Tìm hiểu về các đường bậc hai trong mặt phẳng.
1. Đường tròn.
1.1. Định nghĩa: M
∈
(C)
⇔
|
IM
uuur
| = R không đổi với I(a, b) cố định.
1.2. Phương trình:
Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình tổng quát là
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
. Hoặc
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
với
2 2
0a b c+ − ≥
và
2 2
R a b c= + −
.
 Nếu tâm I trùng với gốc tọa độ O(0, 0) ta có phương
trình chính tắc của đường tròn tâm O bán kính R là
2 2 2
x y R+ =
.
 phương trình tham số của đường tròn tâm I(a,b) bán
kính R là:

1.4. Điều kiện tiếp xúc:
Đường thẳng
∆
có phương trình Ax + By + C = 0 tiếp xúc vơi đường tròng (C)
tâm I(a,b) có phương trình:
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
nếu
( , )d I R∆ =
. Ta có:
2 2
| Aa |
( , )
Bb C
d I R
A B
+ +
∆ = =
+
.
2. Elips.
3.1. Định nghĩa: Elips là quỹ tích những điểm trên một mặt phẳng có tổng
khoảng cách tới hai điểm phân biệt và cố định của một mặt phẳng ấy bằng một độ
dài không đổi.
- Hai điểm cố định F, F’ được gọi là hai tiêu điểm.
- Khoảng cách FF’ = 2 c được gọi là tiêu cự của elips.
- Đặt độ dài không đổi bằng 2a, với M là một điểm của quỹ tích, theo định
nghĩa: MF + MF’ = 2a.
Ta có 2a
≥

2.4. Các trục của Elips-Tính đối xứng của elips qua các trục.
Các đường thẳng chứa AA’ và BB’ là các trục của (E). Gọi M là một điểm của
elips. Theo định nghĩa: MF + M’F’ = 2a.
Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua BB’. Ta có MF = M’F’ và MF’ = M’F. Do
đó M’F + M’F’ = 2a. Nghĩa là điểm M’
∈
(E).
Vậy (E) nhận BB’ là trục đối xứng. Tương tự (E) nhận AA’ làm trục đối xứng,
giao điểm O của AA’ và BB’ là tâm đối xứng của (E).
2.5. Đường tròn chính - Đường tròn phụ - Đường tròn chuẩn với một tiêu
điểm của Elips.
- Đường tròn chính là đường tròn đường kính AA’.
- Đường tròn phụ là đường tròn đường kính BB’.
- Đường tròn tâm F bán kính 2a là đường tròn chuẩn ứng với tiêu điểm F’ của
(E).
2.6. Phương trình chính tắc của Elips.
Lập hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, trục hoành Ox qua A và A’ chiều dương từ
A’ tới A, trục tung chưa BB’, gốc O là tâm đối xứng của Elips.
Các điểm: A(a, 0) B(0, b) F(c, 0)
A’(-a, 0) B’(0, -b) F’(-c,0).
Xét điểm M(x, y)
∈
(E). Ta có:
MF
2
= (x – c)
2
(1)
MF’
2

0
) của (E).
Từ (3) ta có
2 2
b
y a x
a
= ± −
.
 Xét y > 0, phương trình của phần (E) phía trên trục hoành là
2 2
b
y a x
a
= −
.
Ta xét điểm M(x
0
,y
0
) thuộc phần (E) này, tức là
2 2
0
b
y a x
a
= −
. Ta có
0
0

0 0
2 2
0
( )
bx
y y x x
a a x
−
− = −
−
với chú ý:
2 2
0 0
2 2
1
x y
a b
+ =
và
2 2
0 0
b
y a x
a
= −
ta
được:
0 0
2 2
1

) là:
0 0
2 2
1
xx yy
a b
+ =
.
2.8. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
≠
0) là
tiếp tuyến của (E) có phương trình chính tắc
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
là
2 2 2 2 2
a A b B C+ =
.
Để đường thẳng đã cho là tiếp tuyến của (E) tại điểm M(x
0
,y
0
) thì đường thẳng

b B
y
c

= −




= −


bình phương hai vế được
4 2
2
0
2
4 2
2
0
2
a A
x
c
b B
y
c

=


. Thử vào điều kiện (5) thấy (5) đúng.
Ngược lại nếu đường thẳng Ax + By + c = 0 (A
2
+ B
2
≠
0) có các hệ số thỏa
mãn a
2
A
2
+ b
2
B
2
= c
2
, thì đường thẳng này là tiếp tuyến của elips.
Thật vậy ta có c
≠
0 vì nếu c = 0 thì a
2
A
2
= 0 và b
2
B
2
= 0.
Do a > 0, b > 0 nên A = 0 và B = 0, điều này trái với điều kiện A

