Sáng kiến kinh nghiệm
Hớng dẫn học sinh
Hình thành phơng phápvà rèn luyện kỹ năng
giải bài toán tìm toạ độ điểm trong không
gian.

Phần I: Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Nhìn chung phần lớn học sinh đều ngại học hình, đặc biệt là những
học sinh trung bình, yếu. ở mỗi khối, môn hình học lại có những đặc thù
riêng. ở khối 10 học sinh đợc làm quen với hình học véctơ và phơng pháp
toạ độ trong mặt phẳng, các em cảm thấy rất bỡ ngỡ. Đến lớp 11 thì học
về các phép biến hình trong mặt phẳng và bắt đầu làm quen với hình học
không gian các em lại thấy khó và quá trìu tợng. Đến lớp 12 học sinh vẫn
tiếp tục học hình học không gian và đến kì II thì học sang phơng pháp toạ
độ trong không gian. Đến phần này, các em lại gặp trở ngại là cần liên
hệ với các kiến thức hình học không gian đã học ở lớp 11 và đòi hỏi phải
có tính cần cù, cẩn thận, kĩ năng tính toán chính xác. Chính vì những lí
do đó ít nhiều tạo tâm lí không tốt cho học sinh, gây ra sự nặng nề trong
mỗi tiết học.

"Bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một
số điều kiện cho tr ớc"
có một u điểm là có thể xây dựng phơng pháp
giải rõ ràng, dễ vận dụng nhng đòi hỏi học sinh phải biết phân tích cách
dữ kiện, vận dụng kiến thức một cách tổng hợp: kiến thức về hình học
phẳng, hình học véctơ và hình học toạ độ; biết chuyển đổi các khái niệm từ
ngôn ngữ hình học thông thờng sang ngôn ngữ vectơ và ngôn ngữ toạ độ
khi cần thiết. Đồng thời học sinh phải biết vận dụng đại số vào hình học,
biết qui lạ về quen. Đặc biệt lớp bài toán này yêu cầu học sinh phải cần
cù, cẩn thận, và có kĩ năng tính toán chính xác.

gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc" ở Trờng THPT Yên Khánh A.
B. Đề xuất phơng pháp.
C. Kết quả đạt đợc.
Phần III: Kết luận.Bùi Thị Lợi 2 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Phần II: Nội dung
A. Thực trạng của việc dạy và học "lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong
không gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc" ở Trờng THPT Yên
Khánh A.
1. Thực trạng
- Qua nghiên cứu, tìm hiểu tôi phát hiện đợc phần lớn học sinh trờng tôi đều
cho rằng :"bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều
kiện cho trớc" là không quan trọng và không khó nên có phần xem nhẹ, hơn nữa
để giải các bài toán này thì cần phải viết nhiều và tính toán nhiều nên nhiều học
sinh ngại học, ngại làm, có nhiều học sinh cho rằng học phần này nhàm chán
quá, những học khá giỏi thì chủ quan chỉ cần biết phơng pháp nên rất lời tính
toán, rèn luyện kỹ năng nên rất dễ bị tính toán sai dẫn đến kết quả học tập không
cao, bởi đối với lớp bài tập này đòi hỏi phải có tính cần cù, chịu khó và phải tính
toán chính xác, còn nếu phơng pháp đúng mà tính toán sai thì cũng không thu đ-
ợc kết quả gì.
- Xuất phát từ thực trạng đó, ở trờng tôi, giáo viên đã nêu lên tầm quan trọng
của bài, gợi động cơ học tập đồng thời tích cực trao đổi, tìm tòi phơng pháp, khơi
dậy hứng thú, niềm đam mê học tập của học sinh giúp các em không còn cảm
thấy nhàm chán khi học lớp bài toán này, góp phần nâng cao chất lợng dạy và
học.
- Đối với bản thân tôi, trớc đây các bài toán tìm điểm này tôi chỉ đa lồng vào các

b) Véctơ bằng nhau, toạ độ của véctơ tổng, véctơ hiệu
Cho
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

. Khi đó
*





=
=
=
=
'zz
'yy
'xx
vu

*
)'zz;'yy;'xx(vu =

*
Rk),kz;ky;kx(uk =

*
)Rn,m()'nzmz;'nymy;'nxmx(vnum +++=+

c) Hai vectơ cùng phơng


d) Tích vô hớng của hai vec tơ
Cho
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

. Khi đó:Bùi Thị Lợi 4 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
*
'zz'yy'xx)v,ucos(v.uv.u ++==

