§ PHAÀN MOÄT

§ § MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ SUNG VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

1. 1 Định lí Menelaus
□ Định lý
Cho tam giác ABC và 3 điểm M , N , P lần lượt thuộc BC , CA , AB .
Khi đó M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi:















































































































 
2. 2 Định lý Ceva sin
□ Định lý

Cho góc xOy và các điểm A , B , C thuộc Ox ; D , E , F thuộc Oy .
Khi đó AD , BE , CF đồng quy khi và chỉ khi: ( OABC ) = ( ODEF ) .

2 Bổ đề trên bạn đọc tự chứng minh , bây giờ ta sẽ trở lại bài toán.
Kí hiệu : 

là phép chiếu xuyên tâm E .
Gọi T, Q lần lượt là giao điểm của BX và AZ ; CX và BZ .
Sử dụng bổ đề trên thì ta sẽ cần chứng minh : ( BTMX ) = ( BZPQ )

• Trường hợp a // b Chứng minh nhờ Thales
• Khi a không song song với b . Gọi S là giao của a và b.
Ta thấy : Với : F
A
: ( BTMX ) = ( SZYX ) với F
C
: ( SZYX ) = ( BZPQ )
Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

4.2 Một trường hợp đặc biệt của định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh

Ở phần này chúng tôi chỉ dùng hình xạ ảnh để dẫn dắt đến kết quả còn nội dung định lí
và cách chứng minh thì hoàn toàn phù hợp với kiến thức hình THCS !
Ta có kết quả sau liên quan đến hình xạ ảnh : Các đường thẳng song song với nhau
thì gặp nhau tại một điểm ở vô cực và ngược lại .
Vận dụng vào định lí Pappus ở trên , cho các điểm A , B , C ra vô cực
thì theo kết quả về hình xạ ảnh ta có YM // ZN ( Vì YM , ZN cùng đi qua một điểm (A)

3

Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác APN , BPM và CMN đồng quy.

9. Công thức Carnot
□ Định lý
Cho ΔABC nội tiếp ( O , R ). Gọi x , y , z lần lượt là khoảng cách từ O đến BC ,
AC , AB. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Ta có :
a. Nếu Δ ABC nhọn thì công thức carno là : x + y + z = R + r .
b. Nếu 

 

thì công thức carno là : y + z  x = R + r .

10 . Định lí Carnot
□Định lý
Cho ΔABC gọi M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC , CA , AB .
d
M
, d
N
, d
P
. lần lượt là các đường thẳng đi qua M , N , P và vuông góc
với BC , CA , AB . d
M
, d
N
, d


13 . Định lí Euler về khoảng cách giữa tâm hai đường tròn nội ngoại tiếp tứ giác ( Định lí Fuss )
□ Định lí
Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp ( O , R ) vừa ngoại tiếp ( I , r ) .
Đặt d = OI . Khi đó ta có:

















14. Định lí Casey ( Định lí Ptolemy mở rộng )
□ Định lí
Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( O , R ) . Đặt các đường tròn  ,  ,  , 
là các đường tròn tiếp xúc với ( O ) tại các đỉnh A , B , C , D.
Đặt : 

là độ dài đoạn tiếp tuyến chung của hai đường tròn  ,  .
Trong đó 
































Một đường tròn ( O' ) tiếp xúc với hai cạnh MA và MC tại E và F đồng thời tiếp xúc
với cả đường tròn ( O ) tại K . Khi đó ta có tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
nằm trên đường thẳng EF.
18 . Định lí Thébault
□ Định lí
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) . là một điểm nằm trên cạnh BC.
Đường tròn tâm P tiếp xúc với 2 đoạn AD , DC và tiếp xúc trong với ( O ) .
Đường tròn tâm Q tiếp xúc với 2 đoạn AD , DB và tiếp xúc trong với ( O ) .
Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC. Ta có : P , I , Q thẳng hàng .

