9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Chuyên đề 1
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
VÀ CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN CĂN THỨC BẬC HAI
Mọi liên hệ xin gửi về địa chỉ gmail : [email protected].
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1. Các phép toán biến đổi căn bậc hai.
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai :
( )
2
x 2 1 x 1 5 x 2 0
⇔ − + + + − − =
;
+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai :
( )
A.B A. B A 0,B 0= ≥ ≥
.
+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai :
( )
A A
A 0,B 0
B
B
= ≥ >
.
+) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai :
( )
2
A B A B B 0
= ≥
.;
−
+
.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho biểu thức : Cho biểu thức :
a 2a a
P
a 1 a a
-
= -
- -
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P với
a 3 8= -
c) Tìm a để P < 0.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2000 – 2001).
Gợi ý
a) ĐKXĐ : a > 0,
a 1≠
; P
a 1= -
b) Ta có
( ) ( )
2 2
a 3 8 3 2 2 2 2 2 1 2 1= - = - = - + = -
( )
2
a 3 8 2 1 2 1 2 1Þ = - = - = - = - Î
ĐKXĐ
Thay
x 0
x 0
x 1 0
x 1
x x 1 0
ì
ï
³
ï
ï
ì
ï
>
ï
ï
ï
Û - ¹ Û
í í
ï ï
¹
ï ï
î
ï
- ¹
ï
ï
î
. ĐS :
x 1
A
-
< 0
Với x
Î
ĐKXĐ thì
x 0>
. Để
x 1
x
-
< 0 thì
x 1 0 0 x 1- < Û £ <
.
Kết hợp với ĐKXĐ,
A A>
khi 0 < x < 1.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
1
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Ví dụ 3. Cho biểu thức:
1 1 1
A 1
x 1 x 1 x
æ öæ ö
÷ ÷
ç ç
= + +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
c. Ta có :
A 0
A A
A 1
é
=
ê
= Û
ê
=
ë
. Suy ra
2
0
2 2
x 1
x 9
2
x 1 x 1
1
x 1
é
ê
=
ê
-
ê
= Û Û =
ê
- -
Đáp án gợi ý :
a) ĐKXĐ :
x 0 ; x 9³ ¹
;
2
M
x 3
=
+
.
b) Ta có M >
1
3
Û
2 1 3 x
0
3
x 3 x 3
-
> Û >
+ +
.
Với x
Î
ĐKXĐ thì
x 3+
> 0. Để
3 x
0
x 3
LUYỆN TẬP
1. Cho biểu thức:
1 1
P 1 .
x 1 x x
æ ö
÷
ç
= +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
- -
.
a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của A với x = 25.
c) Tìm x để :
2
P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + +
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2004 – 2005).
2. Cho biểu thức
:
( )
+
= +
÷
− − −
÷
ç
= +
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
-
+ +
a) Rút gọn P ; b) Tìm các giá trị của x để
5
P
4
=
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x 12 1
M .
P
x 1
+
=
-
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
2
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2008– 2009)
5. Cho biểu thức :
( )
2
1 1 x 1
A :
x x x 1
x 1
+
= +
÷
− −
−
a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A ; b) Tìm giá trị của x để
1
A
3
=
.
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9
x
.
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2011 – 2012)
8. Cho biểu thức :
1 1 x 2
A .
x 2 x 2 x
−
= +
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An. Năm học 2013 – 2014).
HƯỚNG DẪN GIẢI
1. a) ĐKXĐ :
x 0
x 0
x 1
x x 0
ì
³
ì
ï
>
ï
ï ï
Û
í í
ï ï
¹
- ¹
ï ï
î
î
;
( ) ( )
( )
2
1 1 x 1 1 1 x 1 1
P 1 .
x 1 x x x 1 x 1
x x 1 x x 1
1 1 1
P
4 16
5 1
= = =
-
. Vậy P =
1
16
khi x = 25.
