Bất đẳng thức - ducduyspt
1
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BẤT ĐẲNG THỨC
Bất đẳng thức - ducduyspt
2
PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng định nghĩa và biến đổi
tương đương.
1.Cơ sở lí thuyết:
Ta sử dụng một số biến đổi sơ cấp để đưa bất đẳng thức cần phải chứng minh
về một bất đẳng thức mới mà bất đẳng thức mới luôn đúng hoặc có thể chứng
minh được đúng.
2.Một số ví dụ minh họa
Ta có thể biến đổi tương đương trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ rồi biến đổi tương
đương
A.Biến đổi tương đương trực tiếp
VD1: Cho a,b,c>0.Cmr:
22
2
22
2
22
2
b
a
0)()()(
22
2
22
2
22
2
b
a
c
b
a
c
a
c
b
a
acac
babcabcb
cbcb
acabcaba
0
))((
)()(
))((
)()(
))((
)()(
222222
1
))((
1
)(
))((
1
))((
1
)(
22222222
babaacac
cbbc
acaccbcb
baab
0
))((
1
))((
1
)(
2222
0
))((
1
))((
1
)(
2222
acaccbcb
baab
Nếu
ba
thì:
acaccbcb
baab
Như vậy ta luôn có:
0
))((
1
))((
1
)(
2222
))((
1
))((
1
)(
2222
cbcbbaba
acca
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên
(2) luôn đúng với a,b,c>0
đpcm.
VD2: Cho
1;0,, cba .Cmr: 1)1)(1)(1(
1
cbaS
c
S
a
a
S
a
c
b
a
1
(1)
c
S
b
b
S
ba
bac
0
1
1)1)(1(
)1(
b
a
baabba
c
0
0
1
))(1(
)1(
b
a
baab
c
.Điều này luôn đúng vì
1;0,, cba
.
Từ (1),(2),(3)
1
1
)1)(1)(1(
1
1
1
b
a
đpcm.
VD3:
Cho
nn
nn
axaxaxaxp
1
1
10
)(
có n nghiệm phân biệt,
nn ,2 .
Chứng tỏ:
20
2
1
2)1( nnan
(1)
Giải
(1)
:
a
a
xxxA
n
và
0
2
13221
:
a
a
xxxxxxB
nn
Ta có:
BxxxxxA
n
i
i
n
ji
ji
ji
n
i
nBBxn
n
i
i
2)2)(1(
1
2
n
i
i
Bxn
1
2
2)1(
n
), ,,(
21 n
xxx và )1, ,1,1( .Dấu bằng không xảy ra vì:
1
1
1
21 n
xxx
(các nghiệm của p(x) phân biệt).
(1) luôn đúng
đpcm.
B.Đặt ẩn phụ sau đó biến đổi tương đương
VD1: CMR: cba ,,
ta có
333333444666666
)(23 cbacbacbaaccbba
(1)
Giải
(1)
)(23
x
222
,,
.Ta có: xyz=1
Khi đó (2) trở thành: )(23
111
222
zyx
zyx
0)1()1)(1(2)
11
(
22
xyyx
yx
(3)
Vì xyz=1 nên tồn tại 2 số nhỏ hơn hay bằng 1 hoặc 2 số lớn hơn hay bằng 1
0)1)(1(
yx
(3) luôn đúng
Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.
