§¹i häc Th¸i Nguyªn
Trêng §¹i häc S ph¹m
Khoa Ho¸ häc
TS Mai Xu©n Tr êng−
Ho¸ ph©n tÝch II v ®¸nh gi¸,μ
xö lý sè liÖu thùc nghiÖm
b»ng x¸c xuÊt thèng kª
(TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ)
Th¸i nguyªn, 2011
Đại học Thái Nguyên
Trờng Đại học S phạm
Khoa Hoá học
Bài giảng
Hoá phân tích II (Hoá học phân
tích định l ợng ) v đánh giá, xử
lý số liệu thực nghiệm bằng
xác xuất thống kê
(3 tín chỉ = 45 tiết)
Thái nguyên, 2011
Lời nói đầu
Trên cơ sở những kiến thức đã học của phần cơ sở hóa học phân tích (hóa phân
tích I) cuốn b i giảng Hóa học phân tích định l ợng (Hóa phân tích II) giới thiệu những
ph ơng pháp phân tích định l ợng v cách xử lý, thống kê các kết quả thực nghiệm thu
đ ợc sao cho các kết quả có độ tin cậy cao nhất có thể.
Để biên soạn cuốn Hóa học phân tích định l ợng, tác giả đã tham khảo các giáo
trình của Tr ờng Đại học S phạm H Nội, Tr ờng Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học
Quốc Gia H Nội v của các đồng nghiệp trong Khoa Hoá học - Tr ờng Đại Học S
phạm - Đại học Thái Nguyên.
Đối t ợng phục vụ chủ yếu của cuốn sách n y l sinh viên v cán bộ giảng dạy
Hoá học của Tr ờng Đại học S phạm - Đại học Thái Nguyên. Ngo i ra cuốn sách n y
cũng có thể l t i liệu cho sinh viên các tr ờng Đại học v cao đẳng có học tập môn hoá

đóng vai trò hết sức quan trọng.
- Với sản xuất: Bất kỳ một nguyên vật liệu nào đ ợc dùng để sản xuất ra
một sản phẩm nào đó cũng cần đến hoá học phân tích để xác định thành phần
định tính cũng nh định l ợng của chúng, biết đ ợc dữ kiện đặc tr ng cho chất
l ợng sản phẩm.
II. Quá trình tiến h nh.
Để tiến hành phân tích định l ợng một mẫu nghiên cứu theo ph ơng pháp
phân tích thể tích ng ời ta th ờng tiến hành theo các b ớc sau đây:
1. Chọn mẫu đại diện. Tức là chọn một phần nhỏ chất tiêu biểu cho toàn
bộ đối t ợng phân tích. Ví dụ: Khi tiến hành phân tích chỉ lấy độ vài gam mẫu
2
đại diện cho hàng tấn vật liệu, đây là điều khá phức tạp quyết định kết quả phân
tích.
2. Chuyển chất phân tích vào dung dịch. Khi tiến hành phân tích bằng
ph ơng pháp hoá học hoà tan hoàn toàn mẫu trong dung môi thích hợp và tiến
hành phân tích trong dung dịch. (Khi sử dụng một số ph ơng pháp vật lý có thể
không cần hoà tan mẫu nh ng phải có một số động tác xử lý hoá học tr ớc đối
với mẫu).
3. Tách các cấu tử cản trở khi tiến hành phân tích cấu tử chính. ở đây phải
dùng các ph ơng pháp hoá học, hoá lý và cả ph ơng pháp vật lý khi cần.
4. Tiến hành phân tích.
5. Tính kết quả phân tích bao gồm đánh giá kết quả và độ chính xác của
kết quả phân tích.
Để chuẩn bị cho quá trình phân tích mẫu cần chuẩn bị một số nội dung
sau đây:
+ Chuẩn bị các dụng cụ trong phân tích thể tích với độ đo l ờng chính xác
đã đ ợc kiểm tra: pipet, buret, bình định mức, ống đong, bình eclen (bình chuẩn
độ).
+ Pha các loại dung dịch.
- Pha dung dịch từ chất rắn (là chất gốc) ta chỉ cần cân một l ợng chính