c. Với
2
P. 5 2 6.( x 1) x 2005 2 3+ - = - + +
,
( )
2
1
P
x 1
=
-
Ta có phương trình :
( )
( ) ( )
2
1
2 3 x 1
x 1
+ -
-
( ) ( )
( ) ( )
− + − −
÷
= + × = × =
÷
− + +
− −
÷
2 2
1 1 1 x 1 x 1 x 1 x
1 x x 1 x 1 x
x 1 x x 1 x
Vậy
-
=
1 x
P
x
khi
x 0 ; x 1> ¹
b) Với x
Î
ĐKXĐ, suy ra
x 0>
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
3
−
− − −
÷
= − = × =
÷
−
− −
÷
2
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
1 1
x 1 x
x x 1 x x 1
Vậy
−
=
x 1
A
x
khi
; > ≠x 0 x 1
b) A < 0 ⇔
x 1
0
x
−
<
a
− = − <
. Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác 1.
⇔
m 1 0 m 1
1 1 m 1 0 m 1
− − < > −
⇔
+ − − ≠ ≠
Kết luận: m > -1 và m ≠ 1.
4. a) ĐKXĐ : P có nghĩa
x 0 x 0
x 1 0 x 1
≥ ≥
⇔ ⇔
− ≠ ≠
.
( ) ( )
3 1 1 3 1 x 1
P :
x 1 1
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
, x
≠
1.
b)
( ) ( )
5 x 2 5
P 4 x 2 5 x 1 x 13 x 169
4 4
x 1
+
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ = ⇔ =
−
Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả x = 169.
c) Với
x 0³
và x
¹
11,
x 12 1
M .
P
x 1
+
=
-
, trở thành :
( )
2
x 2
x 12 x 1 x 12
x 1 x 1
+ − + −
= − = −
−
+ +
+ −
( )
( )
( ) ( )
x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
+ − − −
=
+ −
( )
( ) ( )
x x 1 x x x x 1
x 1 x 1
+ − − − +
=
+ −
( ) ( )
( )
( ) ( )
x x 1
x x x
x 1
4
æ ö
÷
ç
= = - =
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
-
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
4
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
c) A < 1
⇔
x
x 1-
< 1
x 1
1 0 0 x 1 0 x 1
x 1 x 1
⇔ − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ <
− −
Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết quả
0 x 1£ <
.
6. a) ĐKXĐ : A có nghĩa
)
= − − = − −
−
− + − +
− +
x 2 2 x 2 2
A
x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x 1 2 x 1 2
x x
x 1 x 1 x 1 x 1
+ − − −
−
= =
− + − +
( )
( ) ( )
x x 1
x
x 1
x 1 x 1
−
= =
+
− +
≥
và x
1≠
, ta có:
( )
( )
x
B A. x 1 (x 1) x x 1 x x
x 1
= − = − = − = −
+2
2 2
1 1 1 1 1 1
( x) 2. x. ( x )
2 2 4 2 4 4
æö æ ö
÷ ÷
ç ç
= - + - = - + - ³ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Dấu bằng xảy ra khi
x
−
= ⇔ = ⇔ − = ⇒ =
(thỏa mãn)
c)
x 1 1
x xP A 9 1 9 x
x
9
x
−
= = − += −
−
÷
Áp dụng BĐT Côsi :
1
9 x 2.3 6
x
+ ≥ =
=> P
≥
-5.
Vậy MaxP = - 5 khi x =
1
9
x 0, x 4
> ≠
.
b)
1 2 1
A 4 x 2 x 2 x 4
2 2
x 2
> ⇒ > ⇔ > + ⇔ < ⇔ <
+
Kết hợp với ĐKXĐ ta có :
1
A
2
>
khi
0 x 4< <
.
c)
7 7 2 14
B .A
3 3
x 2 3 x 6
= = =
+ +
Do x > 0 =>
3 x 6 0+ >
=> 0 <
14
3 x 6+
Û
í í
ï ï
- ¹ ¹
ï ï
î î
0 0
4 0 4
P =
2 1 1 2 x 2 x
: .( x 2)
x 4
x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x 2
+ −
+ = + =
÷
−
+ + − + −
Vậy
x
P
x 2
=
−
với
x 0, x 4≥ ≠
.