1
cos
cos1
cos
cos1
cos
cos1
C
C
B
B
A
A
(2)
Bất đẳng thức - ducduyspt
5
Đặt
2
tan,
2
tan,
2
tan
C
2
2
2
2
2
2
z
z
z
z
y
y
y
y
xyz
z
z
y
y
x
x 1
1
2
1
2
1
2
222
2
tan
2
tan
2
tan
1
tantantan
CBA
cot
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA
Từ đó (3)
2
cot
2
cot
2
cottantantan
CBA
CBA
2
tan
2
tan
2
tantantantan
CBA
BA
2
cot2
2
tan2tantan
ACB
CB
2
cot2
2
tan2tantan
BAC
AC
Cộng vế với vế ta có: )
2
tan
2
tan
2
(tan2)tantan(tan2
Bất đẳng thức - ducduyspt
6
(1)
0))((
mmnn
baba luôn đúng do a,b cùng dấu và m,n là các số tự nhiên
cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Bài 2: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 1,,0
cba .Cmr:
accbbacba
222222
1 (1)
HD: (1)
1)1()1()1(
222
accbba
Mà
)1()1()1()1()1()1(
222
accbbaaccbba
cabcabcba
a
b
a
b
a
b
Đặt
a
b
t
khi đó
)1(4)1)(1)(1(
632
tttt
Bài 4: Cho
cab
ab
ab
ab
cab
ab
ab
ab
22
HD: áp dụng vd1.A
PHƯƠNG PHÁP 2:Sử dụng tam thức bậc hai
1.Cơ sở lí thuyết:
Xét )0()(
2
acbxaxxf , : acb 4
2
Xuất phát từ đồng nhất thức
2
2
4
)
a
xxf
Định lí 3:
0
0
0)(
a
xxf
Bất đẳng thức - ducduyspt
7
Định lí 4:
0
0
0)(
a
A
ta viết biểu thức
B
A
thành tam thức bậc hai theo một
biến số nào đó .Sau đó dựa vào các định lí về dấu của tam thức bậc hai suy ra
điều phải chứng minh.
2.Các ví dụ minh họa
VD1: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: 36
3
a và 1
abc
Cmr: cabcabcb
a
22
2
3
(1)
Giải
(1)
0
3
3)()(
2
0
3
12
3
412
22
2
a
a
a
a
a
(do
36
3
a
). Theo định về dấu tam thức bạc hai (3) luôn đúng.
(1) luôn đúng.
đpcm.
VD2: Giả sử CBA ,, là 3 góc của một tam giác không cân tai C.Biết rằng phương
trình :
0sinsin)sin(sin)sin(sin
2
CBxACxBA
(1)
a
c
x
sin
sin
sinsin
2
Vì (1) có đúng một nghiệm thực nên
21
xx
1
sin
sin
sinsin
B
A
CB
BCA sin2sinsin
2
1
2
sin0
B
0
30
2
B
0
60B
đpcm.
VD3: Cho ABC
có độ dài 3 cạnh là a,b,c và diện tích S.Khi đó ta có:
Bất đẳng thức - ducduyspt
8
22222
)4()34( abScba )434)(434(
222222
abScbaabScba
Theo định lí côsin:
Cabbac cos2
222
Cabcba cos2
222
Xét SCabScba 34cos234
222
CabSCab sin
2
1
34cos2
)sin3(cos2 CCab
áp dụng Bunhiacopski ta có:
Dấu ‘=’ xảy ra
3
sin
1
cos
CC
3tan C
0
120C
VD4: Cho ABC
có độ dài 3 cạnh là a,b,c.Cmr:
)(12)(15)(2012152050
222222333
bacacbcbacbaabc (1)
Giải:
Theo định lí hàm số cos ta có:
Abcacb cos2
222
CBA
025cos245)cos6cos8(5
2
CBA
(2)
Coi 5 là ẩn có: 100)cos(96cos36coscos9664
22
BABBAAsos
100sinsin96coscos96cos36coscos96cos64
22
BABABBAA
100sinsin96sin36sin64100
22
BABA
0)sin6sin8(
2
BA
(2) luôn đúng.
a
c
yx
Giải
Từ giả thiết
0
22
ba
0
0
b
a
Không mất tính tổng quát ta giả sử:
0
b
Từ (1)
b
Đặt
2222
2)()( cacxxbaxf
Có
0
22
ba
22
22
22
)()(
b
a
cb
b
a
ac
fxf
dc với
cba ,,
CMR:
4
269
cdbdac
Giải
Đặt cdbdacS
Từ 3
dc
cd
3 .Nên )3()3( cccbacS
bcbac 3)3(
2
bab
S
4
11)(6)(
2
baba
S
Đặt
bat
2)(2)(
2222
babat
22 t
i
ii
n
i
i
n
i
i
baba
1
2
1
2
1
2
)())((
.Dấu bằng xảy ra khi nào?