Ví dụ: C ờng độ màu của dung dịch KMnO 4 tỷ lệ thuận với nồng độ của
chất này. Vì vậy đo độ hấp thụ ánh sáng của dung dịch ở 1 b ớc sóng xác định
để suy ra nồng độ đ ơng l ợng của Mn có trong dung dịch.
Tuy vậy thông th ờng phải sử dụng phản ứng hoá học để chuyển cấu tử
phân tích thành dạng có tính chất vật lý thích hợp . Ví dụ chuyển Mn2+ thành
MnO4- rồi đo phổ hấp thụ sau đó mới suy ra nồng độ của ion MnO4- và Mn2+.
Các ph ơng pháp loại này gọi là các ph ơng pháp hoá lý. Hầu hết các ph ơng
pháp vật lý và hoá lý đòi hỏi phải dùng máy đo vì vậy chúng còn có tên chung là
các ph ơng pháp phân tích công cụ.
Ưu điểm của các ph ơng pháp phân tích công cụ là độ nhạy cao, tốc độ
phân tích nhanh, dùng phổ biến trong các phép phân tích vết cũng nh trong
phân tích hàng loạt để kiểm tra sản xuất.
III.2. Ph ơng pháp hoá học
Trong ph ơng pháp hoá học dựa vào dạng tồn tại của chất nghiên cứu
ng ời ta lại chia ra 3 loại: Phân tích khối l ợng (chất rắn), phân tích thể tích
(chất lỏng) và phân tích khí (chất khí).
4
Phân tích khối l ợng: Chẳng hạn để xác định hàm l ợng của cấu tử M ta
cho d thuốc thử R vào để M phản ứng với R tạo thành hợp chất MR n kết tủa.
Sau đó tách MRn và dựa vào khối l ợng thu đ ợc có thể tính đ ợc hàm l ợng M
trong mẫu phân tích.
Phân tích thể tích: Cũng có thể cho một l ợng chính xác thuốc thử R đủ
để tác dụng hết với M. Thông th ờng ng ời ta đo thể tích của dung dịch thuốc
thử R có nồng độ chính xác đã biết và từ đó tính đ ợc l ợng cấu tử cần xác định
M.
Phân tích khí: Nếu cho thuốc thử R vào mà sản phẩm phản ứng có sinh ra
chất khí thì có thể tìm đ ợc l ợng của nó bằng cách đo thể tích khí ở một nhiệt
độ và áp suất xác định rồi suy ra hàm l ợng của cấu tử M.
Ngoài ra trong phân tích thể tích dựa vào bản chất của phản ứng hoá học
xảy ra ng ời ta lại chia ra thành các ph ơng pháp trung hoà, ph ơng pháp oxihoá

Q
(1.1)
ở đây q là l ợng cấu tử có trong mẫu. Q là l ợng mẫu còn K là thừa số
tính. Nếu q, Q cùng đơn vị khối l ợng và K = 100 thì hàm l ợng cấu tử đ ợc
biểu diễn d ới dạng hàm l ợng % khối l ợng của cấu tử có trong mẫu.
Nếu q, Q cùng đơn vị khối l ợng và K = 1.000.000 thì hàm l ợng cấu tử
đ ợc biểu diễn thành phần triệu (ppm) khối l ợng của cấu tử có trong mẫu.
Đối với các chất rắn th ờng biểu diễn % khối l ợng hoặc phần triệu (ppm)
nếu khối l ợng cấu tử trong mẫu quá bé.
Đối với các chất lỏng thì có thể biểu diễn d ới dạng:
+ % khối l ợng P WW biểu diễn phần khối l ợng cấu tử trong 100 phần khối
l ợng mẫu.
+ % thể tích PVV biểu diễn số phần thể tích cấu tử trong 100 phần thể tích
mẫu (ở nhiệt độ xác định).
+ % khối l ợng - thể tích P WV biểu diễn phần khối l ợng cấu tử trong 100
phần thể tích mẫu, th ờng dùng khi cần biểu diễn nồng độ % của chất rắn hoặc
chất lỏng nguyên chất trong một chất lỏng khác ở một nhiệt độ xác định.
+ % thể tích - khối l ợng P VW biểu diễn phần thể tích cấu tử trong 100
phần khối l ợng mẫu, th ờng dùng để biểu diễn nồng độ % theo thể tích chất
lỏng hoặc khí trong một khối l ợng chất lỏng khác.
Các hệ thức liên hệ:
6
P
W
W
WPV
=
dl
VPW
=

