Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Hiện nay vấn đề đổi mới nội dung và chơng trình SGK đang đợc
thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn Quốc nhằm đáp ứng mục tiêu:
Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao
động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và
sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nớc, yêu chủ nghĩa xã hội (Văn
kiện đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII của Đảng cộng sản Việt Nam).
Nghị quyết số 40/2000/QH10, ngày 09 tháng 12 năm 2000 của Quốc
hội khoá X về đổi mới chơng trình giáo dục phổ thông đã khẳng định: Đảm
bảo sự thống nhất, kế thừa và phát triển của chơng trình giáo dục; tăng cờng
tính liên thông giữa giáo dục phổ thông với giáo dục nghề nghiệp, giáo dục đại
học; thực hiện phân luồng trong hệ thống giáo dục quốc dân để tạo sự cân đối
về nguồn nhân lực,
1.2. Trong sự phát triển của Toán học thì: Động lực phát triển của Toán
học có hai nguồn cơ bản tồn tại một cách khách quan. Một là nguồn bên ngoài
do việc cần thiết phải dùng các phơng tiện toán học để giải những bài toán
nằm ngoài phạm vi của Toán học, các bài toán của khoa học khác, của kĩ
thuật, kinh tế, ; chính đây là nguồn đầu tiên về mặt lịch sử. Nguồn thứ hai là
nguồn bên trong do việc cần thiết phải hệ thống hoá các sự kiện toán học đã đ-
ợc khám phá, giải thích các mối quan hệ giữa chúng với nhau, hợp nhất chúng
lại bằng các quan niệm khái quát thành lí luận, phát triển lí luận đó theo các
quy luật bên trong của nó; chính nguồn này ở thời điểm của nó đã dẫn tới chỗ
tách toán học thành một khoa học [22, tr. 17]
Tuy vậy Khó có thể phát biểu một dấu hiệu phân biệt Toán học lí thuyết
với Toán học ứng dụng một cách tờng minh và rạch ròi, bởi vì mọi ngành Toán
học, xét cho cùng, đều đợc xây dựng và phát triển nhằm giải quyết những vấn đề
nào đó của cuộc sống thực, tức là nhằm mục đích ứng dụng trực tiếp hay gián
tiếp. Trong lịch sử phát triển của toán học, có rất nhiều công trình nghiên cứu
hoặc thành tựu lúc đầu đợc coi là thuần tuý lí thuyết, về sau hoá ra lại là những
công cụ đầy hiệu lực trong các ngành Toán học ứng dụng [31, tr. 232].

cho đến thời điểm hiện tại cũng cha có những bài toán về Xác suất. ít ra thì
phải từ kì thi năm 2009 mới có những bài về Xác suất. Điều này trong một
chừng mực nào đó cũng làm cho GV có sự coi nhẹ.
1.6. Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán Tổ hợp luôn là một dạng toán
khó đối với học sinh. Chẳng hạn, học sinh thờng lúng túng không biết khi nào
dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp. Khi bắt tay vào giảng dạy Xác suất, nhiều
giáo viên cha hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy phần này. Trong khi đó không
nhiều GV ý thức đợc sự cần thiết phải dạy Tổ hợp và Xác suất ở chơng trình phổ
thông. Dờng nh đối với họ sự tuân thủ chơng trình của bộ đề ra là vấn đề quan
trọng, còn vì sao chơng trình phải có phần này thì họ không quan tâm lắm. Để dạy,
2
học Tổ hợp và Xác suất có hiệu quả, đòi hỏi ngời GV phải đề ra đợc những biện
pháp hợp lí về cách thức lựa chọn nội dung và phơng pháp.
Trong lần thí điểm chuyên ban trớc đây ở Việt Nam, cũng nh trong nhiều
công trình nghiên cứu về khoa học giáo dục trên thế giới, đã xuất hiện những ph-
ơng án đa Xác suất vào trờng phổ thông. Tuy nhiên giữa các nghiên cứu còn có
sự sai khác nhất định, điều này nói lên rằng: Dạy những gì về Tổ hợp và Xác
suất, dạy để làm gì và dạy nh thế nào? là những câu hỏi đã và đang đợc nhiều ng-
ời quan tâm. Tuy nhiên cha có một phơng án duy nhất tối u.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: Nghiên
cứu một số vấn đề về mục đích, nội dung và phơng pháp dạy học chủ đề Tổ
hợp và Xác suất trong môn Toán trờng THPT
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp và Xác suất đợc
trình bày trong một số SGK (những năm trớc đây và hiện tại); đồng thời nghiên
cứu chủ đề này để đề xuất những vấn đề cơ bản thuộc về phơng pháp dạy học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Làm sáng tỏ vai trò của Xác suất thống kê với t cách là khoa học và
môn học.
3.2. Phân tích cách trình bày của một số sách giáo khoa về phần Tổ hợp

