Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009
_________________________________________________
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM HỌC 2008-2009
____________________________________________________________________________
Bài 1. (4điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
1 1 2
1 2xy
1 2x 1 2y
2
x 1 2x y 1 2y
9
Bài 2. (5điểm)
Cho dãy số
n
x
xác định như sau:
1
y
x
. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. (5 điểm)
Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho
ACB a
o
0 a 180
không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của
tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và
N .
a) Chứng minh độ dài MN không đổi .
b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 4. (3điểm)
Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương,
n n n
a b c
là số nguyên. Chứng minh
rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba
3 2
x px qx r 0
.
Bài 5. (3 điểm)
Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2
− + − =
Gii
+) K:
+ >
≤ ≤
− ≥ ⇔
+
+ +
+) Mt khác
∀ ∈
và
<
ta luôn có bt ng thc sau:
+ ≤
+
+ +
.
Tht vy bt ng thc (*)
⇔ − ≤
+
+ +
Mt khác ta có:
− −
+ − = ≤
+ + + + + +
, vì
∈
và
≤ ≤
,
≤ ≤
và
<
.
Áp dng BT (*) cho
= = ta có:
+ ≤
+
+ +
ên Quang Trung
Tnh Bình Phc
+ +
;
− −
.
+) Kt lun: H có hai nghim là
+ +
và
+ +
=
,
∀ ≥
. Chng minh rng dãy
(
)
vi
=
=
có gii hn hu hn khi
− − − − − −
−
− −
− − −
+ + + −
− = − = = >
+ +
,
∀ ≥
.
Do ó
(
)
là dãy s tng
+) Gi s
(
)
= >
và ta có
−
= +
−
− = ∀ ≥
Do ó
=
−
= + >
. Do ó
(
)
là dãy
tng và b chn trên hay
(
)
có gii hn hu hn khi
→ ∞
.
+) Ta có :
→∞ →∞
= − =
, (vì
. ng tròn tâm I ni tip tam giác ABC và tip
xúc vi AB, BC, CA ln l t ti D, E, F. Các ng thng AI, BI c!t ng thng EF ln l t
ti M và N.
a) Chng minh rng on thng MN có dài không i.
b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh.
Gii
a) Chng minh rng on thng MN có dài không i.
+) Ta có
−
= = = + =
ANFI là t giác ni tip
= =
α
−
=
không i khi C thay i, (pcm).
α
αα
α
I
N
M
F
E
D
C
BAChú ý : Bài toán có mt s trng hp khác nhau v hình v, các bn t v hình nhé. Tuy nhiên cách chng
minh không có gì thay i.
b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh.
Cách 1:
+) Gi K là trung im ca AB ta ã có
IMEB là t giác ni tip
= =
IMBD cng là t giác ni tip vì
+ =
.
=
, (3).
+) T (2) và (3)
+ +
là mt s nguyên. Chng minh rng t%n ti các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba
nghim c&a phng trình
+ + + =
.
Gii
+) Gi s t$n ti các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo nh lí Viet ta có :
+ + = −
+ + =
= −
+) Nh vy chng minh bài toán ta ch# cn chng minh
+ + ∈
∈
. Tht vy:
Ta có
+ + = + + − + +
+ + ∈
Ta có
+ + = + + − + +
+ + ∈
Ta có
+ + − = + + + + − − −
+ + − = + + + + − + +
= + + − + + + + − + +
∈
T các d kin
∈
và
∈
∈
, (2).
+) Ta s% i chng minh
+ + ∈
. Tht vy:
Ta có
(
)
+ + ∈
+ + ∈
, (3).
+) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c chng minh. Bài 5 Cho s nguyên dng n. Kí hiu T là t'p h p g%m 2n s nguyên dng u tiên.
H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n ti các s a, b mà
{
}
− ∈ .
Lu ý Tp rng c coi là tp con có tính cht nêu trên.
Gii
(Li gii bài 5 c tham kho ti )
+) Trc ht ta xét bài toán sau :
Cho 2 hàng
im
cng !c ni vi nhau. Tính s cách chn ra mt s im mà không
có hai
im nào !c ni vi nhau.
+) G
i
là s cách chn th&a mãn iu kin trên, nhng có th cha c
và
. Gi
là s cách chn
th
&a mãn nhng không cha im nào trong 4 im
. Gi
là s cách chn th&a mãn nhng
ch
= + + +
và s cách chn th&a mãn bài toán là
−
.
+) D
' dàng lp công thc truy h$i cho
là :
+ −
=
− −
= +
, (3).
T
(1) và (2) suy ra
− − − −
+ = − − − =
, (4).
T
(3) suy ra
− −
− = − −
. T ây d' dàng suy ra
Cu
i cùng thu !c kt qu là
(
)
(
)
(
)
(
)
− −
−
+ + + − − + −
+) Tr
li bài toán ang xét nu ta coi im
!c g(n s n + i và im
!c g(n s i thì ta có kt qu
c
a bài toán s 5.
Copyright: Tài liệu đại học ©