3344.1044.10
VPV =
1,3.22,4.100
=0,058%
44.103 .1,150
V.3. Biểu diễn nồng độ trong phân tích định l ợng
Trong phân tích định l ợng ng ời ta th ờng dùng các loại nồng độ sau:
V.3.1. Nồng độ phần trăm (%)
Nồng độ phần trăm là khối l ợng chất tan trong 100 gam dung dịch (P wW)
hoặc khối l ợng chất tan trong 100 ml dung dịch (P wV).
C%=
m chattan
.100(%)
m dungdich
(1.5)
V.3.2. Nồng độ mol/ lit (M)
Nồng độ mol / lít (CM) là số mol chất tan trong 1000 ml hay 1 lít dung
dịch (hoặc số milimol trong 1 ml dung dịch).
7
CM =
n
V
(1.6)
với n là số mol chất tan. V là số lít dung dịch.
Để ký hiệu nồng độ mol ng ời ta dùng chữ M . Ví dụ dung dịch NaOH
0,25 M có nghĩa là trong 1 lít dung dịch có 0,25 mol NaOH. Cần phân biệt khối
l ợng mol cũng ký hiệu là M . Ví dụ M NaOH = 40 gam.
Nồng độ phần trăm là nồng độ gần đúng còn nồng độ mol là nồng độ
chính xác.
V.3.3. Nồng độ đ ơng l ợng (N)

M H2SO4
1
= 98(gam); Đ ơng l ợng gam
M NaOH
= 40(gam). Vì 1 mol NaOH và 1 mol H2SO4 trao đổi đúng 1
1
H2SO4 + 2 NaOH Na2SO4 + 2 H2O
M H2SO4
2
+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
của NaOH =
= 49 (gam); Đ ơng l ợng gam
M NaOH
= 40(gam). Vì 1 mol NaOH trao đổi 1 mol H+ và 1 mol
1
H2SO4 trao đổi 2 mol ion H+.
Với phản ứng
2H2SO4 + Cu CuSO4 + SO2 + 2 H2O
M H2SO4
2
+ Đ ơng l ợng gam của H 2SO4 =
của Cu =
M Cu
= 32 (gam).
2
= 49 (gam); Đ ơng l ợng gam
Với phản ứng
4H2SO4 + 3Zn 3ZnSO4 + S + 4H2O
M H2SO4
6

9
Ví dụ: Độ chuẩn của HCl là THCl = 0,00365 có nghĩa là cứ 1 ml dung dịch
HCl chứa 0,00365 gam HCl.
V.5. Độ chuẩn của một chất theo chất khác (TA/B)
Độ chuẩn của một chất A theo chất B là số gam của chất B phản ứng vừa
đủ với 1 ml dung dịch chất A.
Ví dụ THCl/CaO = 0,0056 có nghĩa là 1 ml dung dịch HCl phản ứng hết với
0,0056 gam CaO.
TA/B .103
C N(A) =
B
VI. các loại sai số v cách đánh giá, xử lý số liệu
(1.10)
VI.1. Phân loại các phép đo
VI.1.1. Phép đo trực tiếp
Phép đo trực tiếp là phép so sánh vật đo với vật chuẩn.
Trong thực hành khoa học thực nghiệm nói chung và hoá học nói riêng
cần sử dụng các phép đo trực tiếp để xác định một đại l ợng nào đó.
Ví dụ: Phép cân là phép so sánh khối l ợng vật cần đo khối l ợng với khối
l ợng của quả cân (khối l ợng chuẩn).
Phép đo thể tích là phép so sánh thể tích của dung dịch với thể tích của
dụng cụ đo thể tích (pipet, buret, bình định mức - thể tích chuẩn).
Đối với các đại l ợng đo trực tiếp ta phải lấy số các số có nghĩa sao cho
chỉ con số cuối cùng là gần đúng, còn lại các con số tr ớc đó là chính xác.
Ví dụ: Nếu cân vật cân 1(g) trên cân kỹ thuật có độ chính xác
là 0,01(g) thì số liệu đ ợc biểu diễn là 1,00(g), nếu cân trên cân phân tích có
độ chính xác 10-3(g) thì số liệu đ ợc biểu diễn là 1,000(g) và nếu cân trên cân
phân tích có độ chính xác 10-4(g) thì số liệu đ ợc biểu diễn là 1,0000(g).
VI.1.2. Phép đo gián tiếp
Trong thực tế nói chung và hoá học nói riêng, chúng ta th ờng sử dụng kết

