HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN
KHU VC DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B K YU
HI THO KHOA HC, LN TH III
MÔN TOÁN HC
(TÀI LIU LU HÀNH NI B)
HÀ NAM, THÁNG 11 NM 2010 ===========================================================
4
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
3
LÀM NGC BT NG THC
Nguyn c Vang (THPT chuyên Bc Ninh)
27
4
CHNG MINH BT NG THC BNG CÁCH S DNG BT
NG THC SP XP LI VÀ BT NG THC CHEBYSHEV
ào Quc Huy, T Toán – Tin, Trng THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam
31
5
TÍNH TUN HOÀN TRONG DÃY S NGUYÊN
Ngô Th Hi, trng THPT chuyên Nguyn Trãi, Hi Dng
43
6
NH LÝ PASCAL VÀ NG DNG
Lê c Thnh, THPT Chuyên Trn Phú – Hi Phòng
47
7
HÀM S HC VÀ MT S BÀI TOÁN V HÀM S HC
Trng THPT Chuyên Hng Yên
56
8
MT S BÀI TOÁN S HC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
Trn Xuân áng (THPT Chuyên Lê Hng Phong – Nam nh)
67
9
NH LÍ LAGRANGE VÀ NG DNG
ng ình Sn, Chuyên Lng Vn Ty – Ninh Bình
73
10
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
n th III
-
2010
Toán ca hi trong dp hi tho khoa hc ln th 3. Hy vng rng cun k
yu này s mt tài liu tham kho cho các thày cô!
T TOÁN - TIN
TRNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ - HÀ NAM
===========================================================
6
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
n th III
-
2010
đ s đ li trong lòng Thy cô và các em hc sinh mt n tng tt đp.
Vi mi ví d trong tng phng pháp gii, ngi đc có th t sáng tác cho mình
nhng bài toán vi nhng con s mà mình yêu thích. Tuy nhiên Chuyên đ chc chn s
không th tránh khi nhng điu không mong mun. Tôi rt mong nhn đc s đng viên
và nhng ý kin đóng góp chân thành ca Quý Thy cô và các em hc sinh đ Chuyên đ
tip tc đc hoàn thin hn.
Tôi xin chân thành cm n!
===========================================================
7
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
2.1 Mt s lu ý
Khi gii phng trình vô t bng phng pháp đt n ph ta có th gp các dng
nh:
2.1.1 t n ph đa phng trình đã cho v phng trình đi s không còn cha
cn thc vi n mi là n ph.
2.1.2 t n ph mà vn còn n chính, ta có th tính n này theo n kia.
2.1.3 t n ph đ đa phng trình v h hai phng trình vi hai n là hai n ph,
cng có th hai n gm mt n chính và mt n ph, thng khi đó ta đc mt h đi xng.
2.1.4 t n ph đ đc phng trình có hai n ph, ta bin đi v phng trình
tích vi v phi bng 0.
Thng gii phng trình ta hay bin đi tng đng, nu bin đi h qu thì nh
phi th li nghim.
2.2 Mt s ví d
Ví d 1. Gii các phng trình sau:
1)
2
18 18 17 8 2 0
x x x x x
- - - - =
.
2)
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
- + = - + +
- - + + =
, suy ra
2
(3 4 2) 0
y y
- - =
, ta đc
2 10
3
y
+
= . T đó
phng trình có nghim là
14 4 10
9
x
+
= .
2) Ta có
4 2 2 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1)( 1) 0
x x x x x x x x
+ + = + - = + + - + >
, vi mi x.
Mt khác
2 2 2
3 1 2( 1) ( 1)
x x x x x x
- + = - + - + +
.
i tho khoa hc mụn
To
ỏn
h
c
l
n th III
-
2010
2 2
3
2 1 0 6 3 3 0
3
y y y y
- = - = + - =
, ta c
3
3
y = (loi
3
2
y = - ).
T ú phng trỡnh cú nghim l
1
ổ ử
- + >
ớ
ỗ ữ
ố ứ
ù
ù
ổ ử
ổ ử
ổ ử
ù
- + - = - +
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ù
ố ứ
ố ứ
ố ứ
ợ
.
t
1
x y
x
+ =
, ta c
2 2 2
2 4(1)
- - + - =
- - - + + =
Dn n
2
y
=
(do
2
(( 2)( 4 8) 8) 0
y y y
- - + + >
vi mi
y
tha món (1)).