1.3. Chủ đề Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình Toán phổ thông ở một
số nớc trên thế giới.
1.4. Tổ hợp và Xác suất trong chong trình Toán phổ thông của Việt Nam
hiện tại và những năm vừa qua.
1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và Xác suất.
1.6. Kết luận Chơng 1.
Chơng 2. Một số vấn đề về nội dung và phơng pháp dạy, học chủ đề
Tổ hợp và Xác suất.
2.1. Nghiên cứu về mục đích dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác xuất
2.2. Một số vấn đề về nội dung và phơng pháp dạy, học chủ đề Tổ hợp
và Xác suất.
2.3. Kết luận Chơng 2.
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4
Chơng 1: Một số vấn đề về lí luận và thực tiễn
củaviệc đa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn
Toán
trờng phổ thông.
1.1.Sơ lợc về đặc điểm cơ bản và vai trò của Lí thuyết Xác suất
(với t cách là khoa học).
Ta biết rằng: Giới tự nhiên, xã hội loài ngời và t duy con ngời còn rất
nhiều điều bí ẩn mà con ngời, hoặc là hoàn toàn cha biết gì, hoặc là chỉ mới
biết đến mức độ nào đó. Thuộc vào loại chỉ mới biết đến một mức độ nào đó
là các hiện tợng ngẫu nhiên đã đợc nghiên cứu. Đó là những hiện tợng xảy ra

k
i
i
x
k
x
1
1
là bằng hằng số 5 khi bỏ qua sai số không đáng kể.
5
Ta thấy quy luật trên là quy luật thống kê dạng đơn giản. Có thể phân
tích thêm về quy luật đó nh sau: Khi thực hiện k phép thử T (với k đủ lớn), gọi
A
i
là hiện tợng: số lần xuất hiện mặt sấp ở lần thứ i thực hiện phép thử T bằng
x
i
, chúng ta có A
i
, với i = 1,2, ,k, là biến cố ngẫu nhiên (ứng với phép thử T).
Do đó, ở đây chúng ta có một số đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại là Q =
(A
1
, A
2
, A
k
). Trên Q nảy sinh hiện tợng tất yếu là:

=

yếu trong cấu trúc của nó, ghi nhận cái tất yếu nh là kết quả trung bình tất
yếu xuất hiện trên đám đông các biến cố ngẫu nhiên cùng loại. Do đó trong
các quy luật thống kê, tất yếu đợc hiện ra trong mối liên hệ biện chứng với
ngẫu nhiên: tất yếu xây cho mình con đờng xuyên qua đám đông các biến cố
ngẫu nhiên, còn ngẫu nhiên bổ sung cho tất yếu là hình thức thể hiện của tất
yếu [22, tr. 15]. Còn quy luật động lực phản ánh cái tất yếu trong sự đơn
giản hoá, sự bỏ qua cấu trúc bên trong của cái tất yếu.
6
Nh đã nói, động lực phát triển của Toán học có hai nguồn cơ bản tồn tại
khách quan. Hai hớng phát triển của Toán học ứng với hai nguồn đó đợc gọi là
hớng ứng dụng và hớng lí thuyết. Đồng thời trong sự phát triển của Toán học
theo hai hớng trên, hai khía cạnh của Toán học cũng đã đợc hình thành: Toán
học lí thuyết và Toán học ứng dụng.
Toán học ứng dụng là một khía cạnh của toán học ra đời trong những
ứng dụng của nó, có thể quan niệm rằng đó là khoa học về phơng pháp giải tối
u, mà về thực tiễn là chấp nhận đợc, những bài toán Toán học nảy sinh từ bên
ngoài Toán học. Và Toán học lí thuyết là một khía cạnh của Toán học ra đời
trong sự phát triển của Toán học theo hớng lí thuyết [22, tr. 18]. Tuy nhiên,
về nhiều mặt thì Toán học ứng dụng phức tạp hơn Toán học lí thuyết, bởi vì
bên cạnh việc có trình độ lí luận sâu sắc, còn cần phải có trình độ hiểu rộng
lớn, có óc nhạy bén về ứng dụng, phải nắm đợc không những cách t duy suy
diễn mà cả cách t duy hợp lí nữa . . . [22, tr. 18]
Nhắc lại rằng, việc tách Toán học lí thuyết và Toán học ứng dụng chỉ
mang tính chất tơng đối. Theo cách hiểu hiện nay, phổ biến ở các trờng đại
học trong và ngoài nớc, toán học ứng dụng bao gồm các môn giải tích số, xác
suất - thống kê, lí thuyết điều khiển, lí thuyết hệ thống, lí thuyết thuật toán, lí
thuyết tối u, . . . Mỗi môn nêu trên nghiên cứu một khía cạnh của những quan
hệ số lợng và hình dạng theo phơng pháp, công cụ chung của Toán học, nhng
trên một mức độ nào đó. Có thể nói rằng môn này thể hiện những phơng pháp
và kĩ thuật, công cụ tính toán hiện đại nhất để phân tích thực tại. Đối với nhà tr-

kẻ thù, và chính Lí thuyết xác suất làm việc đó[39, tr. 15].
Ví dụ 2: Luật Măng đen trong di truyền học
Giả sử một dấu hiệu nào đó của cơ thể sống (chẳng hạn hoa trắng hay
hồng) đợc xác định bởi một cặp gen: Gen trội A và gen lặn a. Cây có cặp gen
aa có hoa mầu trắng, còn cây có cặp gen AA, Aa, aA có hoa mầu hồng. Nếu
một trong bố mẹ có cặp gen aa, còn cây kia có cặp gen AA thì các con ở thế hệ
thứ nhất nhận một gen từ bố và một gen từ mẹ sẽ có cặp gen aA. Sang thế hệ
thứ 2 mỗi cá thể sẽ nhận đợc một cách ngẫu nhiên một gen a hoặc A từ bố mẹ.
Tất cả có 4 khả năng aa, aA, Aa, AA; tính lặn chỉ xuất hiện trong cá thể có cặp
gen aa, còn các cá thể khác có tính trội. Xác suất xảy ra cặp aa bằng
4
1
; các
cặp còn lại xuất hiện với xác suất
4
3
.
Nếu số cá thể trong thế hệ thứ 2 lớn, thì từ đó suy ra rằng tỉ số giữa tần
suất của các cá thể với tính lặn và cá thể với tính trội là 1: 3. Đó là luât Măng
đen, đợc kiểm chứng trong rất nhiều thực nghiệm. Trong thí dụ này xác suất
cũng xuất hiện nh trong các trò chơi cờ bạc. Vì vậy có thể nói rằng thiên nhiên
đôi khi cũng chơi trò gieo xúc xắc.
8
Lí thuyết xác suất, sau khi sinh ra nh là một ngành khoa học ứng
dụng đặc biệt, có liên quan đến sự hiểu biết trò chơi đánh bạc, sau khi trải qua
thời kì phát triển của các phơng pháp thống kê ngây thơ, sau khi thu nhận đợc cơ
sở toán học vững chắc và ngôn ngữ của lí thuyết Metric các hàm, Lí thuyết xác
suất ở dạng hiện đại đã trở thành một ngành toán học đa diện bao gồm cả chiều
sâu lí luận, lẫn nội dung ứng dụng [22, tr. 26]. Cho đến nay, nó đã trở thành một
khoa học có trình độ lí luận sâu sắc và phạm vi ứng dụng rất rộng rãi. Lí thuyết xác

Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toán học và Giáo dục học trên
thế giới đã nhận thấy sự cần thiết phải cho học sinh học một số yếu tố của Lí
thuyết xác suất. Nhiều hội nghị Quốc tế về Toán học và Giáo dục học đều có sinh
hoạt thảo luận vấn đề đó trong tiêu chuẩn về dạy học, chẳng hạn nh các hội nghị:
- Năm 1969 ở Lyon (Pháp)
- Năm 1972 ở Exeter (Anh)
- Năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hoà liên bang Đức)
- Năm 1980 ở Berlby (Mỹ)
- Năm 1982 ở Seffin ( Anh)
Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toán học
trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sau đây
để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốc tế):
tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệ
không gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất.
Trong việc tăng cờng ứng dụng trong giảng dạy ở trờng phổ thông - một
vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, là một yêu cầu có tính nguyên
tắc, nhằm phản đợc tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà một trong
những phơng hớng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng. Đặc biệt trong giai đoạn
hiện nay, do nhu cầu của quá trình tự động hoá trong sản xuất, những ngành
liên quan tới 3 hớng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những yếu tố phát triển
mạnh nhất của toán học hiện đại [1, tr. 18].
Lí thuyết xác suất là một trong những môn của Toán học ứng dụng, sau
đây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất:
- Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phơng pháp
động lực học là bất lực mà phải sử dụng phơng pháp Thống kê - Xác suất.
- Lí thuyết xác suất đợc sử dụng rộng rãi trong sinh vật học. Và hiện
nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phơng pháp
Thống kê xác suất.
- Sự vận dụng các phơng pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điều
khiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn.

với tập hợp hữu hạn: tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong hình học tổ
hợp , . . .. Các bài toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng của toán học có nội
dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng
nh trong đời sống hàng ngày của chúng ta. Và Ngày nay, trong các kì thi quốc
gia và quốc tế thờng không vắng bóng các bài toán tổ hợp, nhất là trong các kì
thi học sinh giỏi Toán. Thông thờng đây là các bài toán khó không chỉ đối với
học sinh Việt nam mà cả với học sinh quốc tế nói chung. [24, tr. 3].
11
Từ trớc những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu của
B.V.Gnhedenko, V.V.Firsov cùng các nhà s phạm và toán học Xô Viết khác đã
thu đợc những kết quả đáng chú ý sau đây:
- Đã khẳng định đợc sự cần thiết của việc đa các yếu tố của Thống kê
toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trờng phổ thông
- Mục đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trờng phổ
thông là: Phát triển có hệ thống ở học sinh những t tởng về sự tồn tại trong tự
nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiên nhiên
của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt. Đó chính là những quy luật
thống kê.
- Việc hình thành cho học sinh một hệ thống nguyên vẹn những tri thức
thống kê - xác suất phải đợc phối hợp thực hiện trong những giờ học của các môn
học khác [22, tr. 37]. Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất là góp
phần tạo lập đợc trong t tởng của học sinh một bức tranh gần đúng của thế giới
hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệp giáo dục
và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh bớc vào cuộc
sống lao động và học tập sau này. Việc dạy học Xác suất phải tạo điều kiện cho
học sinh vợt ra ngoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hình thành cho các
em những t tởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về mối quan hệ biện chứng
giữa tất nhiên và ngẫu nhiên; chẳng hạn: Khi một hiện tợng xảy ra một cách
ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay
khoa học cha biết đến, hoặc mới biết nửa vời. Cho nên ngời ta thờng nói cái tất