(Bất đẳng thức Bunhiacopski)
Bất đẳng thức - ducduyspt
10
HD: Xét xbxaxf
n
i
ii
0)()(
1
đpcm.
Bài 2: Cho ABC
.Cmr x
ta đều có:
)cos(coscos
2
1
2
CBxA
x
(1)
HD: (1)
xAxCBx 0)cos1(2)cos(cos2
2
Cm:
0
2
sin4
2
cos
2
cos4
222'
4
4
zxyzxy
zyx
(1)
Cmr:
3
8
,,0 zyx
HD:
(1)
)(4
4
zyxyz
xzy
cos
1
cos
1
222
(1) với 0,,
zyx
HD:
Đưa (1) về bất phương trình bậc hai với ẩn là x và chứng minh cho
0
Bài 7: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Cmr nếu 0
czbyax thì
0
cxybzxayz
Bài 8: Cho
ABC
với 3 cạnh a,b,c và 3 đường cao
cba
cba
cba
hc
bac
hb
acb
ha
cba
ba
hcc
ac
hbb
cb
haa
p
2
)(
2
)(
2
)(
.Dấu bất đẳng thức xảy ra khi
n
aaa
21
2.Các ví dụ minh họa
VD1. Cho a,b,c>0 và
4
3
cba .CMR:
a, 3333
333
accbbaT
b,
3
333
23777 accbbaS
Giải
a, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+3b,1,1:
Ta có:
3
113
3
3
ba
ba
cba
accbbaT
vì
4
3
cba
theo giả thiết.
Dấu bằng xảy ra
4
1
cba
b, Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số dương a+7b,2,2
Ta có:
3
227
47
3
3
ba
ba
333
cba
accbba (vì
4
3
cba )
3
3
333
23
4
6
777 accbbaS .Dấu bằng xảy ra
4
1
cba
VD2: Cho a,b,c là 3 số dương.Cmr
2
3
Ta có: 1113
b
a
c
a
c
b
c
b
a
S
Bất đẳng thức - ducduyspt
12
b
a
cba
a
c
cba
c
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho 3 số dương: a+b,b+c,c+a có:
3
))()((3 accbbaaccbba
Cho 3 số dương
a
c
c
b
b
a
1
,
1
,
1
có:
3
))()((
1
3
111
accbbaaccbba
3 S
2
3
S
đpcm.
Dấu bằng xảy ra
cba
.
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3
2
2
)(
x
xxf
trên khoảng
;0
Giải:
3
2
1
3
x
x
5
3x
Vậy
;0
)(min xf
=
5
27
5
khi
5
3x
VD4: cho a,b,c>0.Cmr:
3
3
1))()(( abcb
a
c
a
c
a
abccb
a
bc
a
b
ac
c
ab
222
1
Áp dụng bđt cauchy cho 0,0,0
a
bc
b
ac
c
ab
và
0,0,0
222
cba
3
3 abc
a
bc
cba .
CMR:
c
b
a
c
c
b
b
a
a
1
1
1
1
1
1
1
a
a
3
1
1
1
1
1
1
222
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Tương tự
4
1
2
1
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
222
cba
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
(do a+b+c=3)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
VD6: Cho a,b,c>0.
Cmr: 1
888
222
4
3
4
3
4
acbaacbaacba
bcacbacba
3
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
8))((
2
3
4
3
2
2
2
8
cba
a
bca
a
Tương tự:
3
4
3
4
3
4
3
4
2
8
cba
b
acb
b
3
b
bca
a
T .
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
VD7: Cho n số dương
n
aaa , ,,
21
.