b)
(a 0;a 1)≥ ≠
;
4 2 3 6 8
B
2 2 3
+ − − +
=
+ −
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Nam)
2. Cho biểu
x 2 x 2 x
A :
x 1
x 2 x 1 x 1
+ −
= −
÷
÷
−
+ + +
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nam Định)
3. Cho biểu thức: P =
1 1 a 1 a 2
÷
− − − +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi
x 3 2 2= −
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa)
5. Cho biểu thức:
x 2 x 1 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +
= + −
−
− + +
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm x để P đạt giá trị nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Quảng Ninh)
6. Cho biểu thức
x 1 x 2 1
P :
x 1 x 1
x x
+ −
1 x x 9
M .
x 9
3 x 3 x
+
= + −
−
− +
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
6
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
b) Tìm các giá trị của x để M > 1.
2. Cho biểu thức:
2
4a a a 1
P .
a 1 a a
a
−
= −
÷
÷
− −
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Với những giá trị nào của a thì P = 3.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Tĩnh)
− +
= +
+ −
x x 2x 28 x 4 x 8
B
x 3 x 4 x 1 4 x
− + − +
= − +
− − + −
( 0, 16)
≥ ≠
x x
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh)
2. Cho
x 10 x 5
A
x 25
x 5 x 5
= − −
−
− +
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 9.
c) Tìm x để
1
A
3
<
2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa)
5. Cho biểu thức:
1 1 2
P 1
2 a 2 a a
= − +
÷ ÷
− +
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P >
1
2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Tĩnh)
6. Cho biểu thức
x 1 1 2
A :
x 1
x 1 x x x 1
= + +
÷
÷
÷
−
− − +
Trong đó : a, b, c, a', b', c'
∈¡
; a, b không đồng thời bằng 0, a' và b' không đồng thời bằng 0 và x, y là ẩn.
2. Các phương pháp giải hệ phương trình :
a) Phương pháp thế :
+) Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình thứ hai ta được phương
trình bậc nhất một ẩn
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
b) Phương pháp cộng.
+) Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
3. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số.
Để xác định số nghiệm của hệ phương trình ta có thể sử dụng tính chất sau :
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn :
ax by c
a 'x b'y c'
+ =
+ =
+) Có nghiệm duy nhất
⇔
a b
a ' b'
≠
.
+) Có vô số nghiệm
+ +
.
Phương pháp.
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau :
Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax
2
+ bx + x = 0 bằng cách :
+ Tìm ĐKXĐ.
+ Quy đồng và khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa tìm được.
+ Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời.
Giải.
a) ĐKXĐ : x
≠
1, x
2≠ −
.
x 4 0 x 4⇒ − − = ⇔ = −
, thỏa mãn.
b) ĐKXĐ :
3
x x 1 0+ + ≠
(*)
3
2x 3 0 x
2
−
⇒ + = ⇔ =
.
Với
2m 3 0− ≠
vậy phương trình 1 có nghiệm :
( )
( )
2
2m m 2
4
x m 2
2m 3 2m 3
− + −
= = − + −
− −
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
8
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3
{ }
1, 2, 4∈ ± ± ±
.
Giải ra ta được m = 2 và m = 1.
Dạng 2. Giải hệ phương trình dạng tổng quát
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau :
a)
2x + 3y = 2
1
x y =
6
−
− −
=
x
x
y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
=
=
1
x
2
1
y
3
b)
2
2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0.
Giải.
1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :
3
x
2x 3y 1 2x 3y 1
7
5x 3y 2 7x 3
1
y
21
=
+ = + =
⇔ ⇔
− = =
=
2) Lấy phương trình đầu cộng với phương trình thứ hai ta có :
a 2 a 2 5a 4
7x a 2 x 2. 3y a y
7 7 21
+ + −
<
Vậy với
4
2 a
5
− < <
hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < 0.
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình :
( )
( )
x m 3 y 0
m 2 x 4y m 1
− + =
− + = −
1) Giải hệ khi m = -1.
2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m.
Giải.
1) Với m = -1 hệ phương trình đã cho có dạng :
x 2y 0 x 2
3x 4y 2 y 1
⇔
0 = 0 hay phương trình có nghiệm với mọi y
⇒
hệ có vô số nghiệm.
