log ( . ) log log
M N M N
a a a
= +

log 1
a
a
=



log log log
M



1
log log
b b
a
a
α
α
=

1
log
log
=
a
b
b
a

c. Công thức đổi cơ số:
Cho a, b, c > 0,
1
a
≠
, c
≠

e. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:
S
ố

1
lim 1 2,71828
n
x
e
n
→+∞
 
 
 
= + ≈ Lôgarit thập phân: Lôgarit tự nhiên:
10
log logx = lgx
x
=

log ln
e
x x
=5. Giải PT, BPT mũ và lơgarit

Dạng:
log
x b
a
=
, (a > 0, a
≠
1).
Ta có:
log = ⇔ =
b
x b x a
ab. Phương pháp giải PT lơgarit thường gặp
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (khơng cần đặt điều kiện cho ẩn phụ).
- Mũ hố.
Chú ý: Các em nắm thật vững hai phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ để giải PT, BPT mũ,
lơgarit. Còn phương pháp thứ 3 tương đối khó chỉ nên tham khảo thêm.

6. Một số dạng phương trình (BPT) mũ, lơgarit thường gặp
a. Các dạng cơ bản
a > 0,
1
a
≠

a > 1 0 < a < 1

( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
g x
f x g x
f x g x
>

> ⇔

>
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
> ⇔ >

( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x
f x g x
f x g x
>


a
a t x t
= ⇔ =
.
- Kết luận, nghiệm của (1).
Ví dụ: Giải phương trình
2 1
3 4.3 1 0
x x
+
− + =
.
Giải
2 1 2
3 4.3 1 0 3.3 4.3 1 0
x x x x
+
− + = ⇔ − + =

Đặt t =
3
x
(t > 0), ta được phương trình
2
1
3 4 1 0
1
3
=


+ + =
hay
. 0
x
x
n
m a p
a
+ + =
.
Phương pháp
- Đặt
x
t a
=
, (t > 0). Khi đó
1 1
x
x
a
a t
−
= =
.
- Thay vào PT đã cho giải tìm t (t > 0). Rồi tìm x.
- K
ết luận, nghiệm của PT.
Ví dụ: Giải phương trình
1
6 6 5 0


= −

.
Với t = 6
6
6 6 log 6 1
⇔ = ⇔ = =
x
x
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.
Dạng 3: BPT mũ
( ) ( )
,(0 1)
f x g x
a a a
≤ < ≠
.
Phương pháp
- Nếu 0 < a < 1, ta có f(x)
≥
g(x) (BPT đổi chiều).
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤
g(x).
Với BPT
( )f x
a c
≤

4
x x x x
x x
− − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ −2
3 2 0 1 2
x x x
⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1 ; 2].
Dạng 4: Biến đổi về phương trình dạng
log ( ) log ( )
a a
f x g x
=
.
Phương pháp
- Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ lôgarit
để biến đổi.
- Cần chú ý đến ĐK của các biểu thức dưới dấu
lôgarit.

Ví dụ: Giải phương trình
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =

log 2 3 9.
x x x
x x
⇔ + + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = =

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu lôgarit
2
.log ( ) .log ( ) 0
a a
m f x n f x p
+ + =
.
Phương pháp
- ĐK: f(x) > 0.
- Đặt
log ( )
a
t f x
=
, ta được
2
. . 0
mt n t p
+ + =
. Giải
phương trình tìm t.
- Giải PT
log ( ) ( )

.
Giải PT này được t = 2 ; t =
5
4
−
.
Với t = 2, ta có
2
2
log 2 2 4
x x
= ⇔ = =
.
Với t =
5
4
−
, ta có
5
4
2
5
log 2
4
x x
−
= − ⇔ =
.
Dạng 6: BPT lôgarit
log ( ) log ( ),(0 1)

≥
(BPT đổi chiều)
- Nếu a > 1, ta có f(x)
≤

c
a
.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −
;
b.
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +
.
Giải
a. Điều kiện:
0
1
3 1 0
3
x

2 1 0
1
2 0
2
x
x
x
− >

⇔ >

+ >

. Khi đó:
1 1
3 3
log (2 1) log ( 2) 2 1 2 3
x x x x x
− > + ⇔ − < + ⇔ <
.
Kết hợp ĐK ta được tập nghiệm là:
1
;3
2
T
 
=
 
 
.