T ú phng trỡnh cú nghim l
1
x
=
.
Nhn xột: Bi toỏn ny ta cú th gii bng Phng phỏp ỏnh giỏ trong phn sau.
4) Ta cú phng trỡnh tng ng vi
2 2
1 1 2 2 1
x x x x
- = - - -
4 2 2 2 2 3 2
1 1 4 4 (1 ) 4 4 1 8 1
x x x x x x x x x
ị - = + + - - - - + -
1
x y
= -
.
Ta c
2 3
1 4 8 (1 ) 0 8 4 1 0
y y y y y
- + - = - - =2
(2 1)(4 2 1) 0
y y y
+ - - =1 5
4
y
+
= . T ú suy ra
5 5
8
x
-
= .
Th li ta c nghim ca phng trỡnh l
0
x
( 3)( ) 0
y y x
- - =
.
Dn n
3
y
=
v
y x
=
. T ú phng trỡnh cú nghim l
2
x
=
.
===========================================================
9
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
và
3 8
2 1
x z
- =
. Khi đó ta đc h
4 3 4 3
1 1
2 33 2 ( 1) 33
y z z y
y z y y
- = = -
ì ì
Û
í í
+ = + - =
î î
.
Xét
4 3 3 2
2 ( 1) 33 ( 2)(2 5 7 17) 0
y y y y y y
+ - = Û - + + + =
.
Suy ra đc y - 2 = 0. T đó nghim ca phng trình là x = 1 và x = -1.
Ví d 4. Gii các phng trình sau:
1)
2 2
4 2 3 4
ì
í
+ =
î
.
Th hoc li đt ;
x y S xy P
+ = =
ri gii tip ta đc nghim ca phng trình là
0
x
=
;
2
x
=
và
2 14
3
x
- -
= .
2) t
3 2
3
4
81 8 2 3 3 2
3
x y x y y y
- + = Þ = - + .
+ + - + - + >
).
Thay vào h và gii phng trình ta đc
3 2 6
0;
3
x x
±
= = .
Ví d 5. Gii phng trình
2 2
5 14 9 20 5 1
x x x x x
+ + - - - = +
.
HD: k
5
x
³
. Vi điu kin đó ta bin đi phng trình đã cho nh sau:
2 2
2 2
5 14 9 20 5 1
5 14 9 20 25( 1) 10 ( 1)( 4)( 5)
+ + = - - + +
Û + + = - - + + + + + -
x x x x x
x x x x x x x x
h
c
l
n th III
-
2010
Ta đc
2 2
2 3 5 ( )(2 3 ) 0
y z yz y z y z
+ = Û - - =
, t đó ta đc
3
2
y z
y z
=
é
ê
ê
=
ë
.
Nu
y z
+
+ = , vi
0
x
>
.
Nhn xét: Dng phng trình này ta thng đt
4 9
28
x
ay b
+
= +
, sau đó bình
phng lên ri ta “c ý” bin đi v h đi xng vi hai n
,
x y
. T đó ta s bit đc giá
tr ca a, b. Vi bài toán này ta tìm đc
1
1;
2
a b
= =
. (Nu a = 1 và b = 0 mà gii đc thì
đó là phng trình quá đn gin, ta không xét đây).
HD: t
4 9 1
28 2
x
ì
+ = +
ï
ï
ï
+ = +
í
ï
>
ï
ï
î
. Gii h bình thng theo dng ta đc
6 50
14
x
- +
= .
Ví d 7. Gii phng trình
3 2 3
2 2
x x
- = -
.
Nhn xét: Khi gii mt phng trình không phi lúc nào cng có nghim thc, có
nhng phng trình vô nghim nhng khi cho hc sinh làm bài ta cng kim tra đc nng
lc ca hc sinh khi trình by li gii bài toán đó. Chng hn nh bài toán trong ví d này.
HD: t
.
Vi
x y
= -
thì
3 2
2
x x
= - -
, dn đn vô nghim.
Còn
2 2 2
( )(1 ) 0
x xy y x y y x x y
- + - + = - - + >
vi mi
0
y
³
và
2
x £ - . Do đó h
vô nghim hay phng trình đã cho vô nghim.
