PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM
THUỘC ĐƯỜNG THẲNG
TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Đậu Thanh Kỳ
12
Bài toán xác định tọa độ điểm trong mặt phẳng thường xuất hiện trong kỳ thi Đại học, Cao
đẳng trong những năm gần đây và không ít học sinh lúng túng khi gặp bài toán này. Trong
bài viết này chúng tôi đề cập đến cách thức để giải quyết dạng toán này.
1 Phương pháp
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào hai nhận xét sau:
• Tọa độ của điểm A thuộc đường thẳng ∆ :

x = x
0
+ bt
y = y
0
+ at
(t ∈ R) có dạng
A(x
0
+ bt, y
0
+ at).
• Tọa độ của điểm A thuộc đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 có dạng A

t, −
at+c
b


OA = 4 ⇔

(4t)
2
+ (−3 + 3t)
2
= 4 ⇔ 25t
2
− 18t − 7 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −
7
25
.
Vậy ta tìm được hai điểm là A
1
(4, 0) và A
2

−
28
25
, −
96
25

.
(b) Gọi H là hình chiếu của M lên ∆ khi đó H ∈ ∆ nên H(4t, −3 + 3t). Ta có
−→
u (4, 3) là
vector chỉ phương của ∆ và vuông góc với
−−→

, C ∈ d
2
nên tọa độ B, C có dạng B(a, 2 −a), C(b, 8 −b), suy ra
−→
AB = (a − 2, −a),
−→
AC = (b − 2, 6 − b).
Tam giác ABC vuông cân tại A nên

AB = AC
−→
AB ·
−→
AC = 0
⇔

(a − 2)
2
+ a
2
= (b − 2)
2
+ (6 − b)
2
(a − 2)(b − 2) − a(6 − b) = 0
⇔

(a − 1)(b − 4) = 2
(a − 1)
2

(−2, −2). Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua
H nhận
−→
u làm vector chỉ phương nên
BC :

x = −2 − t
y = −2 + t
(t ∈ R).

Phương pháp xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ 3
A
B
C
H

H
E
Gọi B(−2 −t, t −2) thì ta có C(t −2, −2 −t). Do E nằm trên đường cao đi qua đỉnh C nên
ta có
−−→
EC ·
−→
AB = 0, hay
(t − 3)(−8 − t) + (1 − t)(t − 8) = 0 ⇔ t
2
− 2t − 8 = 0 ⇔ t = 4 ∨ t = −2.
Vậy B(−6, 2), C(2, −6) hoặc B(0, −4), C(−4, 0).
Ví dụ 4 (Đề thi Đại học khối A năm 2005). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai
đường thẳng d

b + d = 2. (2)
Từ (1) và (2), ta có

b = 0
d = 2
∨

b = 2
d = 0
Vậy có hai hình vuông thỏa mãn có tọa độ các đỉnh là A(1, 1), B(2, 0), C(1, −1), D(0, 0) và
A(1, 1), B(0, 0), C(1, −1), D(2, 0).
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD có D(−6, −6), đường trung trực của đoạn DC có
phương trình là ∆
1
: 2x + 3y + 17 = 0 và đường phân giác góc

BAC có phương trình là
∆
2
: 5x + y − 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành.

4 Đậu Thanh Kỳ
Lời giải. Gọi I là trung điểm của CD, do I ∈ ∆
1
nên I(3a −1, −2a −5). Ta có
−→
u ·
−→
DI = 0,
trong đó

= a + 4
y
B
= 9 − 5a
⇒ B(a + 4, 9 − 5a).
Còn
−−→
DA,
−−→
DC không cùng phương khi và chỉ khi
a + 6
4
=
9 − 5a
6
⇔ a = 0.
Đường thẳng ∆
2
là phân giác góc

BAC nhận vector
−→
u = (−1, 5) làm vector chỉ phương nên
cos

−→
AB,
−→
u



−→
AC



|
−→
u |
⇔
26
√
52
=
26a − 13

(2 + a)
2
+ (5a − 3)
2
⇔ a = 1 (thỏa mãn).
Vậy ta tìm được tọa độ các điểm A, B là A(1, −2), B(5, 4). Bài toán được giải quyết xong.
Nhận xét. Sau khi tìm tọa độ điểm C, ta thấy C