(4 4 ).2
− −
−e.
5
4
2 3
5
4
5 0,2
−
−
−
 
 
+
 
 
 
 

f.
3 3
1 2 2 2
3 :9
+

g.


l.
49
log 15
7

m.
9
log 27
3

n.
2
1 log 3
8
−

o.
10
2 2log 7
10
+

p.
3 81
2log 2 4log 2
9
+

Bài tập 2. Giải các phương trình sau:

− − =
x x

b.
2 2
2 9.2 2 0
x x+
− + =

c.
1 1
9 36.3 3 0
+ −
− + =
x x

d.
1
4 10.2 24
−
− =
x x

e.
2 1 1
5 5 250
− +
+ =
x x


+ =
x x

m.
1
2 2 3 0
−
+ − =
x x

n.
1
6 6 5 0
x x−
− − =o.
1 3
3 5.3 12
x x+ −
− =

p.
1
7 2.7 9 0
x x
−
+ − =


log ( 1) 1 log
x x
+ = +

c.
4 2
log log (4 ) 5
x x
+ =

d.
3 9
log (9 ) log 5
x x
+ =

e.
3 3 3
log ( 2) log ( 2) log 5
x x
+ + − =

f.
2 2 2
log ( 2) log ( 3) log 12
x x
− + − =

g.
2 2

log (3 1) log (2 3 )
x x
+ = −

m.
3 3 3
log (9 1) log (2.3 1) log 2
+ − − =
x x

n.
1 4
4
log ( 5) 2log ( 1) 0
+ + − =
x x
e e

o.
2
2
1
log 1
log
= +x
x

p.
2
4 4

 
 

b.
2
3
1
2
4
x x−
≤

c.
1
1
1
5
25
x
x
+
 
<
 
 

d.
2 1 3 2
2 5
5 2

1 1 2
2 3 3 2
x x x x
− − +
− > −

h.
9 3 2 0
− − ≥
x x

i.
49 6.7 7 0
x x
− − <

j.
2 1
5 5 4
+
> +
x xBài tập 6.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph

1 1
3 3
log (2 1) log ( 2)
x x
− > +

f.
2 2
log log (3 1)
x x
≥ −

g.
2 2
2log ( 1) log (5 ) 1 0
x x
− − − − ≤

h.
1
2
2
log ( 2) log (3 ) 4
x x
+ + − ≥
i.
2

 
 
+ >
 
 
 
 

m.
2 2
4 4
log ( 2 ) log ( 4)
x x x
− > +

n.
2
3 3
log 2 5log 2 4 0
x x
− + <
Hết chương II

Chương III NGUN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

1. Định nghĩa ngun hàm
Cho hàm số f(x) xác đònh trên K.

xdx x C
= +
∫

sin cos
xdx x C
= − +
∫

2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫

2
1
cot

∫

( )
ax b dx
α
+
∫

1
1 1
. ( )
1
ax b C
a
α
α
+
= + +
+



1
ax b ax b
e dx e C
a
+ +

ax b dx
1
cos( )
ax b C
a
= − + +

sin
tan ln | |
os
x
xdx dx cosx C
c x
= = − +
∫ ∫

os
cot ln |sin |
sinx
c x
xdx dx x C
= = +
∫ ∫



- Đặt
( ) '( )
t u x dt u x dx
= ⇒ =

- Đổi cận:
x b t
x a t
β
α



= ⇒ =
= ⇒ =

- Thế:
[ ]
( ) . '( ) ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
=
∫ ∫

Ví dụ: Tính
2


1
1 1 0
0
0
1
t t
I e dx e e e e
⇒ = = = − = −
∫

Bài toán 2:

. '( )
( )
b
a
u x
u x dx
∫

Phương pháp:
-
Đặ
t
2
( ) ( )
t u x t u x
= ⇒ =


tdt xdx
⇒ =

Đổ
i c
ậ
n:
1 2
0 1
x t
x t



= ⇒ =
= ⇒ =

2 2
2 3 2
1
1 1
1 1
. 2 2 1
3 3
I t tdt t dt t
 
 
⇒ = = = = −
∫ ∫



Chú ý: Các em nên tập trung vào 2 bài toán đầu, còn 2 bài toán sau chỉ nên tham khảo.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1.
6
0
2
π
∫
cos xdx