cao trung. Bậc cao trung gồm 3 năm học, học sinh đợc học về Xác suất và Thống
kê toán ở năm thứ hai trong giáo trình Toán học II. Chủ đề Xác suất và Thống kê
toán bao gồm những nội dung sau đây: Giải tích tổ hợp, xác suất của các biến cố
sơ cấp, tính độc lập của các biến cố, các định lí cộng và nhân xác suất, đại lợng
ngẫu nhiên và phân phối xác suất, phân phối nhị thức và phân phối chuẩn, phơng
pháp mẫu, vận dụng Thống kê toán và Lí thuyết xác suất vào nghiên cứu các hiện
tợng và các quá trình trong các giáo trình kĩ thuật.
ở Cộng hoà Pháp: Bậc cao trung bao gồm 3 năm học. Trong năm đầu học
sinh học chơng trình chung. Đến năm thứ hai hoặc năm thứ 3 thì học sinh học
theo phân ban với 3 hớng lớn: Cao trung phổ thông, cao trung công nghệ, cao
trung nghề nghiệp. Về nội dung Tổ hợp và Xác xuất học sinh đợc học ở lớp kết
thúc (tức năm thứ 3 cao trung - tơng đơng với lớp 12 của Việt Nam):
- Xắp xếp các dữ kiện; tổ hợp; bản số của toán Đề các của các tập hợp
hữu hạn; bản số của tập A (tập hợp của các tập hợp gồm p phần tử của tập hợp
A); chỉnh hợp và hoán vị; kí hiệu n!; tổ hợp
n
C
p
; hệ thức
n n
C C
p n p
=

;
1
1
n n n
C C C
p p

phổ thông mà trọng điểm là cải cách chơng trình và SGK phổ thông. Chơng
trình của các nớc đều hớng tới mục tiêu nâng cao chất lợng giáo dục, trực tiếp
góp phần cải thiện chất lợng nguồn nhân lực, nâng cao chất lợng sống của con
ngời; khắc phục tình trạng học tập nặng nề, căng thẳng gây mất hứng thú và
niềm tin đối với việc học tập của học sinh; . . .
Cùng với trào lu đó, chơng trình giáo dục, SGK phổ thông của Việt Nam
luôn đợc cải cách, chỉnh lí. Quá trình cải cách đợc tiến hành qua nhiều lần, do
đó dẫn đến sự thay đổi về nội dung, phơng pháp trình bày.
1.4.1. Sơ lợc về nội dung Tổ hợp và Xác suất trong chơng trình Toán
phổ thông.
14
Đã nói đến cải cách và chỉnh lí thì tất nhiên sẽ có sự thay đổi về nội
dung, chơng trình. Chúng ta nhìn lại nội dung chủ dề Tổ hợp và Xác suất trong
chơng trình Toán phổ thông từ khi nền Giáo dục Việt Nam có chơng trình phân
ban thí điểm.
Bộ SGK dành cho cấp phổ thông trung học phân ban thí điểm đầu tiên
của nhóm tác giả: Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Trần Văn Hạo (1996). ở
đây, nội dung chủ đề Tổ hợp và Xác suất đợc trình bày trong chơng cuối sách
Giải tích 12, bao gồm:
Phần A: Đại số tổ hợp
Đ1. Bộ sắp thứ tự gồm n phần tử
Đ2. Quy tắc cơ bản của phép đếm
Đ3. Hoán vị - Chỉnh hợp
Đ4. Tổ hợp
Đ5. Nhị thức Niutơn
Phần B: Xác suất
Đ1. Khái niệm Xác suất
Đ2. Các tính chất của Xác suất
Đ3. Xác suất có điều kiện
Đ4. Liên hệ với một số bài toán về thống kê