Cmr:
nn
aaa
n
aaa
1
11
21
2
21
Giải
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho n số dương
Ta có:
0
2121
11
)( ( n
aaa
aaa
n
n
nn
aaa
n
aaa
1
11
21
2
21
.
Dấu bằng xảy ra khi
n
aaa
21
VD8: Cho x,y,z>0.Cmr:
3
x
3
3
3
3
zzx
y
x
z
z
y
z
y
x
z
z
y
z
y
3
3
3
3
xxy
z
y
Bài toán 1: Cho x,y,z>0 và xyz=1.Cmr: zyx
x
z
z
y
y
x
Bài toán 2: Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.Cmr:
3
1
xyz
x
z
z
y
y
x
Bài toán 3: Chứng minh 0,,
zyx có:
3
2)1)(1)(1(
xyz
zyx
x
z
z
zyx
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
222
Mà
2
3
2
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
x
2
1
1
1
2
2
x
x
x
.Vậy
2
1
1
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1.
VD2: Cmr mọi số dương có tổng bằng 4 thì
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2222
d
d
c
a
b
a
Tương tự suy ra:
2
1
2
1
2
1
2
1
dda
d
dcd
c
cbc
b
bab
aS
4
2
)(
4
dacdbcabdcba
S
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1.
4.Bài tập đề nghị:
Bài 1:Cho 0,
ba .Cmr: )(4)(
333
ca
bc
ab
Áp dụng b đt cauchy cho 3 số dương:
ab
b
a
2
3
8
111
33
bc
c
b
2
3
8
111
33
ca
a
c
2
3
2
2
3
bababa
Bài 5: Cho
3
0,,
c
b
a
cba
.Cm:
3
1
1
1
1
1
1
222
ab
a
b
ba
a
b
a
Bài 6: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Cmr:
64)
1
1)(
1
1)(
1
1(
c
b
a
HD:
a
3
)( xxxf
Áp dụng bđt cauchy cho 8 số không âm:3 số bằng x
3
5
,5 số bằng 2-x.
Bài 8: Cmr: nếu n số dương
n
aaa , ,,
21
thỏa mãn
1
1
1
1
1
1
1
21
n
aaa
)1()1
1
) (1
1
)(1
1
(
21
B/Bất đẳng thức bunhiacopski:
1.Cơ sở lí thuyết:
Với 2 bộ n số ), ,,(
21 n
aaa và ), ,,(
21 n
bbb ta luôn có:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa (1)
Dấu đẳng thức xảy ra khi ), ,,(
21 n
1
Giải
Nếu
0
22
2
2
1
n
aaa
hoặc
0
22
2
2
1
n
bbb
thì (1) hiển nhiên đúng.
Do vậy chỉ cần xét trường hợp:
0
22
2
2
1
n
222
2
2
2
bxabxbaxa
…………
0)(2
2
2
2
2
nnnnnn
bxabxbaxa
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có:
Bất đẳng thức - ducduyspt
17
0 ) () (
22
2
2
12211
2
22
2
2
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa
Dấu bằng xảy ra khi
0
x sao cho:
nn
bxabxabxa
0101001
n
n
b
a
b
a
b
a
2
2
1
1
21
2
2
2
2
1
2
1
HQ2: Với 2 dãy số ), ,,(
21 n
aaa và ), ,,(
21 n
bbb , nib
i
, ,2,1,0
Ta có:
) () (
22
2
2
1
2
21 nn
aaanaaa Bất đẳng thức bunhiacopski thường được áp dụng để chứng minh bất đẳng thức
đúng với các số thực và thường có dạng sau:
a,
e, mdxcxxbxa
22
sincossincos
f,
M
pxnxm
cxxbxa
sincos