2
2 2
0
2
c x
a A
a
cy
b B
b

=


⇒


=


Thay vào (5) ta được:
2 2 2 2
2
0 0
2 2
c x c y
c
a b
+ =
. Hay

By c
ca cb
− − = ⇔ + + =
.
Vậy điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 (A
2
+ B
2
≠
0) là tiếp
tuyến của (E) có phương trinh chính tắc
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
là
2 2 2 2 2
a A b B C+ =
.
2.9. Tiếp tuyến của elips tại một điểm của (E) là phân giác ngoài của góc
·
'FMF
(F, F’ là hai tiêu điểm của (E)).
Chứng minh.
Cách 1: Tiếp tuyến của (E) tại M(x
0
,y
0

=
rur
r ur
r ur
=
2 2
0 0 0 0 0
2 2 2 2
1 1 1
1
1
| |.| | | |.| | | |.| | .| |
x cx y cx cx
a
a a b a a
n u n u a n u a n
+ + + +
= = =
r uur r uur r uur r
( vì MF = |
1
u
ur
| = a +
0
cx
a
).
Tương tự: cos(
2

2
2
'
M
M
a
FE c
x
a
F E c
x
= −
= +

Do đó
EF
'
EF'
M
M
cx
a
MF
a
cx
MF
a
a
−
= =

2 2
( ) ( )
0
x x y y y x
b a
− −
= =
Hay là
2 2 2 2
0 0 0 0
( ) 0a y x b x y x y a b
− − − =
2.11. Tâm sai và đường chuẩn của (E).
Tỷ số
c
a
được gọi là tâm sai của (E). Ký hiệu e =
c
a
.Do 0 < c < a nên 0 < e < 1.
Các đường thẳng song song với trục tung với phương trình là x =
a
e
và x = -
a
e

được gọi là các đường chuẩn của (E) theo thứ tự ứng với tiêu điểm F và F’.
Ta có thể chứng minh được tỷ số khoảng cách từ một điểm M của (E) tới tiêu
điểm và tới đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó bằng e.

- Hai điểm cố định và phân biệt F và F’ được gọi là hai tiêu điểm.
- Khoảng cách FF’ = 2c được gọi là tiêu cự.
- Nếu M là một điểm của hypebol thì theo định nghĩa | MF – MF’| = 2a.
Điều kiện tồn tại quỹ tích là c > a.
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng FF’ chia mặt phẳng thành hai miền.
Với những điểm M của (H) thuộc miền chứa điểm F thì MF’ – MF = 2a, quỹ tích
của M là một nhánh của (H) gọi là nhánh (F).
Với những điểm M của (H) thuộc miền chứa điểm F’ thì MF – MF’ = 2a, quỹ
tích của M là một nhánh của (H) goi là nhánh (F’).
Quỹ tích của M sao cho | MF – MF’ | = 2a là hypebol gồm 2 nhánh (F) và (F’).
Hai nhánh này không có điểm chung.
3.2. Hình dạng của hypebol.
Đặt một thước kẻ có hai đầu là F’ và E, có độ dài m trên mặt phẳng. Đầu F’
của thước kẻ quay được đóng đinh vào mặt bàn. Thước kẻ quay được xung quanh
điểm F’. Một sợi dây dài L không đổi (L < m) một
đầu được buộc vào đầu E của thước kẻ, đầu còn lại
buộc vào đình F đóng cố định trên mặt bàn (EF <
1).
Lấy đầu bút chì căng sợi dây sao cho đầu bút
chì luôn ở trên cạnh FF’ của thước kẻ. Cho thước
kẻ quay quanh F’, đầu bút chì M vạch ra một phần
của quỹ tích. Vì MF’ – MF = (m – ME) – (L – ME)
= m – e không đổi. Đổi vị trí của F và F’ ta được
Hypebol cần vẽ. Hypebol này nhận F và F là tiêu
điểm.
3.3. Trục thực, trục ảo, tính đối xứng của (H)
qua các trục.
Các yếu tố cơ bản và hình chữ nhật cơ sở của (H). Đường thẳng FF’ được gọi
là trục thực của (H), đường trung trực của đoạn thẳng FF được gọi là trục ảo.
Trục thực cắt (H) tại A và A’.(A thuộc nhánh F).

Đường tròn tâm F bán kính 2a được gọi là đường tròn chuẩn ứng với tiêu điểm
F của (H).
Đường tròn tâm F’ bán kính 2a được gọi là đường tròn chuẩn ứng với tiêu
điểm F’ của (H).
3.5. Phương trình chính tắc của (H).
Chọn hệ trục tọa độ vuông góc có trục Ox nằm trên trục thực hướng dương là
hường từ F’ tới F, trục Oy nằm trên trục ảo. Các điểm A(a,0); F(c,0); A’(-a,0);
F’(-c,0). Lấy điểm M là một điểm của (H), M= (x,y). Ta có:
2 2 2
2 2 2
( ) (1)
' ( ) (2)
MF x c y
MF x c y
= − +
= + +
Từ đó ta được MF
2
– MF’
2
= -4cx. Ta có:
|MF – MF’| = 2a.
Nếu MF
≥
MF’ thì MF – MF’ = 2a ta được MF = a -
cx
a
.
Nếu MF
≤

a
với
y
b
và ngược lại, ta được
2 2
2 2
1
x y
a b
− = −
là phương trình
chính tắc của (H) liên hợp nhận các điểm B(0,b) và B’(0,-b) là đỉnh, các tiêu điểm
nằm trên Oy.
Nếu a = b thì (2) trở thành x
2
– y
2
= a
2
là phương trình của (H) vuông góc (hình
chữ nhật cơ sở là hình vuông).
Nếu quay hệ trục tọa độ quanh gốc O một góc 45
o
, ngược chiều kim đồng hồ,
công thức quay hệ trục tọa độ là
cos Ysin
sin cos
x X
y X Y