19 . Công thức Jacobi liên quan đến tâm tỉ cự , định lí Lebnitz
19 . 1 Công thức Jacobi
Nếu I là tâm tỉ cự của hệ điểm : A
1
, A
2
, , A
n
ứng với các hệ số
a
1
, a
2
, , a
n
thì với mọi điểm M trên mặt phẳng ta đều có:





Giá trị nhỏ nhất của biểu thức








( với các kí hiệu như phần trên )
đạt được khi : M  I .

20 . Định lí Newton cho tứ giác ngoại tiếp
□ Định lý
Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn ( O ) .
Khi đó trung điểm hai đường chéo AC , BD và tâm O thẳng hàng. 21 . Định lí Breichneider ( định lý hàm số cos cho tứ giác )
□ Định lý
Cho tứ giác ABCD có độ dài các cạnh AB , BC , CD , DA
lần lượt là a , b , c , d và độ dài hai đường chéo AC , BD là m , n.
Khi đó ta có: m
2
. n
2
= a
2
. c
2





là các vectơ có độ dài bằng các cạnh A
1
A
2
, A
2
A
3 ,
, A
n
A
1 5

tương ứng vuông góc với các cạnh ấy và hướng ra phía ngoài đa giác .
Thế thì : 









□Định lí
Trong tam giác đều ABC ta lấy 1 điểm S .Ta sẽ có tổng các khoảng cách
từ điểm S tới ba cạnh sẽ có độ dài bằng một đường cao của tam giác .

25 . Công thức Lagrange mở rộng
□ Định lý
Gọi I là tâm tỉ cự của hệ điểm { A
1
, A
2
, , A
n
}
ứng với các hệ số : a
1
, a
2
, , a
n
thì với mọi điểm M :











Gọi N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng
BC , CA , AB thì chúng cùng thuộc một đường thẳng
( đây gọi là đường thẳng Simson ) .

27 . Đường thẳng Steiner
Định lí
Cho Δ ABC và điểm D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tâm O của tam giác.
Gọi A
2
, B
2
, C
2
lần lượt là điểm đối xứng với của D qua các đường thẳng
BC , CA , AB thì chúng cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng này
đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Đường thẳng đó được gọi là
đường thẳng steiner ứng với điểm D của tam giác ABC .
Còn điểm D được gọi là điểm anti steiner. 28 . Điểm Anti Steiner ( Định lí Collings )
□ Định lí 1
Cho Δ ABC và đường thẳng d đi qua H trực tâm của tam giác ABC .
Gọi d
a
, d
b
, d
c
lần lượt là đường thẳng đối xứng của d qua BC , AC , AB .

Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều BMC , CNA , APB và gọi
D , E , F lần lượt là tâm của ba tam giác ấy . Khi đó ta có tam giác DEF đều .

30 . Định lí Morley
□ Định lí
Trong tam giác ABC . D , E , F lần lượt là giao điểm của các đường
chia ba góc trong và cùng kề các cạnh tam giác ABC.
Khi đó ta có tam giác DEF đều và được gọi là tam giác Morley.

31 . Định lí con bướm với đường tròn
□ Định lí
Cho đường tròn ( O ) và dây cung AB . I là trung điểm của AB.
Qua I vẽ hai dây cung tùy ý MN và PQ sao cho MP và NQ
cắt AB tại E , F . Khi đó I là trung điểm của EF.

32 . Định lí con bướm với cặp đường thẳng
□ Định lí
Cho Δ ABC . Lấy I là trung điểm của BC . Qua I kẻ các đường thẳng Δ
cắt AB , AC tại N , Q , đường thẳng Δ’ cắt AB , AC tại P , M .
Gọi MN , PQ cắt BC tại F , E . Khi đó ta có I là trung điểm của EF

33 . Định lý Desargues
□ Định lý
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó AA' , BB' , CC' đồng quy
khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA và C'A' , AB và A'B' thẳng hàng . 34 . Định lí Blaikie
□ Định lí
Cho tam giác ABC và đường thẳng d sao cho d cắt BC , CA , AB


38 . Mở rộng của định lí Blanchet
□ Định lí
Cho tam giác ABC, lấy T , E , F lần lượt thuộc các đoạn BC , CA , AB
sao cho 3 đường thẳng AT , BE , CF đồng quy tại một điểm .
Gọi L là giao điểm của AT và EF . Gọi H là hình chiếu của L xuống BC.
Chứng minh rằng HL là phân giác của 

.

