1
1. Hình chóp tam giác

Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có độ dài cạnh
AB a
=
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN,
biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
3 3
, , .
2 2 6

a a a
OA OB OC OG= = = =
Đặt
0.
SG z
= >
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A,
tia

Tính được
15
.
6
a
z =
Suy ra
2
10
.
16
AMN
a
S =

x
y
z
G
O
S
A
B
C

Bài 2. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB
và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho
AC R
=
. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S

nằm trên đường thẳng qua O và
song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; .
C A R B R S R z
Khi đó tính
được
8 3 4 2
; ;
9 9 9
R R R
H
 
 
 
và
2 2 2
;0; .
3 3
R R
K
 
 

lấy hai điểm A,B với
AB a
=
. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong
mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
∆
và
.
AC BD AB a
= = =
Tính bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Gợi ý:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó
(
)
;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).
A a B C a a D a

+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm
(
)
/ 2; / 2; / 2
I a a a và bán kính
3 / 2.
=R a
+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình
0.
x y

2
SA a
=
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Gợi ý:
+ Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ, lúc đó
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0;2 .
2 2 2 2
a a a a
A B C S a
   
   
−
   
   
   
   

+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là
3 2 2
; ;
10 5 5
a a a
M
 
 
 

C
B
A
M

Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B,
2
AB BC a
= =
, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Gợi ý:
+Đặt
0.
SA z
= >
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:
(
)
(
)
(
)
2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 ,
A a B C a


tìm được
(
)
2 3 2 ;0;2 3 .
z a S a a= ⇒

+ Suy ra
3
3
SBCNM
V a=
và
2 39
( , ) .
13
a
d AB SN =
z
y
x
N
M
C
B
A
S

Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B,

(
)
(
)
(
)
(
)
3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 .
A a a B a C a S a−
+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là
3
.
2 3.
S ABC
V a=
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là:
3 4 3 3 0.
x y z a
− + + − =

+ Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
( )
6 7
,( ) .
7
a
d B SAC =
4a
3a

4a

2a

3a

E

A

B

C

D

x
z

y

H

KChọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa
độ O.
A(0;0;0), B(2a;0;0),
(


là một vecto chỉ
phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là:
2
2 3
3 3
x t
y t
z a t
=


=


= −

. Vì K thuộc DC nên
(
)
2 ;2 3 ;3 3
K t t a t
− .
Ta có
(
)
2 2 ;2 3 ;3 3
BK t a t a t
= − −


;
27 27 3 36
; ;
50 50 25
a a a
HK
 
=
 
 
 


Vì E, H, K thẳng hàng nên ;
EH HK
 
cùng phương, do đó suy ra
4
3
a
z = − . Vậy E(0;0;
4
3
a
− ).
4
2 ;0;
3
a
EB a

60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:

60
o

O

H

C

A

B

S

x

y

zGọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ.
Ta có:

=
2 2
7
3
a
CH CO OH⇒ = + =

21
.tan 60
3
o
a
SH CH⇒ = =

21
0; ;
6 3
a a
S
 
⇒ −
 
 
 

•
3
.
1 7
.

; ;0
2 2
a a
BC
 
=
 
 
 

;
2 2 2 2
21 7 3 24
; ; ; ;
6 2 3 3
SA BC a a a SA BC a
 
   
= − ⇒ =
 
   
 
 
   
và
3
7
; .
2
SA BC AB a

B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên
cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Giải:
K
O
A
B
C
S
x
y
z
H

Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm
của tam giác ABC.
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A
 
−
 
 
,
0; ;0
2

 
⇒
 
 
 3 33
0; ;
3 3
a a
SC
 
= −
 
 
 

;
(
)
0; ;0
AB a
=


. 0
AB SC AB SC
= ⇒ ⊥
 

A
a a
CD h= = .

