Click “Theo dõi” Action để nhận tài liệu FREE nhanh hơn
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP PHẦN GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT
CUNG VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC LỚP 10
Ph ần 1: Lý thuyết:
I.Kiến thức cần nhớ:
1.Công thức lượng giác cơ bản :
1)
2 2
sin cos 1
α α
+ =
2)
sin
tan
cos
α
α
α
=
3)
cos
cot
sin
α
α
α
=
4)
2
2
1

,
2
k
π
α
≠
,
k Z
∈

Chú ý:
sin( 2 ) sink
α π α
+ =
,
k Z
∀ ∈

cos( 2 ) cosK
α π α
+ =
,
k Z
∀ ∈

tan( ) tank
α π α
+ =
;
cot( ) cotk


tan( ) tan
α α
− = −
cot( ) cot
α α
− = −

b) Với hai góc (cung) bù nhau:
α
và
π α
−
, ta c:

sin( ) sin
π α α
− =
cos( ) cos
π α α
− = −

tan( ) tan
π α α
− = −

cot( ) cot
π α α
− = −
c) Với hai góc (cung) hơn kém nhau

sin( ) cos
2
π
α α
− =
cos( ) sin
2
π
α α
− =

tan( ) cot
2
π
α α
− =
cot( ) tan
2
π
α α
− =
3.Công thức cộng:

cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −

sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +

t ana-tanb

= −

6.Công thức hạ bậc:

2
1 cos 2
cos
2
a
a
+
=
2
1 cos 2
sin
2
a
a
−
=
2
1 cos 2
tan
1 cos 2
a
a
a
−
=
+

+ =
cos cos 2sin sin
2 2
u v u v
u v
+ −
− = −

sin sin 2sin cos
2 2
u v u v
u v
+ −
+ =
sin sin 2cos sin
2 2
u v u v
u v
+ −
− =
PHẦN II Bài tập
I/. GOÙC - CUNG LÖÔÏNG GIAÙC
Bài 1: Đổi ra đơn vị radian các gc (cung) c số đo:
a/ 15
o
b/ 12
o
30’ c/ -200
o
Bài 2: Đổi ra đơn vị độ ( phút, giây) các gc (cung) c số đo:

uur uur
không ?
tại sao?
Bài 4: Tìm điểm ngọn của các cung sau:

¼
»
»
k2
a / AM k b/ AN k. c / AP
3 2 3 3
p p p p
p= = + =- +
HD: Bài 1,2 áp dụng công thức
0
0
180
a
α
π
=
II/. GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC
2
Click Theo dừi Action nhn ti liu FREE nhanh hn
HD: p dng cỏc cụng thc Lg c bn bin i
Bi 1: Cho
sin 0,8 < < .Tớnh cos ,tan ,cot .
2
p
a a p a a a

os 0c

<

nờn
os 0,6c

=
sin 0,8
tan
os 0,6c



= =

os 0,6
cot
sin 0,8
c




= =
Bi 2: Tớnh
2sin x 3cosx
B
3sin x 2cosx
+

sin x cos x
-
=
+
Gii:
2 2 2 2 2 2
2cos x 1 2cos x (sin x cos x) cos x sin x (cos x sinx)(cos x sinx)
A cosx sinx;
sin x cosx sinx cosx sinx cosx sinx cos x
- - + - - +
= = = = = -
+ + + +
Bi tp
Bi 1: Cho 5cosa + 4 = 0
( )
o o
180 < a < 270
.Tớnh sina , tana, cota.
Bi 2: Cho
o o o o
tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= -
Bi 3: Tớnh
tan x cot x
A
tan x cot x
+
=
-
bit
1


v giỏ tr LG ca cỏc cung c bit
Bi 1: Tớnh GTLG ca cỏc cung(gc): 315
o

3
Click “Theo dõi” Action để nhận tài liệu FREE nhanh hơn
Giải: sin315
o
=
0 0 0 0
2
sin( 45 360 ) sin( 45 ) sin 45
2
− + = − = − = −
cos315
o
=
0 0 0 0
2
os( 45 360 ) os( 45 ) os45
2
c c c− + = − = =
0 0
0
0 0
sin 315 sin 45
tan315 1
os315 os45c c
−