trị của các phép đo mới có thể xác định đ ợc một đại l ợng nào đó. Trong tr ờng
hợp này, đại l ợng đó đ ợc xác định từ một phép đo tập hợp.
Ví dụ: Để xác định hàm l ợng sắt trong một mẫu quặng ta phải cân khối
l ợng quặng (phép đo 1), hoà tan quặng thành một thể tích dung dịch nhất định
(phép đo 2), chuẩn độ xác định nồng độ ion sắt trong dung dịch đó (phép đo 3);
hoặc có thể hoà tan quặng rồi cho kết tủa hydroxit, nung chuyển về dạng oxit rồi
cân xác định khối l ợng oxit sắt. Khi đó hàm l ợng sắt trong mẫu quặng đ ợc
xác định từ một phép đo tập hợp.
VI.2. Sai số hệ thống và sai số ngẫu nhiên
Các số liệu thực nghiệm thu đ ợc luôn mắc sai số ngẫu nhiên và có mắc
sai số hệ thống hay không ta phải dựa vào toán học thống kê để kiểm tra đánh
giá. Để đánh giá đ ợc sai số ngẫu nhiên và sai số hệ thống phải hiểu và nắm
vững các khái niệm sau.
11
VI.2.1. Độ lặp lại (độ chính xác)
Độ lặp lại phản ánh sự phù hợp giữa các kết quả thu đ ợc trong các lần thí
nghiệm lặp lại ở trong cùng một điều kiện thực nghiệm quy định của phép đo.
Kết quả đo có thể có độ lặp lại cao (chính xác) nh ng không đúng hoặc ng ợc
lại. Độ lặp lại phản ánh qua ph ơng sai của phép đo.
Vì ph ơng sai biểu diễn độ sai khác giữa các giá trị trong tập số liệu kết
quả thực nghiệm so với giá trị trung bình. Ph ơng sai càng nhỏ thì độ lặp lại
càng lớn và ng ợc lại.
Nguyên nhân dẫn đến độ lặp lại kém có thể là:
+ Chọn mẫu không đặc tr ng về số l ợng và chất l ợng.
+ Tay nghề ng ời làm phân tích kém.
Thực ra giá trị trung bình cộng X cũng phản ánh phần nào độ lặp lại và
ng ợc lại giá trị ph ơng sai S 2 cũng phản ánh phần nào độ đúng, tuy nhiên mỗi
đại l ợng có một tính trội riêng. X có tính trội phản ánh độ đúng, S2 có tính trội
phản ánh độ lặp lại.
VI.2.2. Độ đúng