*
2222
zyxuu ++==

*
0v ;0u
'z'y'x.zyx
'zz'yy'xx
)v,ucos(
222222





++++



=


=




==
k1
'kzz
z
k1
'kyy
y
k1
'kxx
x
OB
k1
k
OA
k1
1
OM)1k(MBkMA
M
M
M










++
=
++
=
++
=

3
zzz
z
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
G
CBA
G
CBA

xxxx
x
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
2.1.2. Tích có hớng của hai vectơ
Cho
)'z;'y;'x(v);z;y;x(u ==

a) Định nghĩa:
[ ]








==
'y'x
yx
;
'x'z
xz
;
'z'y



[ ]
0w.v,u =

c) ứng dụng:
* Diện tích tam giác:
[ ]
AC,AB
2
1
S
ABC
=
* Thể tích khối hộp:
[ ]
'AA.AD,ABV
'D'C'B'A.ABCD
=
* Thể tích tứ diện:
[ ]
AD.AC,AB
6
1
V
ABCD
=
2.1.3. Khoảng cách từ một điểm đến một điểm đến một mặt phẳng
M(x
0

1
đi qua A và có vectơ chỉ phơng
1
u
Đờng thẳng d
2
đi qua B và có vectơ chỉ phơng
2
uBùi Thị Lợi 6 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
d(d
1
;d
2
)=
[ ]
[ ]
21
21
u,u
ABu,u

2.1.6. Các bài toán lập phơng trình mặt phẳng và phơng trình đờng thẳng cơ
bản (phần lớn các bài toán lập phơng trình đờng thẳng thờng qui về bài toán
này).
a)




+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
phơng trình chính tắc của đờng thẳng d là:

)0abc(
c
zz
b
yy
a
xx
000


=

=

2.1.7. Một số phép toán véctơ
a) Phép cộng véctơ:


2.2. Kĩ năng
2.2.1. Biết lập phơng trình mặt phẳng, phơng trình đờng thẳng trong không
gian.
2.2.2. Biết tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng, tọa độ giao
điểm của hai đờng thẳng.
2.2.3. Biết xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng, vị trí tơng đối của mặt cầu
và mặt phẳng, xét xem hai điểm cùng phía hay khác phía đối với một mặt Bùi Thị Lợi 7 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
phẳng, hai điểm cùng phía hay khác phía đối với một đờng thẳng trong tr-
ờng hợp chúng đồng phẳng.
2.2.4. Biết xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phơng trình của mặt
cầu.
2.2.5. Biết khai thác dữ kiện điểm thuộc đờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng.
2.3. T duy
Biết quy nạp và khái quát hoá.
Biết vận dụng linh hoạt các công thức, biết qui lạ về quen.
2.4. Thái độ
Cẩn thận chính xác.
B. Đề xuất phơng pháp
* Giải pháp cũ thờng làm:
Các bài toán này tôi không dạy thành một chuyên để mà chỉ lồng vào các bài
tập lập phơng trình đờng thẳng, phơng trình mặt phẳng, không chia theo dạng
nên học sinh không biết cách khai thác, qui lạ vê quen.
* Giải pháp cải tiến


c
OB
cba
b
OA
cba
a
OI
++
+
++
+
++
=
c) Cho bốn điểm A, B, C và bốn số thực a, b, c, d thoả mãn:Bùi Thị Lợi 8 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
a + b + c +d 0
* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi :
0IDdICcIBbIAa

=+++
* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:

OI)dcba(OCdOCcOBbOAa +++=+++

OD

BC
2
ACAB
AM
2
222
222
2
+=+
+
=
(Công thức vẫn đúng nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng).
* Công thức độ dài đờng trung tuyến là trờng hợp đặc biệt của bài toán sau:
Với hai điểm A, B và điểm I xác đinh bởi:
)0ba(0IBbIAa +=+

, M là một
điểm tuỳ ý, ta có: aMA
2
+ bMB
2
= (a+b)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2

b) Trong tam giác ABC với trọng tâm G, M là một điểm tuỳ ý trong không gian
ta luôn có: MA

2
c) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, M là một điểm tuỳ ý, ta có:
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
= 4MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
+ GD
2
Với bốn điểm A, B, C, D và điểm I xác định bởi:

)0dcba(0IDdICcIBbIAa +++=+++

, M là một điểm tuỳ ý, ta có :
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC

a)
0DCzByAx0DCzByAx:)P()z;y;x(M
000000
=+++=+++
b)
)ctz;bty;atx(M
ctzz
btyy
atxx
:dM
000
0
0
0
+++





+=
+=
+=

2. Hệ thống bài tập theo dạng
2.1. Các bài toán qui về bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên
một mặt phẳng.
1) Bài toán 1(bài toán cơ bản)
Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M(x
0









=
=
=
=+++
kCzz
kByy
kAxx
0DCzByAx
0
0
0
Từ đó tôi yêu cầu học sinh nêu các bớc giải bài toán tìm toạ độ điểm H là hình
chiếu của M trên mặt phẳng (P).
Bớc 1: Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của điểm M(x
0
; y
0
; z
0
) trên mặt phẳng
(P): Ax + By + Cz + D = 0
Bớc 2: Tìm








=
=
=
=+++

kCzz
kByy
kAxx
0DCzByAx
0
0
0
Bớc 4: Giải hệ tìm đợc toạ độ điểm M và kết luận.
Từ cách giải trên, tôi lu ý cho học sinh để ý đến đẳng thức
P
nk =MH
, cho
ta biết điểm H thuộc tập hợp điểm nào?
H thuộc đờng thẳng d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P).
Mặt khác, H lại phải thuộc (P), vậy H xác định nh thế nào?
H là giao điểm của đờng thẳng d và mặt phẳng (P).
Vậy ta có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách khác nh thế nào?
Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

MH'M
MH'M
MH'M
zz2z
yy2y
xx2x
Cho điểm M và mặt phẳng (P), I là điểm bất kì trên (P). Gọi H là hình chiếu
của M trên (P), hãy so sánh MH và MI.
MI MH.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Khi I trùng với H
Nh vậy bài toán 1a) có thể cho bằng cách khác nh thế nào?
Cho điểm M và mặt phẳng (P). Tìm điểm H trên mặt phẳng (P) sao cho
MH ngắn nhất.
(P) là mặt phẳng trung trực của MM' khi (P) thoả mãn những điều kiện nào?Bùi Thị Lợi 11 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
?
?
?
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm



nkMH
)P(H







=
=
+=
=+








=
=
=
=+

kz
k21y
k1x
05zy2x





=
=
+=
=

Vậy H(2; -1; 1) là hình chiếu của M trên (P).
Cách 2: (P) có vectơ pháp tuyến là:
)1;2;1(n

Gọi d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P)




==

)1;2;1(nu
dM
d


phơng trình của d có dạng:





Gọi M (x; y; z), H là trung điểm của MM'







+

2
2z
;
2
4y
;
2
2x
H
M' là điểm đối xứng của M qua (P)

( )
( )
( )







4y
2
2x
3
k22z
k4y
k32x
PH
nk'MM
PH
PM'M









=
=
=
=







k32x
)2;6;8('M
Vậy M' (-8; -6; -2) là điểm đối xứng của M qua (P).
Cách 2:
(P) có vectơ pháp tuyến là:
)2;1;3(n

Gọi d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P), d có véctơ chỉ phơng
d
u
Ta có:



==

)2;1;3(nu
dM
d



phơng trình của d có dạng:





+=
+=

=+==
=+==Bùi Thị Lợi 13 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Hai bài tập trên tôi chữa tỉ mỉ cho các em cả về cách trình bày và cách tính
toán để các em nắm đợc cách trình bày bài giải.
Để các em có kĩ năng giải bài toán này nhanh và chính xác, tôi cho bài tập t-
ơng tự để các em làm ở nhà, ở một số bài tôi đều cho trớc kết quả để các em có
thể so sánh xem mình làm có đúng không và đặc biệt tôi cũng hớng dẫn các em
biết cách thử lại để tự kiểm tra khi không có kết quả trớc.
Cách suy luận để giải bài toán này là một cơ sở để tìm lời giải của các bài toán
tìm toạ độ điểm trong không gian không gian. Đặc biệt có nhiều bài toán tìm
điểm đều qui về bài toán này. Để các em nhận thức đợc điều đó, tôi đa ra một số
bài toán sau và hớng dẫn để các em tự tìm ra phơng pháp giải, qui lạ về quen.
Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P).
a) Tìm điểm M trên (P) sao cho ( MA
2
+MB
2
) nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho (aNA
2
+ bNB
2
) ( với a + b > 0) đạt giá
trị nhỏ nhất.
c) Tìm điểm K trên mặt phẳng (P) sao cho (cKA