(3, 1) là điểm đối xứng C qua ∆. Đường
thẳng chứa cạnh AB đi qua C

nhận
−−→
DC làm vector chỉ phương nên có phương trình

.
Chú ý rằng ABC là tam giác khi và chỉ khi
−→
AB,
−→
AC không cùng phương hay a = 1. Theo
công thức tính diện tích tam giác ta có S
ABC
= pr =
1
2
· AB ·AC, suy ra
2(AB + BC + CA) = AB · AC.
Mặt khác, AB = |a − 1|, BC = 2|a − 1|, CA =
√
3|a − 1| nên ta có
2

3 +
√
3

|a − 1| =
√
3(a − 1)
2
,
suy ra a = 1 (loại) hoặc a = 3 + 2
√
3 hoặc a = −1 −2


Phương pháp xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ 5
Nhận xét. Ngoài cách trên, ta còn có cách khác như sau: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp
∆ABC. Vì r = 2 nên y
I
= ±2. Từ phương trình đường thẳng BC suy ra

B = 60
◦
, do đó ta có
BI : y =
x−1
√
3
. Suy ra
x
I
= 1 ± 2
√
3 ⇒

x
A
= x
C
= 3 + 2
√
3
x
A

+ 4, ID =

2x
2
0
− 8x
0
+ 40.
Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác IAD, ta được
IA
2
+ ID
2
− AD
2
2IA · ID
= cos

AID ⇔
x
2
0
− 3x
0
+ 6

x
2
0
− 4x

− 24x
0
+ 32 = 0
⇔

x
2
0
− 3x
0
+ 6 > 0
(x
0
− 2)(x
0
− 4)(x
2
0
+ 4) = 0
⇔

x
0
= 2
x
0
= 4
• Với x
0
= 2, ta có I(2, 2). Khi đó dễ dàng tính được IA = 2, ID = 4

• Xét x
0
= 4. Tương tự ta tìm được B

4 + 3
√
2,
√
2

, C

4 + 4
√
2, −2
√
2

.
3 Bài tập tự luyện
Bài tập 1 (Đề dự bị Đại học khối B năm 2006). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam
giác ABC có đỉnh A(2, 1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x − 3y − 7 = 0 và đường
trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của
tam giác.
Đáp số. B(−2, −3), C(4, −5).
Bài tập 2 (Đề dự bị Đại học khối A năm 2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho
tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0). Phương trình các cạnh AB : 4x + y + 14 = 0, AC :
2x + 5y − 2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B , C.
Đáp số. A(−4, 2), B(−3, −2), C(1, 0).
Bài tập 3 (Đề dự bị Đại học khối D năm 2007). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

(c) |MA − M B| đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 6. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I. Biết A(0, 1) và
B(3, 4) thuộc parabol (P ) : y = x
2
− 2x + 1, I nằm trên cung AB của (P ) sao cho IAB có
diện tích lớn nhất. Tính toạ độ hai đỉnh C và D.
Đáp số. C

3, −
1
2

, D

0, −
7
2

.
Bài tập 7. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC. Biết C

4
3
, 2

, phương trình đường
phân giác trong BK và đường phân giác ngoài Ax lần lượt là 2x −y + 4 = 0 và x −y +10 = 0.
Tính toạ độ hai đỉnh A và B.
Đáp số. A(−4, 6), B(−1, 2).
Bài tập 8. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I. Biết hai cạnh AB và AD

17
3
,
1
3

, C(9, 7).
Bài tập 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có C(−2, 0). Đường phân giác trong
góc A có phương trình là 5x + y −3 = 0 và
−→
AB = 2
−−→
OM với M(2, 3). Tìm tọa độ điểm A, B.
Đáp số. A(1, −2), B(5, 4).
Bài tập 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S =
3
2
, tọa độ các
đỉnh A(2, −3), B(3, −2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng có phương trình
3x − y − 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp số. C(−2, −10) hoặc C(1, 1).