0,1016
0,1001
Lần 4
0,0991
0,1015
0,0998
Lần 5
0,1001
0,1016
0,1000
Kết quả cho thấy độ đúng của sinh viên A cao hơn của sinh viên B; độ lặp
lại của sinh viên B cao hơn sinh viên A. Sinh viên C vừa có độ lặp lại cao và vừa
có độ đúng cao.
VI.2.3. Sai số phân tích
Trong thực nghiệm, việc đánh giá các kết quả thu đ ợc là hết sức quan
trọng, nó cho biết kết quả thu đ ợc có độ đúng và chính xác tới mức nào. Khi
xác định một đại l ợng nào đó, chúng ta không bao giờ nhận đ ợc giá trị thực
của nó, chúng ta chỉ cố gắng thực hiện quá trình đó sao cho kết quả thu đ ợc có
thể chấp nhận đ ợc tức là sai số của quá trình xác định đại l ợng đó nhỏ nhất
mà thôi.
Theo cách biểu diễn sai số thì có 4 loại sai số là :
VI.2.3.1. Sai số tuyệt đối
Sai số tuyệt đối đ ợc tính theo công thức (1.13):
X = xi - X xi -
Trong đó:
X là sai số tuyệt đối của đại l ợng ngẫu nhiên X.
xi là giá trị thứ i của đại l ợng ngẫu nhiên X ( i = 1 ữ n).
(1.13)
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.

Ví dụ 1: Xác định hàm l ợng sắt trong mẫu phân tích, làm nhiều thí
nghiệm thu đ ợc X = 11% nh ng giá trị thực . = 10%. Khi đó sai số t ơng đối
là +10%.
Ví dụ 2: Xác định hàm l ợng sắt trong mẫu phân tích, các thí nghiệm thu
đ ợc X = 2% nh ng giá trị thực . = 1%. Khi đó sai số t ơng đối
là +100%.
Nh vậy việc xác định hàm l ợng sắt ở ví dụ 2 mắc sai số gấp 10 lần so
với ở ví dụ 1 mặc dù chúng đều có sai số tuyệt đối là 1%.
VI.2.3.3. Sai số hệ thống
Sai số hệ thống tính theo công thức (1.15):
14
X = X - 0
Trong đó:
X là sai số hệ thống của đại l ợng ngẫu nhiên X.
(1.15)
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.
Nếu hiệu số này là đáng tin cậy (tức là khác không là đáng tin cậy) thì nghiên
cứu đã mắc sai số hệ thống. Khi đó các giá trị xi tập trung về một phía của giá trị thực
trên trục số. Sai số hệ thống có thể tìm đ ợc nguyên nhân gây ra để loại bỏ.
Sai số hệ thống là sai số do lựa chọn ph ơng pháp không chính xác, dụng cụ đo
l ờng không đúng hoặc không thống nhất giữa những ng ời thực hiện về cách xác
định một đại l ợng nào đó. Do hoá chất không tinh khiết. Do nồng độ dung dịch chuẩn
sai. Do ng ời phân tích thiếu kinh nghiệm. . . Do vậy kết quả xác định luôn lớn hơn
hoặc nhỏ hơn giá trị thực.
Sai số hệ thống làm cho kết quả của phép đo không đúng. Về nguyên tắc thì
nguyên nhân của sai số hệ thống có thể xác định và có thể loại bỏ đ ợc. Mỗi loại sai số
hệ thống làm cho kết quả đo dịch chuyển về một chiều nhất định (tăng hoặc giảm so với
giá trị thực). Sai số hệ thống có thể không đổi, cũng có thể thay đổi theo điều kiện.
Ví dụ 1: Dùng pipet có dung tích sai để đo thể tích dung dịch thì các lần đo