MI
2
222
222
2
+=+
+
=
Tôi lu ý cho học sinh là đẳng thức đó vẫn đúng khi ba điểm M, A, B thẳng hàng.
Vậy (MA
2
+ MB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào?
Vì AB có độ dài không đổi nên (MA
2
+ MB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI
2
ngắn nhất, mà M lại di động trên (P), I cố định nên MI
2
ngắn nhất khi M là hình
chiếu của I trên (P).
Hãy nêu phơng pháp giải bài toán 2a):
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I là trung điểm của AB.
Bớc 2: Với ba điểm M, A, B ta luôn có:

2
AB

=+
;
2
2
uu

=
.
Hãy phân tích (aNA
2
+ bNB
2
) để làm xuất hiện
IBbIAa +
(aNA
2
+ bNB
2
) =
22
22
)INIB(b)INIA(aNBbNAa +=+
=
)IBbIAa(IN2IBbIAaIN)ba(
222
++++
=
222
bIBaIAIN)ba( +++
Với điều kiện a + b > 0 thì (aNA

22
bIBaIA +
có giá trị không đổi, a + b > 0 nên (aNA
2
+ bNB
2
) đạt giá
trị nhỏ nhất khi IN ngắn nhất.
Mà I cố định, N di động trên (P) nên NI ngắn nhất khi N là hình chiếu của I
trên (P).
Bớc 4: Tìm toạ độ điểm N là hình chiếu của I trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bằng suy luận tơng tự học sinh dễ dàng suy ra phơng pháp giải bài toán 2c):
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I
1
thoả mãn:
0BIdAIc
11

=+
.
Bớc 2: Chứng minh: (cKA
2
+ dKB
2
) =
2
1
2
1

Bài tập vận dụng:Bùi Thị Lợi 15 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Bài tập 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 2; 1) và
B(5; 0; 5) và mặt phẳng (P): x + y - z - 2 = 0
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho (MA
2
+ MB
2
) có giá trị nhỏ nhất. Tính giá
trị nhỏ nhất đó.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho (- NA
2
+ 3NB
2
) đạt giá trị nhỏ nhất.
3) Tìm toạ độ điểm K trên (P) sao cho (KA
2
- 2KB
2
) đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
1) Gọi I là trung điểm của AB
)3;1;1(I



=
+=
+=
t3z
t1y
t1x
M là hình chiếu của I trên (P) nên M là giao điểm của d và (P)
M

d
)t3;t1;t1(M ++
M

(P)
)2;2;2(M1t3t302)t3()t1()t1( ===+++
Khi đó:
MA
2
+ MB
2
= (2 + 3)
2
+(2 - 2)
2
+ (2 - 1)
2
+(2 - 5)
2

)ENEB(3)ENEA(NB3NA
+=+
=
)EB3EA(EN2EB3EAEN2
222
++
=
222
EB3EAEN2 +
Do
22
EB3EA +
có giá trị không đổi, nên (- NA
2
+ 3NB
2
) đạt giá trị nhỏ
nhất khi EN ngắn nhất.
Mà E cố định, N di động trên (P) nên NE ngắn nhất khi N là hình chiếu của
E trên (P).Bùi Thị Lợi 16 Trờng THPT Yên
Khánh A
Sáng kiến kinh nghiệm
Gọi d
1
là đờng thẳng đi qua E và vuông góc với (P)

d








3
20
;
3
2
;
3
28
N
3) Gọi điểm F là điểm thoả mãn:
0FB2FA

=

)9;2;13(FOB2OAOF =
Ta có: KA
2
- 2KB
2
=
22
22
)FNFB(2)FKFA(KB2KA

=
2
u
)1;1;1(n =

và đi qua F(-13;2;-9) nên có phơng
trình:





=
+=
+=
t9z
t2y
t13x
K là hình chiếu của F trên (P) nên K là giao điểm của d
2
và (P)
2
K d

K(-13 + t; 2 + t; -9 - t);
02)t9()t2()t13(N =+++ (P)