O

A

C

D

B

x

y

zGọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có:
5
0; ;0
3
a
A
 
 

 
= −
 
 
 
 
 
.
(
)
( )
0;0;1
ACD
n =

;
(
)
( )
0;1; 1
BCD
n
= −

.
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Ta có:
( )

o
. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Giải:

B

A

C

S

y

x
z

HChọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O
trùng điểm A.
A(0;0;0),
( )
3
;0;0 , 0; ;0 , ; ;
2 2
a a
B C S x y z

 
 
= = −
 
 
 
 
  
là vectơ pháp tuyến
của (SAB).
3
; ;0;
2 2
a a
n AC AS z x
 
 
= = −
 
 
 
  
là vectơ pháp tuyến của (SAC).
•
( )
1 2
2 2
2 2
1 2
.

 
 
(2)
Từ (1), (2) ta có
x y
=
. Nên
(
)
; ;0
H x x
. Vì H thuộc BC nên
3
; ;0 , ; ;0
2 2 2
a a a
BC CH x x
 
 
= − = −
 
 
 
 
 
 
cùng
phương, suy ra
( )
3

3 3
1 1 3 3
. . .
3 3 8 32
2 1 3
S ABC ABC
a
a a
V SH S
∆
−
= = =
+
. ☺
☺☺
☺

A
B
C
S
x
y
z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
với điểm A.
Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0
SA=7a
2 2 2 2

. 24
2
ABC
S AB AC a
= =
.
3
.
48
S ABC
V a
=www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com6
2. Hình chóp tứ giác

Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a, góc

60 ,

sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy

chứa B và tia
Oz
nằm trên đường thẳng qua O và song
song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
3 3
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C D
   
   
− −
   
   
   
   

3
' 0;0; , ;0; .
2 2
a a
C S a
 
 
 

−
 
 

Thể tích khối chóp
. ' ' '
S AB C D
là:
3 3 3
. ' ' ' . ' ' . ' '
1 1 1 3 1 3 3
, ' . ' , ' . ' . . .
6 6 6 6 6 6 18
S AB C D S AB C S AC D
a a a
V V V SA SC SB SA SC SD
   
= + = + = + =
   
     

Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2,
AB a AD a SA a
= = =

0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; ;
A B a C a a D a S a

2 2
0; ;0 , ; ; .
2 2 2 2
a a a a
M N
   
   
   

( )
( )
( )
2
0;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; .
2
a
AS a AC a a SM a SB a a
 
= − = −
 
 
   

Vectơ pháp tuyến của (SAC) là
(
)
2 2

 
 
 
 

Vì
4 4
, . , 0
AS AC SM SB a a
   
= − =
   
   
nên
( ) ( ).
SAC SBM
⊥

Ta có
2 2 .
IC BC
IC IA
IA AM
= = ⇒ = −
 
Từ đây tìm được
2
; ;0 .
3 3
a a

SO ABCD
⊥
Chọn
hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy

chứa N và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
( )
3
;0;0 , ; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,
2 2 2
3
; ;0 , ; ; .
2 2 4 2 4
a a a
A B a N a S
a a a a a
P M
 
   
 
   
   
 

V =
x
z
y
P
M
NO
C
D
A
B
S

Bài 4. (Trích đề ĐH Khối B năm 2007). Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz

chứa S (xem hình vẽ). Đặt SO=z, Khi đó:
( )
2 2 2
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , 0;0; ,

MN BD
   
= = −
   
   
 

a
z
x
y
N
M
E
I
O
C
D
A
B
S

+
. 0 .
MN BD MN BD
= ⇒ ⊥
 

+ Khoảng cách giữa MN và AC là
2

Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0;2 ;0 , 0;0; 2 .
A B a C a a D a S a Tìm
được
2 2
;0; .
3 3
a a
H
 
 
 

Phương trình mặt phẳng (SCD) là:
2 2 0.
x y z a
+ + − =

Gọi O là hình chiếu của S trên AB. Ta có:
3 3
, , .
2 2 2
a a a
SO OA OB= = =
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy

vuông góc với AB và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi
đó:
3 3
;0;0 , ;0;0 , ;2 ;0 , ;2 ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C a D a
       