39 . Định lí Jacobi
□ Định lí
Cho tam giác ABC và các điểm A
1
, B
1
, C
1
trên mặt phẳng sao cho:






  





Cho tam giác ABC . ( d ) là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng .
Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là hình chiếu của A , B , C trên ( d ) .
Gọi A
2
, B
2
, C
2
lần lượt là hình chiếu của A
1
, B
1
, C
1
trên BC , CA , AB .
Khi đó A
1
A
2
, B
1
B
2
, C














44 . Khái niệm hai điểm đẳng giác
Định lí

8

Cho tam giác ABC. M là một điểm nằm trong tam giác.
1. Khi đó các đường thẳng đối xứng với AM , BM , CM qua tia phân giác
đồng quy tại M' . M' được gọi là điểm đẳng giác của M .
2. Lần lượt đặt D , E , F và D' , E' , F' là chân các đường cao hạ từ M và M'
xuống BC , AC , AB .
a . Khi đó D , E , F , D' , E' , F' cùng thuộc một đường tròn tâm O .
Và O là trung điểm của M và M'.
b . Khi đó cũng có AM’  .
và AM  .

của P là P
a
, P
b
, P
c
. Lấy P
a
làm tâm vẽ đường tròn đi qua Q cắt BC tại A
1
, A
2
.
B
1
, B
2
, C
1
, C
2
định nghĩa tương tự .
Khi đó A
1
, A
2
, B
1
, B
2


























































Và 2 hệ thức tương tự .

51 . Định lí Pithot
□ Định lí

lấy điểm D , E sao cho : 







. Tính 



56 . Định lí Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp
□ Định lí
Cho Δ ABC các đường tròn bàng tiếp góc A , B , C tiếp xúc với 3 cạnh lần lượt tại
M , N , P , Q , R , S . Các đường thẳng qua MN , PQ , RS giao nhau tại
A
1
, B
1
, C
1
Các đường thẳng qua NP , QS , MS giao nhau tại A
2
, B
2
, C
2
.
Chứng minh rằng các bộ ba điểm : ( A , A

Cho tam giác đều ABC nhận ( O ) là đường tròn ngoại tiếp .
Khi đó với mọi điểm S nằm trên ( O ) thì một trong 3 đoạn SA , SB , SC
có một đoạn có độ dài bằng tổng độ dài hai đoạn còn lại .

60 . Định lí Bottema
□ Định lí
Về phía ngoài tam giác ABC ta dựng hai hình vuông ABDE , ACFG .
Gọi M là trung điểm DF. Thế thì Vị trí điểm M không phụ thuộc
vào vị trí điểm A và tam giác MBC vuông cân tại M.

61 . Định lí Pompeiu
□ Định lí
Cho tam giác ABC đều ,và một điểm D trên mặt phẳng tam giác .
Khi đó luôn tồn tại một tam giác với độ dài các cạnh là DA , DB , DC .

62 . Định lí Zaslavsky
□ Định lí
Cho ΔABC và điểm O .Tam giác A
1
B
1
C
1
là ảnh của Δ ABC qua phép đối xứng
tâm O . Từ A
1
, B
1
, C
1


65 . Định lí Mairon Walters
□ Định lí
Cho tam giác ABC và các đường thẳng chia 3 cạnh đối diện như hình vẽ.
Chứng minh rằng : 







66 . Định lí Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp,bàng tiếp trong tam giác vuông
□ Định lí
Cho tam giác ABC có r , r
a
, r
b
, r
c
lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp
bàng tiếp góc A , B , C . Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông tại A
khi và chỉ khi : r
a
= r + r
b
+ r
c
.