π
=
os( 12 ) os( 2.6 ) os( ) os 1c c c c
π π π π π π
− + = − + = − = = −
tan11 0
π
=
cot11 DKX
π
=
Bài tập áp dụng: Tính GTLG của các cung(gc):
29 16 1988 115 159
, , , ,
6 3 3 6 4
p p p p p
- - -
* Biết 1 HSLG khác:
Ví dụ: Cho sinx = - 0,96 với
3
x 2
2
p
p
æ ö
÷
ç
< <
÷
ç

ç
è ø
B2: tính cosx
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tính
( ) ( )
cos x ,tan x ,cot 3 x
2
p
p p
æ ö
÷
ç
- + -
÷
ç
÷
ç
è ø
Bài 2: Cho
( )
3
tan x 1 2, < x < 2
2
p
p p
æ ö
÷
ç
+ = -

0 0
0 0
os180 os0
os160 os20
os140 os40
c c
c c
c c
= −
= −
= −
Nên A=0
Bài tập tương tự:
Bài 1: Tính
o o o o
o o o o o
B cos105 .cos75 sin105 .sin 75
C tan10 .tan 20 .tan30 tan70 .tan80
= -
=
Bài 1: Tính:

( ) ( )
( ) ( )
o o o o o o
o o o o o
o o o
A sin825 .cos 15 cos75 .sin 195 tan155 .tan 245
B sin190 4sin 530 cos280 tan170 .cos 10
C cot585 2cos1440 2sin1125

a a p a a b b a
a b b b
p p
p b p a
a p a p a b
æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç ç
- + - + + - +
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
= - = - + -
æ ö æ ö
- -
÷ ÷
ç ç
+ - - -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Loại 3 : Đơn giản biểu thức lượng giác
HD: Biến đổi các cung (góc) trong () về cung (góc) có liên quan đặc biệt rồi áp
dụng công thức GTLG của các cung liên quan đặc biệt để thu gọn:
Ví dụ: Đơn giản biểu thức:


tan( ) tan( 2 ) tan( ) cot
2 2 2
π π π
α α π α α
− = − + = − =
Nên:
sin sin cot cot 2sinA
α α α α α
= − − − + = −
Bài tập:
Bài 1: Đơn giản biểu thức:
( )
( ) ( )
7 3 3
B cos 15 sin tan .cot
2 2 2
5 9 7
C sin 7 cos cot 3 tan 2tan
2 2 2
p p p
p a a a a
p p p
p a a p a a a
æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷
ç ç ç
= - + - - + -
÷ ÷ ÷
ç ç ç
÷ ÷ ÷

1
2
A B
9
tan368 2cos638 cos98
sin x .cos x 99
2
p
p p
p
p
ổ ử
ữ
ỗ
- - -
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ố ứ
= = +
ổ ử
+
ữ
ỗ
- -
ữ
ỗ
ữ

Loi 1: Tớnh Giỏ tr lng giỏc ca 1 cung( gúc)
Vớ d: Tớnh giỏ tr cỏc HSLG ca cỏc cung sau:
o o o o o
15 ,75 ,105 ,285 ,3045
0 0 0 0 0 0 0
2 3 2 1
:sin15 sin(45 30 ) sin 45 os30 os45 sin30 . .
2 2 2 2
2
( 3 1)
4
Giai c c= = =
=