*) Nếu m = - 2 từ (3)
⇒
0 = - 3 hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
9
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
*) Nếu
m 1,m 2≠ ≠ −
từ (3)
⇒
1 m 3
y x
m 2 m 2
+
= ⇒ =
+ +
Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
m 3
x
m 2
1
y
m 2
+
=
m 1
m 3≠⇔ ≠ −⇔
−
với mọi m
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
LUYỆN TẬP
1. Giải các hệ phương trình sau :
a)
4x + 7y = 18
3x y = 1
−
b)
3x 2y 6
x 3y 2
+ =
− =
; c)
x y 4
2x 3 0
− =
+ = −
(x, y là ẩn ; a là tham số)
a) Giải hệ phương trình với a = 4.
b) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y =
3
x
4
.
3. Cho hệ phương trình :
ax y 3
x ay 1
+ =
+ = −
a) Giải hệ phương trình với a = 3.
b) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
4. Cho hệ phương trình :
( )
a 1 x ay 3a 1
2x y a 5
− − = −
− = +
2x y 5m 1
x 2y 2
+ = −
− =
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x
2
– 2y
2
= 1.
HƯƠNG DẪN GIẢI.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
10
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
1. a)
4x + 7y = 18 4x + 7y = 18 25x = 25 x = 1
3x y = 1 21x - 7y = 7 3x - y = 1 y = 2
⇔ ⇔ ⇔
−
;
b)
( )
⇔ ⇔
+ = = −
= −
;
d)
( )
x 4 2y
3x + y = 9 x 4 2y x 2
3 4 2y y 9
x 2y = 4 7y 21 y 3
= − +
= − + =
⇔ ⇔ ⇔
− + + =
− − = =
;
e)
ax y 3
− =
+ = −
(x, y là ẩn ; a là tham số)
a) Với a = 4, hệ phương trình có dạng :
3x 2y 6 (1)
4x y 3 (2)
− =
+ = −
Từ phương trình (2) biểu diễn y theo x, ta được : y = - 3x – 4y (3).
Thay y = - 3x – 4y vào (1) ta có :
( )
2
3x 2 3x 4 6 3x 6x 8 6 x
9
−
− − − = ⇔ + + = ⇔ =
Với
2 2 14
x y 3. 4
9 9 3
− − −
= ⇒ = − − =
Vậy với a = 4 hệ phương trình có nghiệm duy nhất :
− × =
=
− =
−
+ = − ⇔ + = − ⇔ =
=
=
=
Vậy phương trình có nghiệm
y
3
x
4
=
khi
3
+ = − + = − + = − −
=
b) Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất :
2
a 1
a 1 a 1.
1 a
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±
4. Cho hệ phương trình :
( )
a 1 x ay 3a 1
2x y a 5
− − = −
− = +
a) Với a = 3 hệ phương trình có dạng :
2x 3y 8 x 4
2x y 8 y 0
− = =
⇔
⇔
a – 1 = 0
⇔
a = 1.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
11
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
5. Cho hệ phương trình:
mx – y 2 (1)
3x my 5 (2)
=
+ =
a) Với m = 2, phương trình có dạng :
9
x
2x – y 2 4x 2y 4
7
3x 2y 5 3x 2y 5 4
y
7
=
= − =
+
−
=
+
Ta có
2 2 2
2m 5 5m 6 7m 1
0 0
m 3 m 3
x y 0
m 3
+ − −
++ > > ⇔ >
+ + +
⇔
.
Do
2
m 3+
> 0 nên
2
7m 1 1
0 7m 1 0 m
Vậy với m = 1 hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) = (4 ; 1).
b) Hệ có nghiệm duy nhất
2
m 1
m 2
2 m
−
⇔ ≠ ⇔ ≠ −
với mọi m.
Với mọi m hệ phương trình có nghiệm
2
2
3m 9
x
m 2
9m 6
y
m 2
+
=
+
−
=
+
∈
Ư(33) =
{ }
1; 11; 33± ± ±
.
Do
2
m 2 2+ ≥
nên
±
1 ; -11 và – 13 không là ước của
2
m 2+
.