• Chú thích





 








,




 







C
2
đồng quy khi và chỉ khi AA
2
, BB
2
, CC
2

đồng quy hoặc các giao điểm của AA
2
, BB
2
, CC
2
với 3 cạnh tam giác thẳng hàng.
69 . Định lí Monge & d'Alembert I
□ Định lí
Cho 3 đường tròn ( A , R
1
) , ( B , R
2
) , ( C , R
3
) có bán kính khác nhau
và không chứa nhau .Tiếp tuyến chung ngoài của mỗi đường tròn giao nhau
lần lượt tại M , N , P . Chứng minh rằng : M , N , P thẳng hàng .

*Chú thích : 


1
) , ( B , R
2
) , ( C , R
3
) có bán kính khác nhau
và không chứa nhau .Tiếp tuyến chung trong của (A) và (C), (B) và (C)
giao nhau lần lượt tại N , M tiếp tuyến chung ngoài của ( A ) và ( B )
giao nhau tại M . Chứng minh rằng : M , N , P thẳng hàng .

71. Định lí Steiner về bán kính các đường tròn
□ Định lí
Chứng minh rằng trong tam giác ta có : r
a
+ r
b
+ r
c
= 4R + r

72 . Định lí Bellavitis
□ Định lí
Cho tứ giác ABCD là tứ giác điều hoà kí hiệu :


  

  

 

2
) ]
tương đương với : 
































79 . Điểm Schiffler
□ Định nghĩa
Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Khi đó 4 đường thẳng Euler của các tam giác IBC , IAC , IAB , ABC
đồng quy tại điểm Schiffler của tam giác .
80 . Điểm Feuerbach
□ Bài toán
Trong một tam giác , đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó ,
và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên .

81 . Điểm Gergonne,điểm Nobb, đường thẳng Gergone
□ Kết quả về điểm Gergonne
Tam giác ABC với đường tròn nội tiếp ( I ) .Tiếp điểm của ( I ) trên BC , CA , AB
lần lượt là D , E , F . Khi đó AD , BE , CF đồng quy tại một điểm
gọi là điểm Gergonne của tam giác ABC .

□ Kết quả về điểm Nobb và đường thẳng Gergonne ( Vẫn với các kí hiệu trên )
Một tam giác không cân có 3 điểm Nobb tương ứng là giao điểm của các cặp

13

đường thẳng EF và CB , DE và AB , DF và AC. Và 3 điểm Nobb cùng nằm trên
một đường thẳng gọi là đường thẳng Gergonne của tam giác ABC.
Hướng dẫn
Xét cực và đối cực đối với ( I ) .
Đường đối cực của A là EF đi qua M,nên đường đối cực của M đi qua A .

đồng quy tại điểm Konista của tam giác.
83 . Điểm Feuerbach
□ Bài toán
Trong một tam giác ,đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp của nó,
và tiếp điểm đó được gọi là điểm Feuerbach của tam giác trên .

14

§ PHẦN HAI

ở vị trí nào thì A’D’ và B’C’ song với nhau.
Bài 4 ( KỲ THI LẦN VI – 1967 )
Cho một đường tròn ( L ) tâm O nội tiếp trong hình thoi ABCD.
Một tiếp tuyến biến thiên của đuờng tròn ( L ) cắt các đường thẳng AB , AD , BC , CD
theo thứ tự ở các điểm M , N , P , Q .
1. Hãy đốn nhận hệ thức giữa hai đoạn thẳng BM và DN; chứng minh hệ thức đó.
Trên hình vẽ còn những hệ thức nào đáng chú ý ? ( càng phát hiện được nhiêu càng tốt ).
2. Bốn đường tròn cùng đi qua O và theo thứ tự có tám là A , B , C , D cắt bốn đoạn thẳng
AB , BC , CD , DA ở tám điểm Hãy xét xem hình tám cạnh lồi nhận tám điểm đó làm đỉnh
có tính chất gì đặc biệt , chứng minh tính chất đó. Áp dụng vào việc dựng hình tám cạnh đều.
3. Hãy phát biểu một bài tốn trong khơng gian bằng cách cho hình vẽ của bài tốn trên đây
quay quanh trục AC
Bài 5 ( KỲ THI LẦN VII – 1968 )
Cho một đường tròn cố định O bán kính r. Một tam giác biến thiên ABC ln ln ngoại tiếp
đường tròn đó và có đỉnh A chạy trên một đường thẳng cố định x , còn hai đỉnh B và C
thì chạy trên một đường thẳng cơ' định y song song với x .
1. Cho trước đường tròn O , hai đường thẳng x , y và góc A , hãy dựng tam giác ABC.
Biện luận.
2. Tính các góc B và C theo góc A , bán kính r và khoảng cách h giữa hai đường thẳng x , y.
 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG TRONG KỲ THI VÔ ĐỊCH TOÁN QUỐC GIA 15