0 0 0 0 0 0 0
2 3 2 1
os15 os(45 30 ) os45 . os30 sin 45 .sin 30 . .
2 2 2 2
2
( 3 1)
4
c c c c= = + = +
= +
Bi 1: Tớnh giỏ tr cỏc HSLG ca cỏc cung sau:
o o o o
75 ,105 ,285 ,3045
Bi 2: Tớnh giỏ tr cỏc HSLG ca cỏc cung sau:
7 13 19 103 299
, , , ,
12 12 12 12 12

b/ Tớnh
a b+
Bi 5: Cho 2 gc nhn x v y tho :
x y
4
tan x.tan y 3 2 2
p
ỡ
ù
ù
+ =
ù
ớ
ù
ù
= -
ù
ợ
a/ Tớnh
( )
tan x y ;tan x tan y+ +
b/ Tớnh tanx , tany c/ Tớnh x v y.
Bi 6: Tớnh
tan x
4
p
ổ ử
ữ
ỗ
-

theo
tana
. p dng: Tớnh tg15
o
Loi 2 : Tớnh Giỏ tr biu thc lng giỏc
6
Click “Theo dõi” Action để nhận tài liệu FREE nhanh hơn
Ví dụ:Tính giá trị của biểu thức
o o o o
A sin 20 cos10 sin10 cos 20= +
Giải:
o o o o 0 0 0
1
A sin 20 cos10 sin10 cos20 sin(20 10 ) sin 30
2
= + = + = =
Bài 1: Tính:

o o o
o o o o
o o o
o o o
o o o o
o o
tan 25 tan 20 1 tan15
A sin 20 cos10 sin10 cos20 B C
1 tan 25 .tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 .cot69
D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F
3

÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:

2 2 2 2 2 2
2 2
A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x
3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= + + + - = + + + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø
Loại 3: Rút gọn biểu thức
Ví dụ rút gọn:
( )
( )
cos a b sina.sin b
A
cos a b sin a.sin b
+ +
=

D ;E tgb;F cos(x y)cos(x y) sin x
cos a b cos a b
sin 45 x cos 45 x
+ + - - +
= =
+ - - - -
+ - -
+
= = - = + - +
+ + -
+ + -
Loại 4 : Chứng minh đẳng thức
Ví dụ: CMR:
2cos( x)
4
p p
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
ç
è ø
sinx + cosx = 2sin x +
4
Giải: BĐ
2 2
sinx cos 2( .sinx+ .cos ) 2( os .sinx+sin .cos ) 2 sin( )

è ø è ø
b / sinx - cosx = 2sin x - = - 2cos x +
4 4
1 + tanx 1 - tanx cota.cotb - 1 cota.cotb + 1
c / = tan + x ; d / = tan - x ; e / cot a + b = ; f / cot a - b =
1 - tanx 4 1 + tanx 4 cotb + cota cotb - cota
Bài 2: Chứng minh:

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a
b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a
c/sin a b .cos a b sin acosa sin bcosb
d /sin a sin a 2sin a
4 4
p p
+ - = - = -
+ - = - = -
+ - = +
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+ - - =
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç

tan a b tan b cos a b
1 tan a.tanb
b /
tan a b tan b cos a b 1 tan a.tan b
tana tanb tanc tan a.tan b.tan c
c/ tan a b c
1 tan a.tan b tanb.tanc tan c.tan a
+ -
- =-
+ -
- + +
-
= =
+ - - +
+ + -
+ + =
- - -
Bài 5: Chứng minh rằng:
a/ Nếu
a b
4
p
+ =
thì
( ) ( )
1 tana 1 tanb 2+ + =
b/ Nếu
( )
sin 2 2sina b a+ =
thì

p
.Tính sin2x, cos2x.
Giải: Vì
< x <
2
p
p
nên
2
4
cos 1 sin
5
x x= − − = −
3 4 24
sin 2 2sin .cos 2. .( )
5 5 25
x x x
−
= = − =
2 2
16 9 7
os2 os sin
25 25 25
c x c x x= − = − =
Bài 1: Cho
6 2
cosx
4
+
=

và
3
< x < 2
2
p
p
.Tính
x x
sin ,cos
2 2
Bài 6: Cho
1
sin x cos x
5
+ =
. Tính
x
tan
2