3
4
t4t3 ==








2
3
;
2
7
3;
Để rèn luyện đợc kỹ năng cho học sinh và để học sinh có khả năng tự nhận
xét, đánh giá bài làm của mình cũng nh bài làm của bạn và học hỏi đợc những u
điểm của nhau và tránh dợc những sai lầm thờng mắc phải, tôi gọi một học sinh
lên bảng làm bài tập 1, còn lại tất cả các học sinh còn lại đều phải làm vào giấy
nháp, rồi thu lại cho học sinh đánh giá chéo bài của nhau dới sự hớng dẫn của
giáo viên qua việc chữa bài của học sinh lên bảng. Việc làm đó giúp các em tự
rút ra đợc những sai lầm, nhợc điểm thờng mắc phải để tránh, rút ra đợc những u
điểm của bạn cũng nh của bản thân để học hỏi và phát huy.
Sau bài toán 2, để học sinh hiểu rõ cơ sở của phơng pháp giải đó và cách suy
luận tơng tự, tôi cho bài toán mở rộng sau và chia nhóm để học sinh trao đổi và
tìm ra phơng pháp giải.
Bài toán 3:
Bài 3.1. (Nhóm 1): Cho ba điểm A, B, C và mặt phẳng (P).
a) Với điểm I thoả mãn:
0ICcIBbIAa

=++


=+++
(bốn số thực a, b, c,d thoả
mãn: a + b + c + d
0
) thì ta luôn có: aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
+ dMD
2
=
= (a + b + c + d)MG
2
+ aGA
2
+ bGB
2
+ cGC
2
+ dMD
2
(**)
b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho aMA
2
+ bMB
2
+ cMC

MC

VT(*) = aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
=
222
MCcMBbMAa ++
=
( ) ( ) ( )
222
IMICIMIBIMIAa ++
=
)ICcIBbIAa(IM2IM)cba(ICcIBbIAa
2222
+++++++
= (a+b+c)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
= VP(*)

đpcm.

Bài toán của nhóm 2 đợc phân tích tơng tự, học sinh rút ra đợc phơng pháp giải
bài toán 3:
Phơng pháp giải bài toán của nhóm 1:
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I xác định bởi:
0ICcIBbIAa

=++

Bớc 2: Chứng minh đẳng thức
aMA
2
+ bMB
2
+ cMC
2
= (a + b + c)MI
2
+ aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
(*).
Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)
Do aIA
2
+ bIB
2
+ cIC

=

= (a + b + c + d)MG
2
+ aGA
2
+ bGB
2
+ cGC
2
+ dMD
2
(**)
Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)
Do aIA
2
+ bIB
2
+ cIC
2
+dID
2
có giá trị không đổi nên aMA
2
+ bMB
2
+
cMC
2
+ dMD

đạt giá trị
lớn nhất.
Đáp số: 1) M(4; -1; 0) 2) N







22
57
;
22
25
;
22
58
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(0;- 4;1),
B(3;2;2), C(2; 1; 4); D(-1; -3; 1) và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 12 = 0.
Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
đạt giá trị nhỏ

2) Tìm toạ độ điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho NA
2
- 2NB
2
+ NC
2
- ND
2
đạt
giá trị lớn nhất.
Đáp số: 1) M(0; 4; 1) 2) N(4; 11; 5)
Bài toán 4: Cho bốn điểm A, B, C, D và mặt phẳng (P)
a)Tìm điểm M trên (P) sao cho
)0ba;Rb;Ra(MBbMAau ++=

có độ
dài ngắn nhất.
b)Tìm điểm N trên (P) sao cho
)0cba;Rc;Rb;Ra(NCcNBbNAav ++++=

có độ dài ngắn nhất.
c) Tìm điểm K trên (P) sao cho
)0dcba;Rd;Rc;Rb;Ra(KDdKCcKBbKAaw ++++++=

có độ dài ngắn nhất.
Tôi h ớng dẫn học sinh tự tìm ra ph ơng pháp :
Bài toán 4a)
Ta đã biết với hai điểm A, B và hai số thực a, b thoả mãn: a + b 0
tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi :
0IBbIAa


=+
Bớc 2: Phân tích

( ) ( )
MI)ba(IBbIAaMI)ba(IBMIbIAMIau +=+++=+++=

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

u

ngắn nhất khi MI ngắn nhất


M là hình chiếu của I trên (P).
M di động trên (P), I cố định
Bớc 4: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu của I trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bằng suy luận tơng tự, tôi yêu cầu học sinh nêu các bớc giải bài toán 4b), 4c).
bằng cách ghi ra giấy và kiểm tra thì nhìn chung học sinh đều nêu đúng:
Bài toán 4b):
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I
1
thoả mãn
0CIcBIbAIa
111