2.
2
3
0
sin cos
x xdx
π
∫

3.
2
3
0
cos sin
x xdx
π
∫


x
dx
co x

8.
6
sin
0
cos
x
e xdx
π
∫

9.
6
0
2 1 4sin3 .cos3
x xdx
π
+
∫

11.
6
3
(cos 1)sin
x xdx
π
π

x dx
−
∫

15.
1
2
3
0
1
x
dx
x+
∫

17.
1
0
3 1
x dx
+
∫

18.
2
2
0
4 .
x xdx
−

e e
dx
e
+
+
∫

22.
e
3
1
ln x
dx
x
∫

5.
4
0
tan
xdx
π
∫
10.
2
0
(2sin 3)cos
x xdx
π
+

a
P x e dx
∫

Phương pháp:

Đặ
t
( )
x
u P x
dv e dx



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
1
0
x
I xe dx
=
∫
.
Giải. Ñaët
x x
u x du dx
dv e dx v e



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(2 1)sin
π
= +
∫
I x xdx
.
Giải. Ñaët
2 1 2
sin cos
= + ⇒ =


= ⇒ = −

u x du dx
dv xdx v x

Vaäy
[ ]
2
2
0

=
u P x
dv co xdx

Ví dụ: Tính tích phân
2
0
(1 ) os
π
= −
∫
I x c xdx
.
Giải. Ñaët
1
cos
= − ⇒ = −


= ⇒ =

u x du dx
dv xdx v sinx

Vaäy
[ ]
2
2
0
0



=
=

Ví dụ: Tính tích phân
2
1
2 ln
I x xdx
=
∫
.
Giải. Ñaët
2
1
ln
2
u x du dx
x
dv xdx v x

= ⇒ =



= ⇒ =


Vaäy

0
(2 3)sin
x xdx
π
+
∫

3.
0
(1 )sin 2
x xdx
π
−
∫

4.
2
0
(1 )
π
+
∫
x cosx dx

5.
1
0
(2 )
x
x xe dx

9.
1
0
ln(1 )
x dx
+
∫

10.
3
1
2 ln
x xdx
∫

11.
2
2
1
ln
x xdx
∫6. Diện tích hình phẳng

Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng x = a, x = b.

Phương pháp
- Gi

u có 1 nghi
ệ
m c
∈
[a ; b] thì áp d
ụ
ng cơng th
ứ
c (t
ươ
ng t
ự
n
ế
u có 2, 3 … nghi
ệ
m)
| ( ) | ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx
= = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x
= −
, trục Ox, hai đường

3 3
0 1
2 2
1 0
2
3 3
x x
x x
−
   
= − + − =
   
   
(đvdt).
BÀI TẬP

1.
Tính di
ệ
n tích hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i các
đườ
ng

1
(x), y = f
2
(x).

Phương pháp
- Hồnh độ giao điểm của 2 đường y = f
1
(x), y = f
2
(x) là nghiệm của phương trình f
1
(x) = f
2
(x).
Giả sử giải được 2 nghiệm x = a và x = b.
- Diện tích S được tính theo cơng thức:
[ ]
1 2 1 2
| ( ) ( )| ( ) ( )
b b
a a
S f x f x dx f x f x dx
= − = −
∫ ∫

Ví dụ. Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường:
2
2
y x x

.3 0
3 2 2
 
= − − =
 
 
(đvdt) .

BÀI TẬP
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
= +
y x
, y = 5x ;
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
x
y e
=
, y = 2 và đường thẳng x = 1 ;
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0 và đường thẳng x = e.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
6
y x x
= − +
, y = 0 (TN THPT 2007).
5. Cho hàm số
3 2
3

ạ
n b
ở
i các
đườ
ng (C)
2
2
y x x
= −
, trục
Ox và hai đường thẳng x = 0, x = 2.
Giải
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
2 2
2 2 2 3 4
0 0
( )
2 (4 4 )
π π
= − = − +
∫ ∫
V x x dx x x x dx
3 5
2
4
0
4 16
3 5 5
π

th
ị
hàm s
ố
y =
cosx, tr
ụ
c hồnh và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
;
6 2
x x
π π
= =
quay quanh trục hồnh ;
2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = sinx, y = 0, x = 0, x =
2
π
. Tính thể
tích c
ủ
a kh
ố
i
tròn xoay
đượ
c t