+)
2 2
m 2 11 m 9 m 3+ = ⇔ = ⇔ = ±
(thỏa mãn)
+)
2 2
m 2 33 m 31 m 31+ = ⇔ = ⇔ = ± ∉¢
(loại)
Vây A nguyên khi
m 3= ±
.
7. Cho hệ phương trình:
2x y 5m 1
x 2y 2
+ = −
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2
x – 2y 1 2m 2 m 1 1= ⇔ − − =
2
2m 4m 3 0⇔ + − =
,
( )
2
' 2 2. 3 10∆ = − − =
Phương trình có nghiệm :
1
2 10
m
2
− +
=
;
2
2 10
m
2
− −
=
.
Chuyên đề 3.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
x
2a
− − ∆
=
+) Nếu
∆
= 0
⇒
phương trình có nghiệm kép:
−
= =
1 2
b
x x
2a
.
+) Nếu
∆
< 0
⇒
phương trình vô nghiệm.
Phương pháp 2. Dùng công thức nghiệm thu gọn.
Nếu b = 2b’ ,
( )
2
' b' – ac∆ =
+) Nếu
∆'
> 0
⇒
phương trình vô nghiệm.
Phương pháp 3. Nhẩm nghiệm
+) Nếu a + b + c = 0
⇒
Phương trình có 2 nghiệm :
1 2
c
x 1, x
a
= =
.
+) Nếu a – b +c = 0
⇒
phương trình có 2 nghiệm :
1 2
c
x 1, x
a
=− = −
.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
a) Định lý : Nếu x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì ta có :
0
P 0
∆ ≥
>
. +) Có 2 nghiệm dương
⇔
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
>
+) Có 2 nghiệm âm
⇔
0
P 0
S 0
∆ ≥
>
Giải.
a) Với m = 1, phương trình có dạng : x
2
– 6x – 8 = 0
( )
' 2
3 1. 8 17∆ = − − =
⇒
Phương trình có hai nghiệm :
1
x 3 17= +
;
2
x 3 17= −
b)
' 2 2
(m 2) (m 9) 4m 13
∆ = + − − = +
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
13
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> 4m + 13 > 0 <=> m >
13
4
−
c) ĐK để pt có hai nghiệm x
1
; x
2
là : 4m + 13
Ví dụ 2. Cho phương trình bậc hai, với tham số m: 2x
2
– (m+3)x + m = 0 (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
1 2 1 2
5
x x x x
2
+ =
.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 2
P x x= −
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2009– 2010)
Giải.
a) Với m = 2 thì phương trình trở thành : 2x
2
– 5x + 2 = 0
2
5 4.2.2 9∆ = − =
x x
2
+
+ =
=
Mà
( )
1 2 1 2
m 3 5 m
2 m 3 5m m 2
2
5
x x x x
2 2 2
+
⇔ = × ⇔ + = ⇔= =+
.
c) Từ câu a phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :
Xét biểu thức :
( ) ( )
( )
2
x – m 1 x 2m – 2 0+ + =
(1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm giá trị của tham số m để
x 2= −
là một nghiệm của phương trình (1).
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An. Năm học 2010 – 2011)
Giải.
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành :
− + =
2
x 3x 2 0
∆ = 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 )
Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2
b) Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên
(- 2)
2
- (m + 1)(-2) + 2m – 2 = 0 (*)
(*) ⇔ 4m + 4 = 0 ⇔ m = - 1 . Vậy m = -1
Ví dụ 4. Cho phương trình: x
2
– 2(m -1)x + m
2
-6 = 0, m là tham số.
a) Giải phương trình với m = 3.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
2
⇔ ∆ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤
Theo hệ thứ Vi-ét ta có :
1 2
x x 2m 2+ = −
;
2
1 2
x .x m 6= −
.