2.3 Mt s bài tp tng t
Bài 1. Gii các phng trình sau:
1)
2 2
2 2 2
x x x x
c
l
n th III
-
2010
T đó
5 1 33 1
1; ;
2 8
y y y
- +
= = = và đc nghim ca phng trình là
5 1 33 1
1; ;
2 8
x x x
+ +
= = = - ).
2)
2 3
2 5 1 7 1
x x x
+ - = -
.
(HD: T phng trình suy ra
1
x
- + = + +
.
(HD: t
2
1
x y
+ =
, vi
1
y
³
. T đó ta đc
1
2 1
2
y y x
= Ú = -
. Phng trình có
nghim
4
3
x
=
).
Bài 3. Gii các phng trình sau:
1)
3(2 2) 2 6
x x x
0 2 1
x
£ £ -
. t
4
2 2(1 ) 2 2 1
x y y x
- + = Û = - -
và
4
4 4
2 2
x z z x
= Û = vi
0; 0
y z
³ ³
.
Suy ra
4
2 4
2( ) 1(1)
2 1(2)
y z
y z
ì
+ =
ï
í
4
4 3 2
1
2
2
x
æ ö
-
ç ÷
±
ç ÷
=
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
).
Bài 4. Gii phng trình
2
1000 1 8000 1000
x x x- - + = .
(HD: t
1 1 8000
x
+ + =
2
y
, ta đc
2
c
l
n th III
-
2010
T
(*)
suy ra
( )( 1999) 0
x y x y
- + + =
và , do đó
1999 0
x y
+ + >
.
Suy ra
x y
=
, ta đc nghim
2001
x
=
, loi
0
x
= + Û = +
ç ÷
è ø
2
5 1
2 2 0 2
2
y y y y
z z z z
æ ö
Û - + = Û = Ú =
ç ÷
è ø
.
Nu
2
y
z
=
ta đc
2
1 2 1
x x x
+ = - +
2
1
4 5 3 0
x
x x
³ -
í
±
=
ï
î
(tha mãn)).
2)
2 3
2 5 2 4 2( 21 20
x x x x
- + = - -
.
(HD: k
4 1
5
x
x
- £ £ -
é
ê
³
ë
. t
2
2 8 10
x x y
- - =
và 4
x z
(HD: t
5 2
x y
+ = -
, ta đc
5 29
1;
2
x x
+
= - = ).
2)
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ = , vi
1
x
³
.
(HD: t
3
1
2
x
>
.
(HD: Tng t, ta đc
5 37
18
x
- +
= ).
3. PHNG PHÁP ÁNH GIÁ
3.1 Mt s lu ý
Khi gii phng trình vô t (chng hn
( ) ( )
f x g x
=
) bng phng pháp đánh giá,
thng là đ ta ch ra phng trình ch có mt nghim (nghim duy nht).Ta thng s dng
===========================================================
13
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
, hoc đánh giá
( ) ( )
f x g x
³
cng nh là
( ) ( )
f x g x
£
…
Ngoài ra đi vi bài c th nào đó ta s có cách đánh giá khác.
Cng có mt s phng trình vô t có nhiu hn mt n mà ta gii bng phng pháp
đánh giá.
3.2 Mt s ví d
Ví d 1. Gii phng trình
2
4 1 4 1 1
x x
- + - =
.
HD: Bài toán này có trong đ thi vào i hc Bách Khoa và HQG nm 2001. Bài
này có nhiu cách gii, đáp án s dng đo hàm.
Ta có th làm đn gin nh sau: Ta thy
1
2
x
=
là nghim ca phng trình.
5
£
, do đó hai v cùng bng 5.
Ta đc phng trình có nghim duy nht là
1
x
= -
.
Ví d 3. Gii phng trình
2 2 2
19 7 8 13 13 17 7 3 3( 2)
x x x x x x x
- + + + + + + + = +
.
HD: Bài này cách gii có v hi mt t nhiên bi cách “c ý” cho nh vy. Giáo viên
và hc sinh có th sáng tác nhng bài kiu đó.
k
2
x
³ -
. Vi đk đó Vt =
2 2 2 2 2
1 75 1 3
( ) (2 1) 3( 2) (2 1) (4 3)
2 4 4 4
x x x x x- + + - + + + - + +
75 3
3 2 4 3
14
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
n th III
-
2010Ví d 4. Gii phng trình
2
4
28 27
2 27 24 1 6
3 2
3 2 3 2
y y y y
y
+ = + Û + = + + (bình phng hai v).