1. Định nghĩa
Số phức là một biểu thức có dạng: với
,
a b R
∈
,
2
1
i
= −
.
Tập hợp các số phức kí hiệu là:
ℂ

2. Số phức liên hợp
Số phức liên hợp của z = a + bi là: 3. Mô đun của số phức
Mô đun của z = a + bi là:
2 2
| |
z a b
= +

4. Các phép toán cộng, trừ, nhân số phức
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta có:

6. Nghịch đảo của số phức
S
ố
ph
ứ
c ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a z = a + bi là:
2 2
1 1
a bi
z a bi a b
−
= =
+ +

7. Phép cộng và nhân hai số phức liên hợp
Cho s
ố
ph
ứ
c z = a + bi, g
ọ
i
z
= a – bi là s

+ + =
(a, b, c
∈
R,a
≠
0).
Có biệt thức
2
4
b ac
∆ = −
. Khi đó ta có bảng:

∆

Phương trình
2
0
ax bx c
+ + =∆
> 0
Có 2 nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
x
a

1.
2 2
(1 3 ) (1 3 )
P i i
= + + −
(TN THPT 2008) 2.
2
(1 2 ) 2 3
P i i
= − + −

3.
3 2
2 1
2 3
i
P i
i
+
= − +
−
4.
3
(2 1) 5 2
P i i
= − + −

Bài tập 2. Tìm môđun của số phức z, biết:
1.
( 2 3 )( 3 2 )

5.
2
2 5 4 0
x x
− + =
(TN THPT 2006) 6.
2
4 3 1 0
x x
− + =

7.
2
3 3 0
x x
+ + =
8.
2
4 20 0
x x
− + = Hết chương IV
z = a + bi

z
= a - bi
I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Dạng 1. Hình chóp có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy B
Thì thể tích
1
.
3
=
V B d
B: Diện tích đáy; d: là chiều cao.

Ví dụ. Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC), SA=a; tam giác
ABC vuông tại B, BC = a; AC = 2a.

Giải
Ta có thể tích
1 1
. .
3 3
∆
= =
ABC
V B h S SA
. Mà SA = a.
Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

( )
2
2 2 2
2 3

120
=BAC
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. (TN THPT 08L2) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vuông tại B, biết AB = a,
3
=
BC a
và SA = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
3. (TN THPT 07L1) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABC là tam giác
vuông tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
4. (TN THPT 07L2) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. PHẦN HÌNH HỌC
1
.
3
V S h
=

.
V S h
=

2
xq
S Rl
π

3
V R
π
=

2
4
S R
π
=

V = a.b.c

a
a
a
2a
2a
2a
H
I
A
B
C
S
a
a
a
1 1 1 3 3
. sin . .sin 60
2 2 2 2 4
∆
= = = =
ABC
a
S AB BC B a a a

Lại có
2
3
=
AH AI
2
2 2 2
2 2 3
3 3 2 3
a a
AB BI a
 
= − = − =
 
 

Trong tam giác SAH vuông tại H có
( )
2
2
2 2

2. Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm I
của cạnh AB, đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB = 2a, AC = 3a , góc giữa cạnh bên SC và mặt
đáy ABCD bằng 45
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Dạng 3. Biết một mặt bên vuông góc với đáy. Khi đó đường thẳng đi qua 1 đỉnh của mặt bên, vuông góc
với giao tuyến giữa mặt bên và mặt đáy là đường cao của hình chóp.

Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC, có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vuông cân tại S. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Giải
Ta có
(
)
(
)
∩ =
SAB ABC AB
. Từ S dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt
AB tại I; nên SI vuông góc với đáy (ABC) mà
∆
SAB
vuông cân tại S nên I
là trung điểm của AB =>
1
2 2
= =
a
SI AB

(đvtt).
Bài tập tương tự
1. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác
vuông tại B. Biết BC = a, AC =
3
a
mặt SAB là tam giác vuông tại S và SA = a. Tính thể tích
của khối chóp S.ABC theo a.