− −
       
       

3 3
0;0; , ;0;0 , ; ;0 .
2 2 2

S BMDN
a
V =
+ cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN là

5
cos( , ) .
5
SM DN =
Bài 7. (Trích đề ĐH Khối A năm 2009). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D;
2 , ;
AB AD a CD a
= = =
góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60
o
. Gọi I là trung điểm của
cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a.
Gợi ý:
Từ giả thiết suy ra
( ).
SI ABCD
⊥
Đặt
0.
SI z
= >


60
o
ta tìm được
3 15
.
5
a
z =
+ Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
.
3 15
.
5
S ABCD
a
V =
2a
2a
a
z
y
x
I
C
B
A
D
S


2 10
a a
DM HM DM DH= ⇒ = − =
+
5 2 5
;. .
10 5
a a
HN HC= =
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O H
≡
, tia
Ox
chứa N, tia
Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình
vẽ). Khi đó:
( )
5 5 2 5
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 ,
10 5 5
3 5
0; ;0 , 0;0; 3 .
10
a a a

24
S CDNM
a
V =
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là:
( )
2 57
, .
19
a
d DM SC =
Bài 9. (Trích đề ĐH Khối D năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. cạnh
bên
,
SA a
=
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC,
4
AC
AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm SA và tính thể tích khối
tứ diện SMBC theo a.
Gợi ý:
+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
O H
≡
, tia
Ox
song song với tia AB, tia

 
 
−
 
 
 
 a
a
x
y
z
M
H
D
A
B C
S

Ta có
2 2
2
SC SH CH a AC
= + = = nên tam giác SAC cân tại C do đó M là trung điểm SA. Suy ra
14
; ; .
8 8 8
a a a

S.ABCD lớn nhất.
Gợi ý:
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD; M,N lần lư
ợt là
AB và AD. Từ giả thiết suy ra

( )
SO AC
SO ABCD
SO BD
⊥

⇒ ⊥

⊥


và
2 2
6
OA OB OC OD a SO
= = = = −
nên ABCD là
hình chữ nhật.
Đặt
0.
ON x
= >
Khi đó
2 2

+ Bằng cách xét hàm số
2 2
8
( ) 2
3
f x ax a x
= −
với
(
)
0; 2
x a∈
hoặc áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy
ra
.
S ABCD
V
lớn nhất khi và chỉ khi
.
x a
=
Suy ra
.
SO a
=
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
như hình vẽ. Khi
đó:
( )


www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com11
3. Hình lăng trụ tam giác

Bài 1. (Trích đề Dự bị 1- ĐH Khối A năm 2007). Cho hình lăng trụ đứng
1 1 1
.
ABC A B C
có
1
, 2 , 2 5
AB a AC a AA a
= = =
và

. . .sin120 .
7
o
o
AB AC a
AO BC AB AC AO
BC
= ⇒ = =
2
2 2 2
21 2 7
;
49 7
5 7
.
7

=
a a
OB AB AO a
a
OC BC OB
= − = − =
= −

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó
1
21 2 7
;0;0 , 0; ;0 ,
7 7

2 2
1 1 1
. 5 5 0 .
MA MB a a MA MB MA MB
= − = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
   

a
2a
z
x
y
C
1
A
1
B
1
B
A
b) Phương trình mặt phẳng
1
( )
A BM
là:
2 7
12 5 15 21 0.
7
a
x y z

BM và
1
.
B C

Gợi ý:
Gọi O là trung điểm BC và chon hệ trục tọa độ
Oxyz
có tia
Ox
chứa
A, tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa trung điểm của
1 1
B C
(xem hình vẽ).
Khi đó:
1
3
0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 0; ; .
2 2 2 2 2
vµ
a a a a a
B C M B a
 
     
− −

a
a
a
z
x
y
O
C
1
B
1
A
1
A
B
C

3
1
1
2
1
3
, .
30
2
( , ) .
10
10
,

 

www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com12
Bài 3. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối D năm 2009). Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC
là tam giác vuông tại B,
, ' 2 , ' 3 .
AB a AA a A C a
= = =
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
' '
A C
, I là giao
điểm của AM và
'
A C
. Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(IBC).
Giải:
Ta có
2 2 2 2
' ' 5; 2 .