Biện luận. Áp dụng bằng số : r ≈ 1 , 35 ; h ≈ 3 , 24 ; A ≈ 51°24’.
3. Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hai đoạn thẳng IB và IC
( I là tiếp điểm của đường tròn O với đường thẳng y ) ?
Có cách gì để đoán nhận ra mối quan hệ đó mà chưa cần chứng minh gì cả ?
Hãy chứng minh điều đoán nhận đó.
Từ hộ thức giữa IB và IC hãy cô' gắng phát hiện ra những hệ thức
1. Cho một vòng tròn cô' định tâm O bán kính R , với hai đường kính vuông góc
cô' định AB, CD và tiếp tuyến At tại điểm A . Một điểm M chạy trên vòng tròn đó ,
các đường thẳng BM và DM cắt At theo thứ tự ở P và Q .
1. Khi M chạy trên vòng tròn thì P và Q luôn luôn có môi liên hệ sau đây :
khoảng cách giữa haỉ điểm P, Q là tỉ lệ thứ tư của ba đoạn AP , AQ và đường kính.
Sau đó tìm cách diễn tả mối liên hệ này bằng một công thức đơn giản nhất.
2. Dùng thước và compa dựng điểm M sao cho BQ và DP song song với nhau.
3. Hai đường thẳng OP và BQ cắt nhau ở N. Dự đoán quỹ tích của N rồi chứng minh.
4. BP và BQ cắt tiếp tuyến ở điểm D theo thứ tự ở P’ và Q’.
Có nhận xét gì vê mối quan hệ giữa P’ và Q’ Chứng minh nhận xét đó.
DP và DQ cắt đường thảng BC ở P” và Q”. Có nhận xét gì về mốì quan hệ giữa P” và Q”.
Chứng minh nhận xét đó .
Bài 8 ( KỲ THI LẦN XI – 1972 )
Cho một tam giác ABC và một đường thẳng d đi qua đỉnh A và không song song với BC.
1. Người ta dựng hình bình hành CEFG sao cho các đỉnh E , F , G theo thứ tự nằm trên
các đường thẳng d , AB , BC và sao cho CE song song với trung tuyến AI của tam giác ABC,
sau đó lại dựng hình bình hành EAKH sao cho các đỉnh K , H theo thứ tự nằm trên

16

các đường thẳng AB và BC. Hai đường thẳng BC và d cắt nhau ở điểm U.
Người ta lấy điểm V trên đường thẳng d đối xứng với U qua A








không đổi.
Tam giác ABC phải thỏa mãn điếu kiện gì để cho R và S chạy với những vận tốc bằng nhau
( khi M chạy trên đường thẳng PQ ) ?
3. Ta lấy điểm K đốì xứng với điểm H qua tâm đối xứng M. Đường thẳng đi qua A và vuông góc
với đường thẳng PQ cắt đường thẳng RS ở điểm D. Chứng minh rằng : 




Hãy phát hiện thêm một đẳng thức tương tự.
Bài 10 ( KỲ THI LẦN XIV – 1976 )
Chứng minh rằng với bất kỳ điểm M nào nằm trong tam giác ABC ta đều có:










trong đó d

A3. Đường thẳng PA
i
cắt cạnh đối diện
tại điểm B
i
. Gọi C
i
là trung điểm của A
i
B
i
và D
i
là trung điểm của PB
i
.
Hãy so sánh diện tích của hai tam giác C
1
C2C
3
và D
1
D
2
D
3
.
Bài 15 ( KỲ THI LẦN XXIV – 1981 )
Chứng minh rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi tổng của sin ba góc