Đ5. Các quy tắc tính xác suất (3 tiết)
Đ6. Xác suất có điều kiện (2 tiết)
Đ7. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc (1 tiết)
Đ8. Kỳ vọng, phơng sai (1 tiết)
- Bộ sách của nhóm tác giả do Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), có các bài sau:
Đ1. Quy tắc đếm (2 tiết)
Đ2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (4 tiết)
Đ3. Xác suất của biến cố (4 tiết)
Đ4. Xác suất có điều kiện (3 tiết)
Đ5. Biến ngẫu nhiên (2 tiết)
Đ6. Kỳ vọng và phơng sai của biến ngẫu nhiên (3 tiết)
Hiện tại trên toàn Quốc học sinh đợc học chung một bộ sách theo chơng
trình cải cách giáo dục, nội dung Tổ hợp và Xác suất đợc đa vào chơng trình
16
Đại số và Giải tích lớp 11, về lợng kiến thức là nh nhau đối với tất cả các ban
nhng khác nhau về mức độ yêu cầu. Bao gồm:
Đ1. Hai quy tắc đếm cơ bản
Đ2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Đ3. Nhị thức Niu-tơn
Đ4. Biến cố và xác suất của biến cố
Đ5. Các quy tắc tính xác suất
Đ6. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1.4.2. Một số điểm khác nhau trong nội dung kiến thức chủ đề Tổ
hợp và Xác suất qua những lần chỉnh lí
1.4.2.1. Về nội dung Tổ hợp
Nội dung kiến thức Tổ hợp đa vào chơng trình Toán phổ thông qua các
năm tơng đối ổn định, chủ yếu gồm các vấn đề: Khái niệm Hoán vị, Tổ hợp,
Chỉnh hợp; công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp; khai triển nhị
thức Niutơn. Hiển nhiên đã có sự cải cách, chỉnh lí thì ắt có sự khác nhau.
Chẳng hạn:

lần, định nghĩa này tơng đối chặt chẽ tuy nhiên có sử dụng khái niệm bộ - n
sắp thứ tự đã đợc định nghĩa ngay bài đầu của chơng. Sách chỉnh lí hợp nhất
năm 2000, định nghĩa Hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

1). Mỗi
cách xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đợc gọi là một hoán vị của n phần tử
đó, định nghĩa này không nêu lên đợc sự khác nhau của các phần tử trong tập
hợp A. Trong sách phân ban thí điểm lần này thì học sinh có thể nắm khái
niệm một cách dễ dàng nhờ sử dụng ngôn từ dễ hiểu: Kết quả của sự sắp xếp
n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó đợc gọi là một hoán vị của n phần
tử đó (Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)); Cho tập hợp A có n phần tử. Khi sắp
xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta đợc một hoán vị các phần tử của tập A
(Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) 2002), tuy nhiên trong hai định nghĩa này n
cũng không đợc chỉ rõ thuộc tập nào. Nếu nh vậy thì n = 0 thì có hoán vị
không? một hoán vị theo định nghĩa đó là một cách xếp thứ tự mà n = 0 tức
là không có phần tử nào dẫn đến không có sự sắp thứ tự.
Khái niệm Chỉnh hợp cũng có nhiều điều cần bình luận: Sách của Ngô
Thúc Lanh (1999) định nghĩa: Cho một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi tập con
sắp thứ tự (tức là có kể đến thứ tự kế tiếp của các phần tử) gồm k ( 0

k

n)
trong n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Trong
định nghĩa này điều kiện ( 0

k

n), tức là k có thể nhận giá trị 0 dẫn đến
một tập hợp không có phần tử nào và tập không có một phần tử nào thì có sự

A
=
)!(
!
kn
n

(2); với công thức (1) đúng với mọi 1

k

n, còn công thức
(2) với k = n thì dẫn đến
!0
!n
k
n
A =
, nếu không có sự quy ớc 0! = 1 thì với k
= 1 công thức (2) không có nghĩa. Điều này thể hiện ở sách của Ngô Thúc
Lanh (1999), trong cả chơng Tổ hợp không thấy có sự quy ớc 0! = 1 vậy mà đa
ra công thức (2), cũng trong sách này tác giả lại dùng khái niệm chỉnh hợp để
định nghĩa hoán vị. Ta nhận thấy rằng khái niệm hoán vị là trờng hợp riêng của
khái niệm chỉnh hợp khi k = n, với quy ớc 0! = 1 thì công thức tính số hoán vị
cũng đợc suy ra từ công thức tính số chỉnh hợp; tuy nhiên việc lấy khái niệm
này để định nghĩa khái niệm kia không phải là cách tối u trong khi đó vẫn có
thể định nghĩa nó một cách độc lập.
Nếu nh định nghĩa chỉnh hợp với điều kiện 1

k

C =
(3), thế nhng cũng trong cuốn
sách này định nghĩa tổ hợp với 1

k

n: Cho một tập hợp A có n phần tử và
số nguyên k với 1

k

n. Mỗi tập con của A có k phần tử đợc gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử của A và sau đó đa ra công thức
!k
k
n
A
k
n
C =
với 1