cossincos
g,
Mxf )(
3.Một số ví dụ:
VD1: Cho phương trình 01
234
axbxaxx (1) trong đó Rba
,
Biết (1) có ít nhất 1 nghiệm thực.Cmr:
5
4
22
ba .Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Giả sử (1) có 1 nghiệm thực
b
x
xa
x
x
(3)
Đặt
0
00
1
x
xy .Từ (3)
02
0
2
0
bayy
2
0
2
2
0
)()2( bayy
Bất đẳng thức - ducduyspt
18
Áp dụng bunhiacopski cho 2 bộ số (a,b) và )1,(
y
y
ba
Mặt khác:
4)
1
(
2
0
0
2
0
x
xy
.Đặt
0,4
2
0
tty
5
9
5
t
t
t
5
4
)
25
5
9
1(
5
4
t
t
Do đó:
5
4
22
ba
Dấu bằng xảy ra khi t=0
4
2
0
5
4
,
5
2
,
5
4
22
baba
VD2:
0,,
zyx
,Cmr:
)(6111
222
zyxzyx Giải:
Giả sử hệ quả 2 với 2 dãy số ),,( zyx và )1,1,1( có:
22222
3)(111 zyxzyx
Áp dụng bất đẳng thức cauchy với 2 số dương
2
Ta có
cba
chbhahS
2
1
2
1
2
1
rpr
p
cba
Shhh
cba
1
2
2
)(
2
1111
22
)
111
r
h
h
h
h
h
h
b
a
c
b
a
c
1
222
.Dấu bằng xảy ra khi
cba
hhh
Bất đẳng thức - ducduyspt
19
VD4: Giả sử 1,,
zyx và 2
111
zyx
.
1
,
1
(
z
z
y
y
x
x
Ta có: )
111
)(()111(
2
z
z
y
y
x
x
zyxzyx
Sczbyax
4
2
abc
czbyaxcba
R
cba ))((
2
222222
Luôn có:
cabcabcba
222
))(
111
(
))(())((
222
czbyax
c
b
a
zyx
2
)(
222
2
R
cba
zyx
2
222
Dấu bằng xảy ra khi
zyx
cba
ABC
đều, M là trọng tâm.
)(()
)(
)()(
(
22
2
yxba
xa
yx
x
yxbayx
yxba
yxbaxa
yx
yx
x
)
)(
)(()(
)(
Dấu bằng xảy ra
yxba
yxba
xa
yx
yx
x
::
yxba
xa
yx
x
dãy Rxxx
n
, ,,
21
Giải
Điều kiện cần:
Chọn ), ,,(), ,,(
2121 nn
rrrxxx
1
22
2
2
1
n
rrr
(*)
Điều cần đủ:
Dãy )(
i
r thỏa mãn điều kiện (*) theo bunhiacopski
) )( () (
22
2
2
1
n
rrr
)
2
2211
22
2
2
1
) () (
nnn
xrxrxrxxx
Kết luận điều kiện cần và đủ là:
1
22
2
2
1
n
rrr
4.Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho các số .0,,,,,,,,
321321321
3
2
3
1
3
3
3
3
2
3
1
3
3
3
3
2
3
1
111
3
3
3
2
3
1
3
1
3
3
3
Tương tự có bđt cho 3 số dương có tử số là:
222
,, cba và
333
,, cba
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
3
))()((
)(3
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
3
3
3
2
3
1
333222111
Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm: mikba
iii
, ,2,1),, ,,(
Bất đẳng thức - ducduyspt
21
Thế thì:
) ( )( () (
222111212121
m
m
m
m
m
m
mmmmmm
m
mmm
kbakbakbakkkbbbaaa
5.Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho 0,,
zyx và 1
zyx
Cmr:
4
3
ba
abba
HD: Biến đổi tương đương áp dụng bunhicopski cho 4 số:
bbaa 2,1,1,2
22
Bài 3: a,b,c là 3 số dương cho trước còn x,y,z là 3 số dương thay đổi luôn thỏa
mãn điều kiện: 1
z
c
y
b
x
a