2
.
Bài 18 ( KỲ THI LẦN XX – 1982 )
Cho tam giác bất kỳ ABC. Trên ba cạnh của nó dựng ba tam giác đều , sao cho mỗi tam giác
đều đó nằm khác phía với tam giác ABC đối với cạnh chung . Gọi  là tam giác có các đỉnh
là tâm của tam giác đều đó. Tương tự , trên ba cạnh của tam giác A BC dựng ba tam giác đều
sao cho mỗi tam giác đều nằm cùng phía với tam giác ABC đối với cạnh chung.
Gọi ’ là tam giác có các đỉnh là tâm của các tam giác đều vừa dựng .
Chứng minh rằng diện tích Δ ABC bằng hiệu diện tích tam giác  và diện tích tam giác ’ .
Bài 19 ( KỲ THI LẦN XXI – 1983 )
Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ nằm trong tam giác đó. Từ M hạ những đường
vuông góc MA
1
, MB
1
, MC
1
lần lượt đến các cạnh BC , CA , AB .
Tìm quỹ tích những điểm M sao cho số đo diện tích của tam giác A
1
B
1
C
1

bằng số k cho trước . Biện luận.
Bài 20 ( KỲ THI LẦN XXV – 1987 )
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không cùng đi qua một điểm.
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm là giao của hai và chỉ hai trong số n đường thẳng đó.
Bài 21 ( KỲ THI LẦN XXVI – 1988 )
















Bài 25 ( ĐỀ THI NĂM 1990 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M nào đó. Gọi A', B', C'
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các đường thẳng BC, CA, AB.
Tìm quỹ tích những điểm M sao cho MA . MA' = MB . MB' = MC . MC'.
Bài 26 ( ĐỀ THI NĂM 1991, BẢNG A )
Cho tam giác ABC vói trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính R.

18

Các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, c kéo dài cắt đường tròn lần lượt
tại D, E, F. Chứng minh rằng :





2
C)
trong đó A , B , c là ba góc của một tam giác.
Bài 29 ( ĐỀ THI NĂM 1993 , BẢNG A )
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD với các cạnh đối không song song.
Tìm quỹ tích tâm của các hình bình hành MNPQ mà các đỉnh M , N, P , Q
theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA nhưng không trùng với đỉnh nào của tứ giác.
Bài 30 ( ĐỂ THI NĂM 1993 , BẢNG B )
Tính giá trị lớn nhất của diện tích các ngũ giác phẳng lồi ABCDE mà AB + BC = a > 0
cho trước và mỗi cạnh song song với một đường chéo.
Bài 31 ( ĐỂ THI NĂM 1994 , BẢNG A )
Xét tam giác ABC. Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC ,
B' là điểm đối xứng với B qua đường thẳng CA ; C' là điểm đối xứng với C
qua đường thẳng AB. Hãy tìm điều kiện cần và đủ về dạng của tam giác ABC
để tam giác A'B'C' là tam giác đều.
Bài 31 ( ĐỀ THI NĂM 1994 , BẢNG B )
Cho đường tròn tâm Q. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn bàng tiếp
của các tam giác nội tiếp đường tròn tâm Q đó.
Bài 32 ( ĐỀ THI NĂM 1995 , BẢNG A )
Xét tam giác không đều ABC với các đường cao AD, BE, CF.
Lấy các điểm A', B', C' sao cho AA' = k.AD , BB' = k.BE , CC' = k.CF ,
trong đó k là số thực khác không .
1. Với  


chứng minh rằng tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác
ABC và hãy tính tỉ số đồng dạng theo các góc của tam giác ABC.
2. Tìm tất cả các giá trị k  0 sao cho với mọi tam giác không đều ABC
ta luôn có tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC.
Bài 33 ( ĐỀ THI NĂM 1995 , BẢNG B )