Từ hệ thức
( ) ( )
2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x 16 x x 2x x 16 2m 2 2(m 6) 16+ = ⇔ + − = ⇔ − − − =
2
2m 8m 0 2m(m 4) 0⇔ − = ⇔ − =
=
⇔
=
m 0 (t/m)
m 4 (loai)
Vậy m = 0 thì phương trình trình có hai nghiệm x
1
, x
x = 4
;
2
x = 2
b)
( )
( )
2
2
' m +1 m +4D = - = -2m 3
Phương trình (1) có hai nghiệm
1 2
x ; xΔ'
⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
3
0 2m 3 0 m
2
(*)
Theo Viet ta có:
1 2
2
1 2
x + x (m )
x .x m
= +
= +
2 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho biểu thức
2 2
1 2
Q (x 1)(x 4)= − −
có giá trị lớn nhất.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
2. Cho phương trình: x
2
+ 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
m R∀ ∈
.
b) Tìm giá trị của m sao cho (4x
1
+ 5)(4x
2
+ 5) + 19 = 0.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Nam)
3. Cho phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
– 2mx + m – 2 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức :
2 2
1 2 1 2
24
M
x x 6x x
−
=
+ −
đạt giá trị nhỏ nhất.
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh)
2. Cho phương trình x
2
– 2x – 3m
2
= 0, với m là tham số.
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khác 0 và thỏa điều kiện
1 2
2 1
1
, x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
x x 16+ =
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nghệ An)
5. Cho phương trình x
2
– 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
,x
2
mà biểu thức A = x
2
1
– x
1
x
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị
nhỏ nhất đó.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Phú Thọ)
– (4m – 2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c) ) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bắc Ninh)
9. Cho phương trình (ẩn x) : x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0 (1).
a) Giải phương trình (1) với m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1)có nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn: (x
1
+ m)( x
2
+ m) = 3m
2
+12.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Phú Thọ)
10. Cho phương trình :
2
x 2(m 1)x m 2 0
− + + − =
, với x là ẩn số,
∈m R
a) Giải phương trình đã cho khi m = – 2.
b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m sao cho x
1
+ x
2
= 2x
1
x
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2(
2 2
1 2
x x+
) – x
1
x
2
.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bến Tre)
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
16
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Chuyên đề
HÀM SỐ Y = AX + B VÀ HÀM SỐ Y = AX
2
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số y = ax + b :
a) Tính chất :
)
a a'
b b'
=
⇔
≠
+) (d
1
) trùng (d
2
)
a a'
b b'
=
⇔
=
+) (d
1
) vuông góc (d
2
)
⇔
a . a' = -1.
(a
≠
0):
a. Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) có những tính chất sau:
+ Xác định với mọi giá trị của x thuộc R.
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
b. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0):
+ Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
c. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0):
+ Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
+ Dựa và bảng giá trị
→
vẽ (P).
3. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax
2
⇒
phương trình vô nghiệm
⇒
(d) và (P) không giao nhau.
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
( )
y k 3 x k 2= − + +
. Xác định các giá trị của của k để :
a) Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến.
b) Vẽ đồ thị hàm số khi k = 1 ; k = 3 ; k = 4.
c) Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2).
d) Đồ thị cắt hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích bằng 2.
Đáp án gợi ý.
a) Hàm số là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến
⇔
k 3 0 k 3− > ⇔ <
b) HS vẽ đồ thị.
c. Đồ thị hàm số đi qua M(1 ; -2) ta có :
( )
1
2 k 3 .1 k 2 k
2
−
− = − + + ⇔ =
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
17
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
k 4 2 6= − −
,
2
k 4 2 6= − +
(thỏa mãn)
+) Với
3 k 0 k 3− < ⇔ >
thì phương trình có dạng :
2
k 16 0+ =
, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5).
a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B.
b) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng (d).
c) Lập phương trình đường thẳng đi qua C(-4 ; 1) và song song với (d) ; vuông góc với (d).
Đáp án gợi ý.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng :
A A
A B A B
x x y y
x x y y
− −
=
− −
nên :
( ) ( )
x 1 y 3
2 x 1 y 3
1 2 3 5
− −
1). Vì (d
1
) đi qua C(-4 ; 1) nên :
1 = 2(-4) + b
⇔
b = 9. Vậy đường thẳng (d) là y = 2x + 9.