nên sai số hệ thống nói lên độ đúng của phép phân tích (phép đo).
VI.2.3.4. Sai số ngẫn nhiên
Sai số ngẫu nhiên đ ợc tính theo công thức (1.6):
X = X - 0
Trong đó:
X là sai số ngẫu nhiên của đại l ợng ngẫu nhiên X.
(1.16)
X là giá trị trung bình cộng của đại l ợng ngẫu nhiên X.
là giá trị thực của đại l ợng ngẫu nhiên X.
Nghiên cứu mắc sai số ngẫu nhiên khi hiệu số giữa giá trị trung bình cộng
X với giá trị thực gần bằng không là đáng tin cậy. Khi đó các giá trị x i phân
bố đều ở hai phía của giá trị thực trên trục số. Sai số ngẫu nhiên bao giờ cũng
mắc phải và chỉ có thể tìm các giải pháp để giảm sai số ngẫu nhiên chứ không
thể loại bỏ.
Sai số ngẫu nhiên ảnh h ởng đến độ lặp lại của các kết quả đo và làm
giảm độ chính xác của phép đo.
Sai số ngẫu nhiên là sai số sinh ra do một số lớn các nguyên nhân mà tác
động của nó nhỏ tới mức không thể tách riêng và tính riêng biệt cho từng nguyên
nhân đ ợc.
Sai số ngẫu nhiên do những nguyên nhân không xác định tr ớc và làm cho
kết quả đo dao động theo các chiều h ớng khác nhau (lúc tăng, lúc giảm).
Nguyên nhân gây ra sai số ngẫu nhiên có nhiều nh : sự thay đổi về nhiệt độ,
không gian bị nhiễm bẩn, cân đo bị sai, kỹ thuật thao tác thí nghiệm thiếu cẩn
thận làm rơi vãi, rửa kết tủa không sạch, . . .
Sai số ngẫu nhiên luôn luôn xuất hiện cho dù phép đo đ ợc thực hiện hết
sức cẩn thận và điều kiện thực nghiệm đ ợc giữ cố định một cách nghiêm ngặt.
Do đặc tính của nó nh vậy mà việc xử lý và đánh giá sai số ngẫu nhiên của mọi
phép đo là rất quan trọng. Nó cho phép xác định giá trị của phép đo, đánh giá
16
chất l ợng làm việc của ng ời thực hiện phép đo, của máy đo, đánh giá so sánh

B
(1.17)
Trong đó: LOD là giới hạn phát hiện của ph ơng pháp.
Sy hay y là độ lệch chuẩn của tín hiệu y trên đ ờng chuẩn.
B là độ dốc của đ ờng chuẩn, cũng chính là độ nhạy của ph ơng pháp.
17
VI.2.4.3. Giới hạn định l ợng (Limit Of Quantity - LOQ)
Giới hạn định l ợng đ ợc xem là nồng độ thấp nhất của chất phân tích mà
hệ thống định l ợng đ ợc với tín hiệu phân tích khác có ý nghĩa định l ợng với
tín hiệu mẫu trắng (hay tín hiệu nền) và đạt độ tin cậy 95%. Th ờng ng ời ta
chấp nhận tính giới hạn định l ợng theo công thức (1.8):
LOQ =
10.Sy
B
=
10. y
B
3 LOD
(1.18)
Trong đó: LOQ là giới hạn định l ợng của ph ơng pháp.
LOD: Giới hạn phát hiện.
B là độ dốc của đ ờng chuẩn, cũng chính là độ nhạy của ph ơng pháp.
Sy hay y là độ lệch chuẩn của tín hiệu y trên đ ờng chuẩn
Giới hạn định l ợng bằng 3 lần giới hạn phát hiện hoặc bằng 9 lần độ
chênh lệch chuẩn của mẫu trắng.
VI.2.4.4. Độ thu hồi (Rev)
Độ thu hồi đ ợc tính theo công thức (1.19):
Rev =
CT - C K
.100%