Theo BT Cô-si ta đc
6
6
2
y
y
+
£ , do đó
2 2
2
4 4 2 4 4 4 ( 2)
3 3
y y
y y
æ ö
+ £ + Û + £ +
ç ÷
è ø2 2
2
2
4 48 3 12 12
12 36 0
( 6) 0.
x x
x x x x
-
+ - + - + =
.
HD: Phng trình đã cho tng đng vi
2 2 2
2 2
3 4 (2 1) ( 3)
(2 1)( 3) (1)
2 2
x x x x x
x x x
- + - + + +
- + + = = . Phng trình xác đnh
vi mi x là s thc. Theo BT Cô-si cho hai s dng ta đc Vt(1)
£
Vp(1).
Do đó (1)
Û
2 2 2
2 1 3 2 0
x x x x x
- + = + Û - - =
. T đó phng trình có nghim là
1
x
= -
và
£ £
ê
ë
. Vi đk đó, phng trình đã cho tng đng vi
phng trình
2
2
1 1
2 2 4(1)
x x
x x
- + - + + = .
===========================================================
15
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
Suy ra Vt
(1) 4
£
= Vp
(1)
. Do đó
2
2
2 2
(1)
1 1
2 2
x x
x x
ì
- + =
ï
Û
í
- + =
ï
î
, ngha là du bng trong h
xy ra. T đó phng trình có nghim duy nht là
1
x
=
.
Ví d 7. Gii phng trình
ç ÷
ç ÷
ç ÷
+ +
+ +
è ø
è ø
2
Vp
.
Phng trình có nghim khi du đng thc xy ra hay
1
2 2
1
1
1
x
x x
x
+
=
+
+
1
7
x
Û =
.
Vy phng trình có nghim duy nht là
1
40(16 10 ).
x x
x
£ + - + +
= -
Theo BT Cô-si cho hai s dng ta đc
2
2 2
2 2
10 (16 10 )
10 (16 10 ) 64
2
x x
x x
æ ö
+ -
- £ =
ç ÷
è ø
.
Do đó Vt(1)
£
4 64 256
.
=
, ta đc
(1)
2
5
x = ± .
Vy phng trình có hai nghim là
2 5
5
x = ± .
===========================================================
16
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
n th III
-
2010
ë
, ta đc
2
x £ - .
M 6 hai v suy ra
9 6 4 3 2
6 12 4 4 0
x x x x x
- + + - - =
(*).
Cách th nht ta bin đi Vt thành
9 6 2 4 2 3 2
5 ( 1) 12 3 4
x x x x x x x
- - - + + - -
là mt biu
thc âm khi
2
x £ - .
Cách th hai ta bin đi Vt thành
9 4 2 3 2
(6 1) 12 4 4
x x x x x
- - + - -
cng là mt biu thc
âm khi
2
x £ - …
Ta có th bin đi tip phng trình (*) sau khi chia hai v cho
1 0
x
³
.
Vt là hàm s đng bin trên đon
[
)
5;
+¥
. T đó dn đn
7
x
=
là nghim duy nht ca
phng trình đã cho.
Ví d 11. Gii phng trình
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
- + - - =
.
HD: Phng trình tng đng vi
2
3
3
12( 3)
( 3)(2 5)
3
x
>
thì Vt(1) > 1 > Vp(1).
Nu
3
x
<
thì Vt(1) < 1 < Vp(1).
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.
Ví d 12. Gii phng trình
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 6
x x x x x x x
- + - + = + + + - +
.
Nhn xét: Vi bài toán này ta s dng mt đánh giá ít gp sau đây:
( ) 0; ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
f x g x
f x g x f x ah x g x bh x
h x
³ ³
2010
2 2
2 2 2 2
2 1 0; 3 2 0
2 1 3 2 2 1 2( 2) 3 2 2( 2)
2 0
x x x
x x x x x x x x
x
ỡ
- - +
- + - + = - + + + - + + +
ớ
+ =
ợ
T ú ta c phng trỡnh cú nghim l
2
x
= -
.