+) Do (d
1
)
⊥
(d) nên a . 2 = -1
1
a
2
⇒ = −
1
y x b
2
−
⇒ = +
. Vì (d
1
) đi qua C(-4 ; 1) nên :
1 =
1
2
−
(-4) + b
⇔
b = -1. Vậy đường thẳng (d) là
1
y x
2
=
.
b) Cho hàm số bậc nhất
y ax 2= −
(1) . Hãy xác định hệ số a, biết rằng a > 0 và đồ thị của hàm số (1) cắt trục
hoành Ox, trục tung Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho
OB = 2OA (với O là gốc tọa độ).
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
3. Cho parabol (P): y =
3
4
x
2
và đường thẳng (d): y = x + m (với m là tham số)
a) Vẽ parabol (P).
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu)
4. a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y = mx + 1 luôn cắt parabol (P): y = x
2
tại hai
điểm phân biệt. Khi đó tìm m đễ
1 2 1 2
y y y .y 7+ + =
, với
1 2
y ,y
a) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
b) Chứng minh rằng với mọi a (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Giả sử
1
x
và
2
x
là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm a để
+ =
2 2
1 2
x x 6
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
19
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Chuyên đề 5.
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.
A. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước1. Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2. Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và
kết luận.
Cần lưu ý ki giải bài toán này.
- Đọc kĩ đề toán.
, x, y
9
≤
(*)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
2x 5y 1 x 8
x 2y 2 y 3
− = =
⇔
= + =
thỏa mãn điều kiện (*)
Vậy số phải tìm là : 83.
Ví dụ 2. Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được
cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
Hướng dẫn.
Gọi số cần tìm là
xy
( x, y
*∈¥
, x, y
9≤
) (*)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
x y 6
x 2
y 4
xy 18 yx
giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành
công việc đó trong bao lâu ?
Lời giải. Đổi
1
25%
4
=
.
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
20
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Cách 1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Gọi x (giờ) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để người thứ
nhất hoàn thành công việc (y > 0) . Ta có :
Trong một giờ :
Người thứ nhất hoàn thành được
1
x
công việc;
Người thứ hai hoàn thành được
1
y
công việc ;
Hai người hoàn thành công việc trong 16 giờ thì trong 1 giờ hai người cùng làm được
1
16
công việc. Ta có
phương trình :
1 1 1
x y 16
Giải ra ta được : x = 24, y = 48 (thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ và người thứ hoàn thành công việc
trong 48 giờ.
Cách 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (giờ).
Điều kiện x > 16. Ta có :
Trong một giờ : Người thứ nhất làm được :
1
x
(công việc) ;
Người thứ hai làm được :
1 1
16 x
−
(công việc) ;
Thời gian để người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là :
1 1
1:
16 x
−
÷
(giờ).
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ được
6
y
công việc thì hoàn thành 25% công
Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (x
> 0). Ta có :
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được :
1
x
bể, vòi thứ nhất chảy được :
1
y
bể.
Hai vòi chảy đầy bể sau
24
5
nên một giờ cả hai vòi cùng chảy được
5
24
(bể).
Ta có phương trình :
1 1 5
x y 24
+ =
(1)
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
21
9 chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT. Năm học 2013 – 2014.
Trong 9 giờ vòi thứ nhất chảy được
9
x
bể, trong
6
5
⇔
=
+ + =
÷
Vậy nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ sẽ đầy bể.
Cách 2. HS tự làm.
Dạng 3. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
I. Phương pháp giải.
Toán chuyển động thường có ba đại lượng : quảng đường, vận tốc, thời gian.
Cần chú ý một số yếu tố sau :
+ Quảng đường = vận tốc x thời gian.
+ Vận tốc xuôi dòng = vận tốc ca nô (thuyền) + vận tốc dòng nước.
+ Vận tốc ngược dòng = vận tốc ca nô (thuyền)
−
vận tốc dòng nước.
II. VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Ví dụ 5. Một ô tô đi từ A và dự định đến B với một thời gian nhất định. Biết rằng nếu xe chạy với vận tốc
30 km/h thì đến B chậm hơn so với dự định 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B sớm hơn so
với dự định 1 giờ. Tính quảng đường AB và thời gian và thời gian dự định đi từ A đến B.
Lời giải.