Sai số tối đa cho phép t ơng đối đ ợc biểu diễn d ới dạng phần trăm (%)
do đó không còn thứ nguyên, dùng để so sánh sai số tối đa cho phép t ơng đối
của ph ơng pháp nghiên cứu này với sai số tối đa cho phép t ơng đối của
ph ơng pháp nghiên cứu khác.
Những giá trị kết quả thực nghiệm nào nằm ngoài khoảng sai số tối đa cho
phép tuyệt đối thì phải loại bỏ (các giá trị đó gọi là đã mắc sai số thô). Cách xác
định các giá trị thực nghiệm mắc sai số thô để loại bỏ sẽ đ ợc trình bày ở mục
VI.4.
VI.2.6. Những nguyên nhân xuất hiện sai số đo đạc trong hoá học
VI.2.6.1. Sai số do sử dụng máy móc, hoá chất và thuốc thử
Khi sử dụng máy không đúng h ớng dẫn, hoá chất không tinh khiết.
Ví dụ: Sử dụng cân và quả cân không đúng, sử dụng dụng cụ đo thể tích
không chính xác, do các chất lạ có trong bình thuỷ tinh, đồ sứ . . . xâm nhập vào
dung dịch hoặc hoá chất có lẫn tạp chất.
VI.2.6.2. Sai số thao tác.
Do chủ quan ng ời thực hiện phép đo gây ra. Sai số thao tác không phụ
thuộc vào máy móc và dụng cụ đo và không liên quan với ph ơng pháp đo. Sai
số này có thể rất nghiêm trọng đối với ng ời thực hiện phép đo thiếu kinh
nghiệm hoặc làm việc cẩu thả, không cẩn thận, thiếu suy nghĩ.
Ng ời mới thực hiện phép đo lần đầu th ờng phạm sai lầm nghiêm trọng
do không biết làm việc, không biết cách đo. Tuy nhiên khi đã quen công việc và
19
nếu làm việc không cẩn thận thì sai số thao tác vẫn xảy ra và việc mắc phải sai
số lúc này rất nguy hiểm.
VI.2.6.3. Sai số cá nhân
Sai số cá nhân do khả năng của ng ời đo không thể thực hiện chính xác
một số thao tác đo.
Ví dụ: Khi chuẩn độ axit yếu bằng bazơ mạnh dùng metyl da cam làm
chất chỉ thị. Ng ời phân tích không thể nhận biết chính xác sự chuyển màu của
chất chỉ thị tại điểm cuối chuẩn (màu vàng da cam sang màu vàng rơm).

số hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm nh ng đếm đ ợc, khi đó đại l ợng ngẫu
nhiên X là đại l ợng ngẫu nhiên rời rạc.
Giả sử có đại l ợng ngẫu nhiên X nhận các giá trị x 1; x2; . . . xn với tần
suất P(X = xi) = Pi với i = 1; 2; 3;. . . m. Để mô tả đại l ợng ngẫu nhiên rời rạc X
ta dùng bảng phân phối xác suất nh sau:
X
P(X= xi)
x1
P1
x2
P2xm
Pm
Trong đó Pi = 1; Pi > 0 với i = 1; 2; 3; m.
VI.3.2. Đại l ợng ngẫu nhiên liên tục (một chiều)
Nếu tập các giá trị đại l ợng ngẫu nhiên X nhận lấp đầy một khoảng nào
đó, khi đó đại l ợng ngẫu nhiên X đ ợc gọi là đại l ợng ngẫu nhiên liên tục.
Để mô tả đại l ợng ngẫu nhiên liên tục ng ời ta dùng khái niệm hàm mật
độ.
Hàm P(x) đ ợc gọi là hàm mật độ của đại l ợng ngẫu nhiên X nếu thoả
mãn hai điều kiện sau:
1. P(x) 0 với x (-; +)
+
2.

P(x)dx = 1
VI.3.3. Véc tơ ngẫu nhiên (đại l ợng ngẫu nhiên nhiều chiều)
Giả sử X = (X1, X2, . . . .XZ) trong đó Xi (với i = 1, 2, . . . , z) là các biến

theo công thức (1.22):
pi =
Trong đó:
mi là tần số của giá trị xi.
mi
n
(1.22)
n là số giá trị X của tập số liệu.
pi là tần suất xuất hiện giá trị xi, khi n thì pi Pi (Pi xác suất
xuất hiện giá trị xi).
VI.3.4.1.2. Số Trội (Mode)
Số trội (Mode) là số có tần suất lớn nhất (số có tần số xuất hiện nhiều
nhất) trong tập số liệu.
VI.3.4.1.3. Khoảng của tập số (R)
Khoảng của tập số (R) là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của tập số. Khoảng của tập số đ ợc tính theo công thức (1.23):
(1.23)R = xmax - xmin
22