Thay vào phương trình x
2
- y
2
=a
2
ta được XY =
2
2
a
−
. Đặt
2
2
a
K− =
Ta được
XY K
=
(K < 0).
3.6. Đường tiệm cận của (H).
Xét phần phía trên trục hoành của nhánh (F) của hypebol. Phần nhánh này có
phương trình là y =
2 2
b
x a
a
−
(x
≥

−
= − − = − − = =
− +
.
Vậy y =
b
x
a
là đường tiệm cận của phần phía trên trục hoành của nhánh (F)
của (H).
Làm tương tự với các phần nhánh còn lại, ta được hai đường thẳng y =
b
x
a
±
là
hai đường tiệm cận của (H) (hai đường tiệm cận này chứa hai đường chéo của
hình chữ nhật cơ sở).
Vậy tập hợp hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là
2 2
2 2
0
x y
a b
− =
.
3.7. Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M(x
o
,y
o

= C
2
(chứng minh tương tự như với
elips).
3.9. Phương trình pháp tuyến của (H) tại điểm M(x
o
,y
o
):
0 0 0 0
2 2
( ) ( )
0
x x y y y x
b a
− −
+ =
Hay là a
2
y
o
x + b
2
x
o
y – x
o
y
o
(a

ta có
MF
e
MH
=
. Đối với đường chuẩn kia cũng vậy.
4. Parabol.
4.1. Định nghĩa.
Parabol là quỹ tích những điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm F và một
đừng thẳng (D) không qua F của mặt phẳng ấy.
+ Điểm F gọi là tiêu điểm của Parabol.
+ Đường thẳng (D) gọi là đường chuẩn của (P).
+ Khoảng cách p từ F đến đường thẳng (D) gọi là tham số tiêu của (P).
+ Đường thẳng qua F vuông góc với (D) gọi là trục của (P).
+ Gọi K là chân đường vuông góc từ F xuống (D). Chiều từ K đến F gọi là
chiều của trục.
4.2. Hình dạng của (P).
Đặt cạch góc vuông AC của eke ABC trên đường thẳng (D). Dùng một sợi dây
dài bằng cạch góc vuông AB = 1 của eke, một đầu buộc vào B, một đầu buộc vào
F. Đầu bút chì M căng sợi dây sao
cho M luôn ở trên cạch AB, khi
trượt eke theo (D), M vạch một
cung (P). Lật eke sao cho cạnh AC
cũng vẫn nằm trên (D), M vạch một
cung (P) đối xứng với cung trên qua
trục (P). Thật vậy ta luôn có
1
1
AM MB
AM MF

p
)
2
= (x -
2
p
)
2
+ y
2
⇔
y
2
= 2px.
Điểm O được gọi là đỉnh của (P).
 Phương trình chính tắc có 4 dạng:
Dạng 1 Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4
Phương
trình
y
2
= 2px y
2
= -2px x
2
= 2py x
2
= -2py
Tiêu điểu
F(

y = −
∆
:
2
p
y =
Đồ thị
4.4. Phương trình tiếp tuyến của (P).
Phương trình tiếp tuyến của (P): y
2
= 2px (1) tại điểm M(x
M
, y
M
) có dạng
( )
' ( )
m
m x m
y y y x x− = −
(2).
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được: yy’ = 2p. Tại điểm M ta có
( )
. ' 2
m
m x
y y p=
(3)
a) Nếu y
m

b) Nếu y
m
= 0, ta coi x là hàm số của y: x =
2
1
2
y
p
. Tương tự như trên ta có:
2
'
2
y y
x
p p
= =
Do đó
( )
'
m
m
y
y
x
p
=
Vì y
m
= 0 và x
m

m m m
y x x p y y− + − =
.
5. Đường cô nic.
Có thể định nghĩa chung cho các đường conic (C) (E,H,P) căn cứ vào tâm sai
e. e < 1 : (C) là elips.
e = 1 : (C) là parabol.
e > 1 : (C) là hypebol trong đó e =
( , )
MF
d M ∆
với F là tiêu điểm và
∆
là đường chuẩn.
5.1. Tiếp tuyến của conic.
a) Phương trình tiếp tuyến d của conic (C) tại
điểm M
o
(x
o
,y
o
) thuộc (C).
Phương trình của (C) Phương trình tiếp tuyến d
2 2
2
1
x y
a b
+ =

a b
+ =
2 2 2 2 2
A a B b C+ =
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
2 2 2 2 2
A a B b C− =
2
2y px=
2
2B p AC=