Vớ d 13. Gii phng trỡnh
16 1
10 ( 1996 2008)
1996 2008
x y
x y
T ú ta c phng trỡnh cú nghim l
( ; ) (2012;2009)
x y
=
.
Vớ d 14. Gii phng trỡnh
3
1 2 1
2
x y y x xy
- + - = .
HD: k
1; 1
x y
.
Ta cú
1 3
1 2 1 ( 2 1) ( 2 1)
2 2
x y y x y x x x y y xy
- + - = - - - - - - +
2 2
1 3
( 1 1) ( 1 1)
2 2
y x x y xy
a
=
nu
[
]
( ) 1;1
f x ẻ - vi iu kin
;
2 2
p p
a
ộ ự
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
hoc
( ) cos
f x
a
=
vi iu
kin
[
]
0;
a p
ẻ . Cng cú khi t
( ) tan ; ( ) cot
f x f x
a a
c
l
n th III
-
2010
Nhn xét: Bài toán này (đã xét trên) cng có th gii bng phng pháp lng giác,
tuy nhiên vi bài này cách gii bng lng giác ch mang tính cht tham kho.
HD: t
4
2
4
4 1 cos
; 0;
2
4 1 sin
x y
y
x y
p
ì
- =
ï
é ù
Î
í
ê ú
2 2
1
x
x
+ =
-
.
HD: t cos , (0; ),
2
x y y y
p
p
= Î ¹
. Phng trình đã cho tr thành
1 1
2 2 sin cos 2.sin 2
cos sin
y y y
y y
+ = Û + = . t
sin cos , 2 2
y y z z+ = - £ £ .
suy ra
2
sin 2 2sin cos 1
y y y z
= = -
, ta đc
2
z = và
2
x = và
1 3
2 2
x
+
= - .
Ví d 3. Gii phng trình
3 2 3 2
(1 ) 2(1 )
x x x x
+ - = - .
HD: k
1 1
x
- £ £
.
t
sin , ;
2 2
x y y
p p
é ù
= Î -
ê ú
ë û
suy ra
cos 0
2 1 2
z zÛ = Ú = - .
Nu
2
z = thì thì
4
y
p
=
, do đó
2
2
x = .
Nu
1 2
z = - thì
sin cos 1 2
y y+ = -
2
1 1 2
x xÛ + - = -
===========================================================
19
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
4.3 Mt s bài tp tng t
Bài 1. Gii phng trình
3 2
4 3 1
x x x
- = -
.
(HD: t
cos
x y
=
, phng trình có tp nghim là
5 3 2
cos ;cos ;cos
8 8 4 2
S
p p p
ì ü
ï ï
= = -
í ý
ï ï
î þ
).
Bài 2. Gii phng trình
(
)
2 6 2 3
+
= -
-
.
Bài 6. Gii phng trình
2 3
2
5 3
(1 )
1
6 20 6
x
x
x x x
+
= +
- +
.
Bài 7. Gii phng trình
2 2
2 1 2 1 1
x x x x
+ - + - =
.
5. MT S PHNG PHÁP KHÁC
5.1 Mt s lu ý
Ngoài nhng phng pháp thng gp trên, đôi khi ta cng có nhng li gii khác
9 3 2.
ACM CM x x
D Þ = + - và xét
2 2
16 4 2.
ABM BM x x
D Þ = + - .
T đó suy ra Vt =
5
CM BM BC
+ ³ =
. Du đng thc xy ra khi
M D
º
,hay
===========================================================
20
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
Û =
Vy phng trình có nghim là
12 2
7
x = .
Ví d 2. Gii phng trình
2 2 2 4
4
4 4 1 2 3 5 16
x x x y y y x
- + + + + - - = - + -
.
Nhn xét: Bài toán này không khó, ch kim tra tính cn thn ca hc sinh mà thôi vì
sau khi đt điu kin đã tìm đc giá tr ca x. Tuy nhiên nu hc sinh hc hi ht s ngi
nhìn mà không làm đc bài.
HD: t đk cho phng trình xác đnh ta s đc
2
x
=
. Khi đó phng trình tr
thành 1 2
y y
- = -
, suy ra
3
2
y
và
3 3 3
8
y z t
+ + =
(1).