19
k

n, với k = 0 thì lại có sự quy ớc
1
0
=
n

, ta phải phân ra hai trờng hợp k = 0 và 0 < k

n. Trong trờng hợp k =
0 thì
1
0
=
n
C
, còn 0 < k

n thì
!k
k
n
A
k
n
C =
(3) hay
)!(!
!
knk
n
k
n
C

=
(4); và nhận

nhằm mục đích để
cho các công thức
!
( )!
n
k
A
n
n k
=

,
!
!( )!
n
k
C
n
k n k
=

đúng với
0 k n
. Tuy
20
nhiên, sự quy ớc
0
1C
n
=

)/().()( ABPAPBAP =
.
Tuy nhiên, nếu lấy (1) là định nghĩa xác suất điều kiện mà lại lấy (1) để tính
P(A

B) thì sẽ rơi vào luẩn quẩn. Xác suất điều kiện khác với xác suất không
điều kiện ở chỗ xác suất của biến cố B với điều kiện A là xác suất của B đợc
tính trong điều kiện biến cố A đã xảy ra. Nh vậy ngoài hệ điều kiện cấu thành
phép thử còn bổ sung thêm điều kiện A. Do đó không gian mẫu bị thu hẹp và
biến cố B cũng bị thu hẹp. Nh vậy ta định nghĩa xác suất điều kiện bằng ý
nghĩa thực tế của nó rồi công nhận công thức (1).
Với khái niệm hai biến cố độc lập, SGK thí điểm phân ban năm 2002
của nhóm tác giả Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) thì định nghĩa: Hai biến cố A
và B đợc gọi là độc lập với nhau nếu P(A

B) = P(A).P(B) (3). Thực ra công
thức (3) đợc suy ra từ công thức (2) khi hai biến cố A và B độc lập với nhau.
Theo Đào Hữu Hồ (2001), định nghĩa hai biến cố độc lập theo định tính: Hai
biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này hay không
đều không ảnh hởng đến khả năng xảy ra biến cố kia; còn định nghĩa theo
21
định lợng thì: Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu: P(A/B) =
P(A) hoặc P(B/A) = P(B). Từ đó ta thấy rằng định nghĩa hai biến cố độc lập
bằng công thức (3) không có tính trực quan và là điều vô nghĩa, mặc dù trong
SGK giáo viên của Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) có viết: Mặc dù, định nghĩa
nh vậy không có tính trực quan, nhng lại rất tiện lợi để việc mở rộng khái
niệm độc lập cho nhiều biến cố . Nhng ý nghĩa thống kê của khái niệm độc
lập có thể đợc làm sáng tỏ nhờ tính ổn định của tần suất:
Giả sử trong N phép thử, các biến cố A, B và AB tơng ứng xảy ra trong
N


;
)/( BAP
B
N
AB
N

Từ công thức (3) ta suy ra các đẳng thức gần đúng:

N
B
N
N
A
N
N
AB
N
.
;
N
B
N
A
N
AB
N

;