AC A C AA a BC AC AB a

2 2 4
2 ; ;
3 3 3
a a a
IA IM I
 
= − ⇒
 
 
 
.
Thể tích khối tứ diện IABC là:

3 3
1 1 8 4
, . . .
6 6 3 9

IABC
a a
V BA BC BI
 
= = =
 
  a
2a
x

(
)
' 2;0;1
n = −

. Mặt phẳng (IBC) đi qua B và có vectơ pháp tuyến
(
)
' 2;0;1
n = −

nên có phương trình:
2 0.
x z
− + =
Vậy khoảng cách từ A đến (IBC) là
( )
2
| 2 | 2 5
,( ) .
5
( 2) 1
a a
d A IBC
−
= =
− +

Bài 4. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2008). Cho hình lăng trụ
. ' ' '

BC AB AC a OA a
OA AA OA a a a
= + = = =
= − = − =

2
2 2 2
2
2 2 2
3
;
4 2
3
.
4 2
a a
OH OA AH a
a a
OK OA AK a
= − = − =
= − = − =

+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa H, tia
Oy

chứa K và tia

là
3 3 3
'.
1 1 3 3
' , ' . ' .
6 6 2 2 2
A ABC
a a a
V A A A B A C
 
= = − − =
 
  

+
(
)
3; ;0 .
BC a a= −

Gọi
ϕ
là góc giữa
'
AA
và
' '.
B C
Khi đó:
'.

mặt bên
( ' ')
ABB A
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng
( ' ')
ACC A
tạo với
(ABC) một góc
60 .
o
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Gợi ý:
+ Gọi O là trung điểm AB, M là trung điểm AC. Khi đó
' , ' , .
A O AB A O OM OM AB
⊥ ⊥ ⊥

Đặt
0,
OA x
= >
khi đó
2 2
' 7 ; .
3
x
OA a x OM= − =

+ Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz

4 , ; ' 3.
3
a
AB a BC OA a= = =
Thể tích khối lăng trụ
đã cho là
3
1 1 4
. ' . . ' .4 . . 3 8 .
2 2
3
ABC
a
V S OA AB BC OA a a a
= = = =

x
z
y
M
O
C'
A'
B'
B
A
C

Bài 6. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng
1 1 1

≡
, tia
Ox
chứa B,
tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa A’ (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1 1
1
;0;0 , 0; ;0 , 0;0; 2 , ;0; 2 ,
2 2
0; ; 2 , 0;0; , ; ; .
2 2 2 2
B a C a A a B a a
a a a a
C a a M N
   
   
   

 
 
và
1
MN BC
⊥
do đó MN là
đường vuông góc chung của
1
AA
và
1
BC
.
a
a
z
x
y
N
M
C
1
B
1
A
1
A
B
C

Oxyz
sao cho
O B
≡
, tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa C và tia
Oz
chứa B’ (xem hình
vẽ). Khi đó:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
;0;0 , 0;0;0 , 0; ;0 , ' ;0; 2 , ' 0;0; 2 , ' 0; ; 2 , 0; ;0 .
2

a
A a B C a A a a B a C a a M
 
 
 

+ Thể tích của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
là
3
2.
V a=


+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng
, '
AM B C
là
( )
, ' . '
7
, ' .
7
, '
AM B C AB
a
d AM B C
AM B C
 
 
= =
 
 
  
 

a
a
z
x
y
M
C'

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt
AC x
=
, suy
ra
3, 2 .
BC x AC x
= =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ. Ta có
( )
( )
( )
3
;0;0 , 0; 3;0 , 0;0;0 , ; ;0 .
3 3

x x
A x B x C G
 
 
 

2
2
2 3 13
; ;0
3 3 3
13
' .