Mt khác
( )
3
8
y z t
+ + =
(2).
T (1) và (2) ta đc
3 3 3 3
( ) ( ) 3( )( )( ) 0
y z t y z t y z z t t y
+ + - + + = + + + =0 (3)
0 (4)
0 (5)
y z y z
z t z t
t y t y
+ = = -
é é
ê ê
Û + = Û = -
( 2;4)
a x= -
r
và
( 2;5)
b x= - -
r
.
Khi đó ta đc
( 4;5)
a b+ = -
r r
, suy ra
97
a b+ =
r r
và ta cng có
2
4 20
a x x
= - +
r
,
2
4 29
b x x= + +
r
. Phng trình tr thành
a b a b
+ = +
2 2
0 1
( 1) 1
y
x y
£ £
ì
í
- = -
î
.
===========================================================
21
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
2(1 ) (1 2 ) 2 (4 10 7) 0
z z z z z z
- - ³ - Û - + £0
z
Û £
(do
2
4 10 7 0
z z
- + >
).
Do đó
0
z
=
, suy ra
0
y
=
hay
2
2 0
x x
- =
0
2
x
- - - + - + = + -
.
Bài 2 (Kim tra đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2004 – 2005)
Gii phng trình
3 2 3 3 3 2
2 2 3 1 2 3 1
x x x x x x
+ - - + = - - -
.
Bài 3 (Lp tin đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2006 – 2007)
Gii phng trình
4
8 4 2 3 3
x x x x
+ + + = + + .
Bài 4 (D tuyn toán QG gi B GD-T ca Bc Giang nm hc 2006 – 2007)
Gii phng trình
2 2 2
2 3 2 1 3 3
x x x x x x
- + = - + + - .
Bài 5. (Kim tra đi tuyn HSG quc gia tnh Bc Giang nm hc 2007 – 2008)
Gii phng trình
2
2
2007 2008 2009
+ + = +
. 5)
4
3
2
8
x x
= +
.
3)
3
3
1 2(2 1)
x x
+ = -
. 6)
2 3
2 4 3 4
x x x x
+ + = +
.
===========================================================
22
Gii phng trình
3 2
4
3 8 40 8 4 4 0
x x x x
- - + - + =
.
HD: k
1
x
³ -
.
Khi đó xét
3 2
( ) 3 8 40
f x x x x
= - - +
và
4
( ) 8 4 4
g x x
= +
trên đon
[
)
1;
- +¥
.
Ta đc
.
T (1) và (2), ta đc
( ) 13 ( )
g x x f x
£ + £
. C hai đng thc đu xy ra khi
3
x
=
, tha
mãn điu kin.
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.
Nhn xét: Ta có th s dng đo hàm đ xét s bin thiên ca các hàm s
( )
f x
và
( )
g x
trên đon
[
)
1;
- +¥
, ta đc
[
f y y h y
= -
vi
( ) 0
h y
>
).
Bài 2 (1995 - Bng B. VMO)
Gii phng trình
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
- + - - =
.
HD: t
3
4 4
x y
- =
.
Khi đó
3
4
4
y
x
+
= và suy ra
.
Nên t (2) ta thy
2
y
=
hay
3
4 4 2
x
- =
, ta đc
3
x
=
.Th li đúng.
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.
Bài 3 (2002 - Bng A. VMO)
Gii phng trình
4 3 10 3 2
x x
- - = -
.
HD: Cách 1 (áp án)
===========================================================
23
4 3 10 3 4 4 9(10 3 ) (4 )
x x x x x x
- - = - + Û - = -
4 3 2
2
8 16 27 29 0
( 3)( 2)( 7 15) 0
x x x x
x x x x
Û - + + - =
Û - + - + =3
x
Û =
(do đk và
2
7 15 0
x x
- + >
vi mi
x
tha mãn đk)
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.
4 3
2
8 27 20 0
( 1)( 4)( 3 5) 0
y y y
y y y x
Û - + - =
Û - + - + =1
y
Û =
.
Hay ta đc
10 3 1
x
- =
3
x
Û =
.
Vy phng trình có nghim duy nht là
3
x
=
.