tứ giác có chu vi lớn nhất và tứ giác có cha vi nhỏ nhất. Tính các chu vi đó theo R và d .
Bài 36 ( ĐẾ THI NĂM 1999 , BẢNG A )
Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cung BC , CA , AB không chứa các điểm A , B , C
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Các cạnh BC, CA và AB cắt các cặp đoạn thẳng
C’A’ A’B’ ; A’B’, B’C’ và B’C’,C’A’ lần lượt ở các cặp điểm M , N , P , Q và R , S.
Chứng minh rằng : MN = PQ = RS khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 37 ( ĐỂ THI NĂM 1999 , BẢNG B )
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hãy xác định vị trí của điểm P
không thuộc đường tròn và nằm trong mặt phẳng ( ABC ) , để các đường thẳng
PA , PB, PC cắt lại đường tròn lần lượt ở A’ B’,C’ sao cho tam giác A’B’C’
là vuông cân với đáy B’C’.
Bài 38 ( ĐỂ THI NĂM 2000 , BẢNG A )
Trên mặt phẳng cho trước đường tròn (O
1
) tâm O
1
bán kính r
1
và đường tròn ( O
2
)
tâm O
2
bán kính r
2
. Trên đường tròn (O
1
) lấy một điểm M
1
và trên đường tròn ( O

QM
2
luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 39 ( ĐỀ THI NĂM 2001 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng cho đường tròn (O
1
) tâm O
1
và đường tròn ( O
2
) tâm O
2
cắt nhau
tại hai điểm A , B với P
1
P
2
là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó (P
1
 (O
1
)
P
2
 (O
2
)) . Gọi M
1
và M
2

không tiếp xúc vói các đường thẳng AB , AC và có tâm O nằm trên đường thẳng BC.
Gọi M , N tương ứng là giao điểm thứ hai của đưòng tròn ( O ) với các đường thẳng
AB , AC . Hãy tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN.
Bài 41 ( ĐỀ THI NĂM 2002 , BẢNG B )
Trong mặt phẳng , cho hai đường tròn cố định ( O, R
1
) tâm O bán kính R
1
và ( O, R
2
)
tâm O bán kính R
2
với R
1
> R
2
. Một hình thang ABCD (AB // CD ) thay đổi sao cho
bốn đỉnh A , B , C, D nằm trên đường tròn ( O , R
1
) và giao điểm của hai đường chéo
AC , BD nằm trên đường tròn ( O , R
2
) .
Hãy tìm quỹ tích giao điểm P của hai đường thẳng AD và BC .
Bài 42 ( ĐỀ THI NĂM 2003 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định ( O
1
) tâm O
1

Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF và tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O
2
).
Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định , khi A di động
trên đường tròn ( O
2
) sao cho ba điểm O
1
, O
2
, A không thẳng hàng.
Bài 43 ( ĐỀ THI NĂM 2003 , BẢNG B )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên đường thẳng AC
lấy các điểm M , N sao cho 














. Gọi D là hình chiếu vuông góc của M
trên đường thẳng BC,E là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.




và gọi K là trực tâm của tam giác ACD. Gọi E và F tương ứng là hình chiếu vuông góc
của K trên các đường thẳng BC và AB. Chứng minh rằng đường thẳng EF
đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài 46 ( ĐỀ THI NĂM 2005 , BẢNG A )
Trong mặt phẳng , cho đường tròn ( O ) cố định tâm O bán kính R .
Cho A và B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn ( O ) sao cho
ba điểm A , B , O không thẳng hàng.
Xét một điểm C nằm trên đường tròn ( O ) , C không trùng với A và B .
Dựng đường tròn ( O
1
) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng BC tại C .
dựng đường tròn ( O
2
) đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C .
Hai đường tròn ( O
1
) và ( O
2
) cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C.
Chứng minh rằng :
1. CD ≤ R
2. Đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định , khi điểm C di động
trên đường tròn ( O ) sao cho C không trùng với A và B .
Bài 47 ( ĐỂ THI NĂM 2005 , BẢNG B )
Trong mặt phẳng , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I .
Gọi M , N và P lần lượt là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A ,
đường tròn bàng tiếp góc B và đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác đó.

