TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
ThS. Trần Mạnh Hân
Bài 1. Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có:
. . . 0AB CD AC DB AD BC+ + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(Hệ thức Ơ-le)
Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đường cao
đồng quy
Bài 2. Trong tam giác ABC, trung tuyến AM, chứng minh rằng:
a)
2 2
1
.
4
AB AC AM B C= -
uuur uuur

b)
2 2 2
2
2( )
4
AB AC BC
AM
+ -
=
Bài 3. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Chứng minh rằng:
a)
( )
2 2 2 2 2 2
1

3MA MB MC GA GB GC MG+ + = + + +

Nhận xét: Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) thì:
2 2 2 2 2
3( )R OG GA GB GC- = + +

Bài 7. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng
2 2 2
aIA bIB cIC abc+ + =
b) Nếu M là 1 điểm bất kì ta có
2 2 2
aMA bMB cMC abc+ + ³
Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa mãn
0,MA MB MCa b g+ + =
uuur uuur uuur r
( 0)a b g+ + ¹
. Chứng minh với M bất kì ta có (công thức Gia-cô-bi)
a)
2 2 2 2 2 2 2
( )MA MB MC IA IB IC MIa b g a b g a b g+ + = + + + + +

b)
2 2 2
2 2 2
c a b
IA IB IC
ab bg ga
a b g
a b g

90AIC =
.
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). B’ là
điểm đối xứng của B qua O. (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q. Trên BA,
BC lấy các điểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP. Chứng minh rằng B’I
^
KL.
Bài 13: Cho hai điểm A, B cố định, vec tơ
0a ¹
r
r
không đổi và số thực k. Tìm tập
hợp các điểm M sao cho:
a)
.MA MB k=
uuur uuur

b)
.AM a k=
uuuur r

Bài 14: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
( )( 2 3 ) 0MB MC MA MB MC+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 15: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
2 2 2
0MB MC MA+ - =
(1)

. Chứng minh rằng
3 3a b c R+ + £
.
Bài 21. Cho tam giác ABC, I là điểm xác định bởi
2 0IA IB IC+ - =
uur uur uur r

a) Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2MA MB MC MI IA IB IC+ - = + + -
với M là
điểm tùy ý. Suy ra vị trí của M để biểu thức
2 2 2
2MA MB MC+ -
nhỏ nhất.
b) Tính
2 2 2
2IA IB IC+ -
trong trường hợp tam giác đều cạnh a.
Bài 22. Cho tam giác ABC, điểm M tùy ý
a) Chứng minh rằng vec tơ
2 3m MA MB MC= + -
ur uuur uuur uuur
độc lập với M.
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 3 2 .MA MB MC MO m+ - =
uuur ur
.
c) Tìm tập hợp những điểm M sao cho