Kiến thức về Xác suất trong sách Đại số và Giải tích 11 hiện tại đợc trình
bày giảm nhẹ hơn chơng trình cũ. Các tác giả không đa ra phần Xác suất có điều
kiện, có lẽ để khắc phục sự định nghĩa luẩn quẩn giữa quy tắc nhân và công thức
tính xác suất có điều kiện; trong các công thức tính xác suất, công thức cộng chỉ
xét trong trờng hợp các biến cố xung khắc từng đôi một, công thức nhân xác suất
chỉ xét trong trờng hợp các biến cố độc lập từng đôi một; khi định nghĩa hai biến
cố xung khắc và định nghĩa hai biến cố độc lập đều bằng cách mô tả trực quan.
1.5. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi học Tổ hợp và
Xác suất
Với toán Tổ hợp đã đợc đa vào chơng trình Toán phổ thông từ lâu và nội
dung tơng đối ổn định, nhng đây là dạng Toán mà học sinh cảm thấy khó và
rất hay mắc sai lầm. Còn với nội dung về Xác suất thì lại hoàn toàn mới mẻ.
Ngay cả đối với giáo viên khi dạy phần này cũng không hào hứng. Bởi vì các
suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học
1.5.1. Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp
Theo A.A.Stôliar thì, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp
của ngôn ngữ Toán học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm đ-
ợc định nghĩa.
Theo Nguyễn Bá Kim: Trong Toán học, ngời ta phân biệt cái kí hiệu và
cái đợc kí hiệu, cái biễu diễn và cái đợc biễu diễn . Nếu xem xét phơng diện
những cái kí hiệu, những cái biễu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy
tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phơng diện cú pháp. Nếu
xem xét những cái đợc kí hiệu, những cái đợc biễu diễn, tức là đi vào nội
dung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đó là phơng diện
ngữ nghĩa [33, tr. 54].
Nhiều thuật ngữ và kí hiệu toán học đã đợc mọi ngời thừa nhận và sử
dụng thống nhất. Nhng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Toán học
hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau
ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một
kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau. Chẳng hạn: Với cùng khái niệm

, hoặc Số Chỉnh hợp chập k của n là
A
k
n
,
Ví dụ 4: Với ngôn ngữ của Toán học cổ điển, trong lí thuyết tổ hợp ng-
ời ta hay sử dụng cụm từ n phần tử . Với cách nói này, ta cần hiểu: hoặc n
phần tử là khác nhau (chẳng hạn xét n điểm trong không gian hay mặt phẳng),
hoặc trong đó có một phần tử bằng nhau (chẳng hạn: xem 13 chữ số, trong
đó 5 chữ số 1, 3 chữ số 2, 2 chữ số 2. 1 chữ số 4, 2 chữ số 5). Nhng ta lại cần
nhớ rằng trong lí thuyết tập hợp, nói rằng một tập hợp gồm n phần tử đó là
phải khác nhau. Khi liệt kê danh sách các phần tử của một tập hợp thì mỗi
phần tử đợc nêu lên đúng một lần. Chẳng hạn với bài toán:
Viết tập hợp các chữ số có mặt trong có mặt trong số 124325223441 thì
tập hợp đó là A = {1, 2, 3, 4, 5 } ( gồm 5 phần tử khác nhau)
Nhng theo quan điểm của Lí thuyết tổ hợp, thì số trên thì số trên gồm
12 chữ số (12 phần tử) nh đã nói.
Chính vì thói quen của cách hiểu theo lí thuyết tập hợp mà học sinh mắc
phải sai lầm khi giải Toán tổ hợp. Chẳng hạn với bái toán sau:
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết thành bao nhiêu chữ số có 9
chữ số, trong đó mỗi số chữ số 1 có mặt 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng
một lần?
Thông thờng học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp và giải nh sau:
Gọi số thoã mãn là
5 7
1 2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a a
Số a
1
có 6 cách viết {1, 2, 3, 4, 5, 6}, chữ số

có 8 cách viết {1, 1, 1, 2, 3,
4, 5, 6} và số
5 7
2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a
có 8! cách viết
Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị nh nhau
Vậy số
5 7
1 2 3 4 6 8 9
a a a a a a a a a
có
8.8!
53760
3!
=
cách viết
Ví dụ 5: Với những bài toán đếm ta hay gặp cụm từ có thể lập đ ợc
bao nhiêu số gồm k chữ số khác nhau, với cụm từ này thì dụng ý của tác giả
viết sách là số gồm k chữ số

1 2
a a a
k
thì các a
i
(
1,i k=
) phải khác nhau từng
đôi một. Tuy nhiên, có không ít ngời đọc, học sinh vẫn hiểu nh sau: các số

không gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A. Chẳng hạn bài toán sau:
Gieo hai con súc sắc cân đối.
25