=++

ngắn nhất khi NI
1
ngắn nhất


N là hình chiếu của I
1
trên (P).
N di động trên (P), I
1
cố định
Bớc 4: Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu của I
1
trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bài toán 4c)
Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I
2
thoả mãn
0DIdCIcBIbAIa
2222

=+++

OD
dcba
d
OC
dcba

Khánh A
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

w

ngắn nhất khi KI
2
ngắn nhất


K là hình chiếu của I
2
trên (P).
K di động trên (P), I
2
cố định
Bớc 4: Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu của I
2
trên (P). (Bài toán 1a)
Bớc 5: Kết luận.
Bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A (1; -3; -2), B(3; 1; 2) và mặt
phẳng (P): x + y + z - 4 = 0.
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MBMAu +=


làm véctơ chỉ ph-
ơng

phơng trình đờng thẳng d:





=
+=
+=
tz
t1y
t2x
M là hình chiếu của I trên (P)
)P(dM =
)t;t1;t2(MdM ++
M
)P(
)1;0;3(M1t3t304t)t1()t2( ===++++
Vậy M(3; 0; 1) trên (P) thì
MBMAu +=

có độ dài ngắn nhất.
2) Gọi K là điểm xác định bởi:

)4;5;0(KOB
2
1

nhận
)1;1;1(n

làm véctơ chỉ
phơng

phơng trình đờng thẳng d
1
:





+=
+=
=
t4z
t5y
tx
N là hình chiếu của K trên (P)
)P(dN
1
=
)t4;t5;t(MdN
1
++
N
)P(


2
;
3
13
trên (P) thì
NBNAv +=

có độ dài ngắn nhất.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;-3;-2), B(1;3;5),
C(5;-1;2) và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 1 = 0.
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MC3MB2MAu ++=

có độ dài ngắn
nhất.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NC2NBNA2v +=

có độ dài ngắn
nhất.
Bài tập 3:
Cho bốn điểm A(2; -1; 1), B(-2; 1; 2); C(1; 2; -1), D(3; 2; -2) và mặt phẳng (P):
x + y - z + 2 = 0
1) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho
MDMCMBMAu +++=

có độ dài
ngắn nhất.
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho

Hãy nêu phơng pháp giải bài toán 5a)?
Bớc 1: Xét vị trí tơng đối của A, B đối với (P)
* Nếu A, B nằm về hai phía của (P) :
Bớc 2: M

(P): MA + MB AB. Dấu bằng xảy ra khi M

AB


M là giao điểm của AB với mặt phẳng (P).
Bớc 3: Lập phơng trình đờng thẳng AB. Tìm toạ độ điểm M và kết luận.
* Nếu A, B cùng phía với (P)
Bớc 2: Tìm toạ dộ điểm C đối xứng với A qua (P).(Bài toán 1b)
Bớc 3: M

(P): MA + MB = MB + MC BC. Dấu bằng xảy ra khi M

BC


M là giao điểm của BC với mặt phẳng (P).
Bớc 4 : Lập phơng trình đờng thẳng BC. Tìm toạ độ điểm M và kết luận.
(Chú ý: Ta có thể thay việc tìm điểm đối xứng của A qua (P) thành tìm điểm đối
xứng của B qua (P)).
Bài toán 5b)
Bằng suy luận tơng tự, với lu ý:
NBNA
AB. Dấu bằng xảy ra khi N thuộc
AB và N nằm ngoài đoạn AB. Học sinh có thể tìm ra phơng pháp giải bài toán:

Bài tập 1:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(-1; -3; -2), B(-5; 7; 12) và mặt
phẳng (P): x - y + z + 3 = 0.Bùi Thị Lợi 24 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
Sáng kiến kinh nghiệm
Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho (MA + MB) nhỏ nhất.
Bài tập 2:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 1; 0), B(-9; 4; 9), mặt phẳng (P):
2x - y + z + 1 = 0
1) Tìm toạ độ điểm A' đối xứng với A qua (P).
2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NBNA
lớn nhất.
3) Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 3:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 1; 2), B(2; 1; 3), mặt phẳng (P):
2x + y - 3z - 5 = 0.
Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho
NBNA
lớn nhất.
Bài toán 6:
a) Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) tiếp xúc với nhau tại M. Tìm toạ độ M.
b) Cho mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn. Tìm toạ độ tâm và tính
bán kính đờng tròn giao tuyến.
c) Xác đinh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết toạ độ ba đỉnh.
Bùi Thị Lợi 25 Trờng THPT Yên
Khánh A
?
?
?
?