Gọi x (km) là độ dài quảng đường AB (x > 0) ; y (giờ) là thời gian dự định đi từ A đến B ( y > 0) 0. Ta có :
3x 4y 20
+ =
=
⇔
=
− =
Dạng 5. DẠNG TOÁN KHÁC.
Ví dụ 7. Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết
10 000 đồng. Hôm nay mẹ Lan mua ba quả trứng và bảy quả trứng vịt thì hết 9 600 đồng mà giá trứng thì vẫn giá cũ.
Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
Hướng dẫn.
Gọi x (đồng) là giá trứng gà, y (đồng) là giá trứng vịt. Điều kiện : x, y > 0.
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
5.x 5.y 10000 x 1100
3x 7y 9600 y 900
+ = =
⇔
+ = =
LUYỆN TẬP.
thứ nhất đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
11. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 5 giờ và vòi
thứ hai chảy trong 2 giờ thì được
8
15
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể?
12. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau
4
4
5
giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ
nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau
6
5
giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì
sau bao lâu mới đầy bể.
Dạng 3. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
13. Một ô tô đi từ tỉnh A đến B với một vận tốc đã định. Nếu vận tốc tăng 20km/h thì thời gian đi giảm 1 giờ,
nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian đi tăng 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
14. Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau.
Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ thì chúng gặp nhau.
Tính vận tốc của mỗi xe.
15. Một ô tô đi quãng đường dài 150 km với vận tốc dự định. Nhưng khi đi được
2
3
quãng đường xe bị hỏng
máy phải dừng lại 15 phút. Để đến đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường
còn lại. Tính vận tốc ô tô dự định đi.
16. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại đi ngược dòng từ
bến B về bến A . Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và đi ngược dòng là 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết
mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi rằng
trong tháng hai, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
25. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%. còn tỉnh B tăng
1,1%. Tổng số dân của hai tỉnh năm nay là 4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay.
HƯỚNG DẪN GIẢI.
1. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
ab
(0 < a,b
≤
9 ;
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
a b 11
a b 11 a 4
a b 3 b 7
ab 27 ba
+ =
+ = =
⇔ ⇔
− = − =
+ =
3. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
ab
(0 < a,b
≤
9 ;
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
2 2
2 2
a b 20
a b 20 (1)
a b 2 (2)
ab 18 ba
+ =
+ =
⇔
− = −
+ =
Từ phương trình (2) biểu diễn a theo b, ta được :
a 2 b= − +
≤
b
≤
9
a,b *∈¥
)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
( )
ab 3 a b 1
7a 2b 1 (1)
10a b 4ab 2 (2)
ab 4ab 1
= + +
− =
⇔
+ − =
= +
Từ phương trình (1) rút b theo a ta được :
7a 1
b
2
−
=
Ta thấy
2
3
a
28
=
không thỏa mãn điều kiện bài toán.
Thay a = 1 vào (3) ta được : b = 3.
Vậy số cần tìm là : 13.
5. Gọi số tự nhiên cần tìm là :
abc
(0 < a
≤
9 ; 0
≤
b,c
≤
9 ;
a,b∈¥
).
Theo bài ra ta có phương trình :
( )
abc 11 a b c= + +
100a 10b c 11a 11b 11c 89a b 10c cb⇔ + + = + + ⇔ = + =
5 15 3
x y 4
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 1
1 1
x 20
x y 12
x 20
1 1
5 15 3 y 30
y 30
x y 4
+ =
=
=
⇔ ⇔
=
=
+ =
x 12 x 4
+ − =
÷
Giải ra ta được : x = 20(thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc trong 20 ngày và đội II hoàn thành công việc là :
1 1
1: 30
12 20
− =
÷
(ngày).
7. Cách 1 : HS tự giải.
Cách 2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để đội A làm một mình hoàn thành công việc.
Điều kiện x > 24. Ta có :
Một ngày : Đội A làm được
1
x
(CV) ;
Đội B làm được
1 1
24 x
−
(CV) ;
Thời gian đội B làm một mình hoàn thành công việc :
1 1
Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc.
Điều kiện x > 2. Ta có :
Nguyễn Tài Minh (Sưu tầm & biên soạn)
25
Copyright: Tài liệu đại học ©