Bài 4 (1998-CMO)
Gii phng trình
(do hai v không âm vi mi
1
x
>
)
2 2
( 1) 2 ( 1) 0
x x x x
Û - - - + =2 2
( 1 ) 0
x x
Û - - =2
1 0
x x
Û - - =
. T đó suy ra
1 5
2
x
+
= .
Cng có th t
2 2
1 5
2
x
+
= .
===========================================================
24
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
n th III
-
2010
x x x x
- + - = - -
.
5)
3 2 3 2
3 3
3 2001 3 7 2002 6 2003 2002
x x x x x- + - - + - - = .
Bài 2. Gii các phng trình sau:
1)
2 2 2
2 3 2 1 3 3
x x x x x x
- + = - + + - .
2)
42 60
6
5 7x x
+ =
- -
.
3)
( 2) 1 2 2 0
x x x
- - - + =
.
4)
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0
.
5)
3 2 3
3 2 ( 2) 6 0
x x x x
- + + - =
.
Bài 4. Gii các phng trình sau:
1)
2
3
5 1 9 2 3 1
x x x x
- + - = + -
.
2)
2
4
28 27
2. 27 24 1 6
3 2
x x x
+ + = + +
.
3)
13 1 9 1 16
x x x
- + + = .
4)
===========================================================
25
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
án
h
c
l
n th III
-
2010
3)
2 3
2 5 2 4 2( 21 20)
x x x x- + = - - .
4)
.
3)
2 4 3 2
2 4 7 4 3 2 7
x x x x x x
+ + = + + - -
.
4)
2 2
4
6
1 1 1 1
x x x x
- + + - + - =
.
5)
2
2
2
1
3
x x
æ ö
- = -
ç ÷
è ø
.
Bài 7. Gii các phng trình sau:
1)
(
)
2
2 3 3
2 1
1 1 (1 ) (1 )
3
3
x
x x x
-
+ - + - - = + .
Bài 8. Gii các phng trình sau:
1)
3
3
6 6 4 4 0
x x
- + - =
.
2)
2 3
2( 3 2) 3 8
x x x
- + = +
.
3)
6 2
3 3
35
12
1
x
x
x
+ =
-
.
3)
2
3
2 11 21 3 4 4 0
x x x
- + - - =
.
4)
4 3 2 2
4 6 4 2 10 2
x x x x x x
+ + + + + + =
.
5)
2 2 2
2 2 2
32
1 1 4 4
(2 3)
x x x x x
x x
1)
2
3
1
1
x
x
x
+ =
+
.
2)
( 1) 1 5 1 4 4 0
x x x x
- - + - + - =
.
3)
4 2 2 2
10 14 19 (5 38) 2
x x x x
- + = - -
.
4)
2 2
( 1) 2 3 1
x x x x
+ - + = +
.
5)
2 2
4)
(
)
2 2 2
3 2 2 2 1 0
x x x x
+ - + - + - =
.
5)
2 2
3 5 12 5 0
x x x
+ + - + - =
.
Bài 12. Gii các phng trình sau:
1)
2 3
2( 8) 5 8
x x
+ = +
.
2)
2
4 3 4 3 10 3
x x x
- = - -
.
3) ( 3) (4 )(12 ) 28
x x x x
1 1 1 1
2 2 3 3 1
4 4 4 4
x x x x x x x x
- + - + + - + + + = + + +
.
Trong đó biu thc v trái có tt c 2008 du cn thc bc hai. ===========================================================
27
HI CÁC TRNG THPT CHUYÊN DUYÊN HI VÀ NG BNG BC B - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com
-
H
i tho khoa hc môn
To
v bé mt lng đng bc ti thiu đ làm thay đi s chênh lch.
Bài 1. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:
2222
.2 yxkxyyx -+£+ .
Bài 2. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:
yxkyxyx -++£+ .)(2
22
.
Bài 3. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:
{
}
xzzyyxMaxkzyxzyx +++£++ ,,.)(3
222
.
Bài 4. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y:
44444
yx.k)
2
yx
(2yx -+
+
£+
Bài 5. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:
Bài 8. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y không
âm:
qk
n
n
n
k
k
xxMaxkxxnx -+£
å
=
1
1
.
Bài 9. Tìm s thc k nh nht sao cho bt đng thc sau đúng vi mi x, y
ú
û
ù
ê
ë
é
Î
2
;0
p