Bài 7: Cho cosx = 0,8 với
0 < x <
2
p
. Tính
x
tan
2
Bài 8: Cho
24

1
A .
4
=
=
Þ =
Bài tâp:
Bài 1: Tính

o o o o o o o o
4 5
B cos 20 .cos 40 .cos60 .cos80 ; C sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78 ; D cos .cos .cos .
7 7 7
p p p
= = =o
o o o
2 o o o o
2 2 2 o 2 o
tan15 1 3 1
E sin .cos .cos ; F ; G ; H cos36 sin18 ; I 4sin 70
8 8 4 1 tan 15 sin10 cos10 sin10
5
J tan tan ; K tan 36 .tan 72
12 12
p p p
p p
= = = - = - = -

-
= = - =
Bài 2: Rút gọn

2 4 2 2 4 3 3
A sin6x 2 3cos 3x 3; B 5sin 2x 4sin 2x.cos 2x cos 2x 3cos4x; C sin a.cos3a cos a.sin3a= - + = - - + = +
Bài 3: Rút gọn:
2 2
2 2
sin 4x cos 2x sin 2x 4sin x
A . B
1 cos4x 1 cos 2x
sin 2x 4sin x 4
-
= =
+ +
+ -

C .Công thức biến đổi:
Loại 1: | BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
Cách giải: áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Ví dụ: biến đổi thành tổng biểu thức
A cos5x.cos3x=
Giải:
1
A cos5x.cos3x (cos8x cos2x)
2
= = +
Bài tập:
Bài 1:

5x x 5x x
B sin5x sin x 2sin cos 2sin3xcos2x
2 2
+ -
= + = =
Bài 1:

( ) ( ) ( )
a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x;
c / sin a b sin a b ; d / tan a b tan a; e / tan 2a tan a
+ -
+ - - + + -
Bài 2:
2 2 2 2 2 2
a /sin a cosb; b /sin 2x cos x; c/sin x sin y; d / cos x cos y; e / tan x tan y+ - - - -
Bài 3:
2 2 2
a / 3 4cos x b / 1 4sin x c / 3 4sin x- - -

Bài 4:
a / 1 sin x; b / 1 cos x; c / 1 2cos x; d / 2 2cos x; e / 2 sin x 1; f / 3 2sin 2x± ± ± ± ± +

Bài 5:

a / 1 cos x sin x; b / 1 cos x sin x; c / sin x sin 2x sin 3x sin 4x
d / cos x cos2x cos3x cos 4x; e / 1 sin x cos x; f / sin a sin 3a sin 5a sin 7a
+ + - + + + +
+ + + - - + + +
Bài 6:


= = = - - +
Bài 2:

2 4 6 2 3 2
A cos cos cos B cos cos cos C cos cos
7 7 7 7 7 7 5 5
p p p p p p p p
       
Bài 3:
o o o o
C cos10 .cos30 .cos50 .cos70 .=

Loại 4: ĐƠN GIẢN MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1:

x x x x x x
A 4sin .sin .sin ; B 4cos .cos .cos
3 3 3 3 3 3
p p p p
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ - + -
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
= =
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
÷ ÷ ÷ ÷
ç ç ç ç
è ø è ø è ø è ø


3 sin 2x 2 sin x
cos x
sin x
2
2
+ +
- +
= = = =
-
-
-
-
Loại 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Chứng minh

o o o o o o o o o
o o o o o o o o o
1 3 3
a / sin10 .sin 50 .sin 70 b / cos10 .cos50 .cos 70 c / tan10 .tan50 .tan 70
8 8 3
3 1
d / sin 20 .sin 40 .sin80 e / cos 20 .cos 40 .cos80 f / tan 20 .tan 40 .tan80 3
8 8
= = =
= = =
Bài 2: Chứng minh

( )
o 2
sin x sin y x y cos x sin x 1 sin 2x

- = + + + =
+ + + =

11