với mỗi số nguyên dương n,hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng: ), ,2,1( nnzyxS
nnn
n
Bài 4: Cho x,y,z>0 cmr:
số nguyên dương n và m ta đều có: mnmnmn
m
n
m
n
n
bbb
aaa21
21
hoặc
n
n
bbb
aaa21
21Thì ta có:
n
bbb
n
aaa
n
bbb
aaa21
21
Thì ta có:
n
bbb
n
aaa
n
bababa
nnnn
21212211
Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp 2 dãy cùng tăng
Gọi
n
aaa
a
n
n
k
k
n
k
kk
111
0
(4) (vì
n
k
k
n
k
k
bnbana
11
;
)
Bất đẳng thức - ducduyspt
22
Vậy (4) tương ứng : 0
11
bababa
nn
nn
2121
2211
n
bbb
n
aaa
n
bababa
nnnn
21212211
Dấu “=” chỉ xảy ra khi có:
0))(( bbaa
kk
Nếu ), ,,(
21 n
Nếu
n
aaa , ,,
21
là các số thực dương có tổng bằng n thì
n
n
nnn
n
nn
aaaaaa
21
11
2
1
1
2.Các ví dụ
VD1: a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 1
222
cba .Cm:
a,
2
1
333
c
b
a
Giải
a, Vì a,b,c có vai trò như nhau.Giả sử cba
222
cba
b
a
c
a
c
b
c
b
a
cba
b
a
c
a
c
b
c
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
vì
1
222
cba
Mà
2
3
b
a
c
a
c
b
c
b
a
Cho
n
aaa , ,,
21
là các số dương thỏa mãn điều kiện:
1
22
2
2
1
n
aaa
Bất đẳng thức - ducduyspt
23
Cmr: a,
1
1
121
3
143
3
2
32
3
1
n
n
aaa
a
aaaa
a
aaa
a
n
n
nn
Giải
a, Áp dụng Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu giảm
), ,,(
22
2
2
1 n
aaa và )
, ,
n
n
n
aaa
a
aaa
a
n
VT
Cm cho
1 121143
2
32
1
n
Giải
Ta trừ tương ứng từng số hạng của 2 vế:
32
)1(3
32
2
2
aa
a
aa
Khi đó (1)
0
32
)1(3
32
)1(3
32
)1(3
32
)1(3
2
2
2
2
b
a
dcba
1111
(1)
0
1111
2222
d
d
c
c
b
b
a
a
0
d
d
d
c
c
c
b
b
b
a
a
a
(2)
Xét hàm: 0,
1
)(
2
x
x
x
xf và
2
3
12
1
)(
.
4
1
).
1111
(
4
1
4
dcba
d
d
c
c
b
b
a
aVT
0
)3(3
)1(
)3(3
33
3
1
3
1
3
11
22
2
22
cc
cc
cc
cc
ccbac
(1)
)3(3
)1(
)3(3
)1(
222
aa
aa
bb
bb
cc
cc
0
3
1
1
3
1
111
cba
Mặt khác a+b+c=3 nên 3,,
cabcab
c
c
b
b
a
a
3
1
1
3
1
1
3
1
1
a
cbaVT
0
VT
đpcm.
4.Bài tập đề nghị
Bài1: Cm 0,,
cba ta có: )(3888
222
cbaabccabbca
HD:
))(83(
))((8
83
d
c
b
a
Bất đẳng thức - ducduyspt
25
HD:
22
11
1
)1(
12
1
12
1
11
1
a
a
a
a
Phương pháp1:
Từ bài toán gốc thêm bớt điều kiện phát triển thành bài toán mới
VD1: Xét bài toán sau:
0,,,
222
cbacba
a
c
c
b
b
a
(1)
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương có: ab
b
a
2
2
ba
b
a
2
2
Tương tự: cb
c
b
a
c
c
b
b
a
T
2
22
Vd1.2: Cho 0,,
cba .Cmr: cba
a
c
c
b
b
a
333
Vd1.3:
222
333
cba
a
c
c
b
3
2
2
2
2
1
b, Cho 0,,
cba và n nguyên dương.Cm: cba
a
c
c
b
b
a
n
n
n
n
n
n
111
Copyright: Tài liệu đại học ©