=
suy ra
3 13
.
26
a
x =
Vậy
3 13 3 39 3
; ; ' .
26 26 2
a a a
AC BC OB= = = Thể tích khối tứ diện
'
A ABC
là
3
'
9
.
208
A ABC
a
V =
Bài 9. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2010). Cho lăng trụ tam giác đều
. ' ' '
ABC A B C
có
AB a
=

3 3 3
' ;0; , ;0; .
2 2 6 2

   
   
   
a a a a
A G

Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
3
. ' ' '
3
.
8
ABC A B C
a
V =
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC là
7
.
12
a
R =
z
x
y
G
O


C'

B'

A

B

C

A'

x

y

zChọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
điểm B.
Đặt AB = x (x>0) thì BC = 2x.
Ta có B(0; 0; 0), C(2x; 0; 0), A(0; x; 0), N(x; 0; 0)
A'(0; x; y) (y>0), B'(0; 0; y), C'(2x; 0; y), M(0;
2
x
; y).
( )
0; ; , ' 2 ;0;

; ' .
, '
; '
AM B C AC
d AM B C
AM B C
 
 
=
 
 
  
 
2
2 2 2 2
2 2 4
2
7 7
4 17
4
4
x y
a xy a
x y x y
x y x
−
⇔ = ⇔ =
+
+ +
(1)


(vì
n

cùng phương với ',
AB AC
 
 
 
) và (BCC'B') có vectơ pháp tuyến là
(
)
0;1;0
j =

.
( )
2 2 2
2 2
.
1 2 11
cos ( ' ),( ' ') 5 4 16
2 2
5 4
n j
y
AB C BCC A y x y x y
n j
y x
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =

• Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B'ANC theo a
Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp B'ANC có dạng:
(
)
2 2 2
1
: 2 2 2 0
S x y z a x by cz d
+ + + + + + =
với tâm
( )
2 2 2
1 1
; ; ,
T a b c R a b c d
− − − = + + −

Vì B', A, N, C thuộc mặt cầu (S) nên tọa độ của chúng thỏa phương trình mặt cầu, ta có hệ:
2
1
2
2
1
2
2
1
3
16 8 11
. 0
11 11

+ + =
⇔ ⇒ =
 
= −
 
+ + =
 
= 
+ + =


. ☺
☺☺
☺ www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com16
4. Lăng trụ tứ giác
Bài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối B năm 2011). Cho lăng trụ
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình

Oxyz
như hình vẽ. Khi đó:
3 3 3
; ;0 , ; ;0 , ; ;0 ,
2 2 2 2 2 2
3
; ;0 .
2 2

a a a a a a
A B C
a a
D
     
− − −
     
     
 
−
 
 

Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng
1 1
( )
ADD A
và
( )
ABCD
bằng

.
2
ABCD A B C D
a
V =
a
z
x
y
O
D
1
C
1
B
1
C
B
A
D
A
1

Khoảng cách từ điểm
1
B
đến mặt phẳng
1
( )
A BD


zTừ giả thiết ta tính được
'
2
a
AC AA= =
và
2
a
AB
=
.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng với
điểm A.
Ta có: A(0;0;0),
0; ;0
2
a
B
 
 
 
,
; ;0
2 2
a a
C

a a a
C
 
 
 
, ' ;0;
2
2
a a
D
 
 
 

0; ;0
2
a
AB
 
=
 
 

; ' 0; ;
2
2
a a
AB
 
=

AB AB AC
 
=
 
  
3
' '
1 2
; ' . '
6 48
ABB C
a
V AB AB AC
 
⇒ = =
 
  
.
•
;0;0
2
a
CB
 
= −
 
 

, ' 0; ;
2


( )
2 2
2
2.0 0
2
6
,( ')
6
( 2) 1
a
a
d A BCD
+ −
⇒ = =
+
. ☺
☺☺
☺

HẾT
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com