1. Điểm N di động trên một đường tròn cố định .
2. Đường thẳng MN luôn di qua một điểm cố định.
Bài 49 ( ĐỀ THI NĂM 2006 , BẢNG B )
Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Xét một điểm M di động
trên đường thẳng CD sao cho M không trùng với c và với D.
Gọi N là giao điểm thứ hai khác M của đường tròn đi qua ba điểm ( B , C , M )
và đường tròn đi qua ba điểm ( D, A , M ). Chứng minh rằng :
1. Điểm N di động trên một đường tròn cố định ;
2. Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 50 ( ĐỀ THI NĂM 2006 , BẢNG B )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đưòng tròn tâm O và có BC > AB > AC.
Đường thẳng OA cắt đường thẳng BC tại điểm A1 ; đường thẳng OB cắt
đường thẳng CA tại điểm B
2
. Gọi B
1
, C
1
, C
2
và A
2
tương ứng là tâm của
các đường tròn đi qua ba điểm (A , A
1
, B ) , ( A , A
1
, C ) , ( B , B
2
, C)

Bài 51 ( Đề thi năm 2007 )
Cho Δ ABC có hai đỉnh B , C cố định và đỉnh A thay đổi .
Gọi H , G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của Δ ABC .
Tìm quỹ tích điểm A , biết rằng trung điểm K của HG thuộc đường thẳng BC .
Bài 52 ( Đề thi năm 2007 )
Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC và nội tiếp đường tròn ( O ) tâm O .
Gọi P là một điểm thay đổi trên đường thẳng BC và nằm ngoài đoạn BC sao cho PA
Không là tiếp tuyến của đường tròn ( O ) . Đường tròn đường kính PD cắt ( O ) tại E
( E khác D ) . Gọi M là giao điểm của BC với DE , N là giao điểm khác A của PA
với ( O ) . Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định .
Bài 53 ( Đề thi năm 2008 )
Cho Δ ABC có góc 

là góc nhọn , trong đó E là trung điểm của cạnh AB .
Trên tia EC lấy điểm M sao cho 



. Ký hiệu α là số đo của góc 


Tính tỷ số MC / AB theo α .
□ Bài toán tổng quát
Cho Δ ABC . Gọi E là trung điểm của cạnh AB . Trên tia EC lấy điểm M
sao cho 



. Ký hiệu α là số đo của góc 


Đường thẳng PA cắt ( O ) tại điểm thứ hai C . Gọi D là điểm đối xứng với C qua O
Đường thẳng PD cắt ( O ) tại điểm thứ hai E .
1. Chứng minh rằng các đường thẳng AE , BC và PO cùng đi qua một điểm .
Gọi điểm đó là M .
2. Hãy xác định vị trí của điểm P sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất .
Tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính của đường tròn ( O ) .
Bài 57 ( Đề thi năm 2011 )
Cho ΔABC không cân tại A và có các góc 



là các góc nhọn .
Xét một điểm D di động trên cạnh BC sao cho D không trùng với B , C
và hình chiếu vuông góc của A trên BC . Đường thẳng d vuông góc với
BC tại D cắt các đường thẳng AB và AC tương ứng tại E và F .
Gọi M , N và P lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các Δ AEF , BDE và CDF .
Chứng minh rằng bốn điểm A , M , N , P cùng nằm trên một đường tròn khi
và chỉ khi đường thẳng d đi qua tâm đường tròn nội tiếp ΔABC .

Bài 58 ( Đề thi năm 2012 )
Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có các cặp cạnh đối
không song song . Gọi M , N tương ứng là giao điểm của các đường thẳng AB và CD
AD và BC . Gọi P , Q , S , T tương ứng là giao điểm các đường phân giác trong của các
cặp góc 

và 

, 

và 

3
) , ( I
4
) là bộ đường tròn ( 
1
) .
Bốn điểm I
5
, I
6
, I
7
, I
8
thẳng hàng trên đường thẳng ( l )
Ta gọi bốn đường tròn ( I
5
) , ( I
6
) , ( I
7
) , ( I
8
) là bộ đường tròn ( 
2
)
Đồng thời ( d ) vuông góc với ( l ) .