14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Chủ đề 3: CÁC DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Dạng 1: Tích phân các hàm phân thức và hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Kỹ thuật phân tích hệ số bất định
Loại 1:
2
1 2
1
( )
mx n A B
dx dx dx
ax bx c a x x x x

 
   
  
với x
1
, x
2
là nghiệm của mẫu số
(A, B tìm theo đồng nhất hệ số)
Loại 2:
2
2 2
( )
( )( )
mx nx p A Bx C

2 2
3 3 3
4
4 4
3 3
3
3 2 2 1 1
( 2)( 3 2) 2 3 2
1 1 6
ln( 2) | ( ) ln (ln | 2| ln | 1|) |
2 1 5
6 4 8
ln ln ln
5 3 5
x x x
I dx dx dx
x x x x x x
x dx x x
x x
   
  
     
        
 
  
  


Ví dụ 2: Tính tích phân sau:
1

Từ đó suy ra:
0 1
0 1
3 2
A B A
B C A B
A C C
  
 
 
     
 
 
  
 

Vậy tích phân viết lại dưới dạng
1 1 1 1
1
0
3 2 2
0 0 0 0
3 1 2 2
ln( 1) |
1 1 1 1
x x
dx dx dx x dx
x x x x x x
   
    

 

Vậy
2
ln2
3 3
I

 
.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)


2
1
2
2
127
dx
xx
x
2)


3
1
2
3

2
2
3 2
dx
x x 
2
2
2
3
1
1
7)
x
I dx
x x





4 2
8)
4 3
dx
x x
 


0
1 ( 1)
dx
I
x x

  


Giải
Đặt
1 2 .
2 1
dx
x t dt dx tdt
x
     


Khi đó ta có
3 3
3
3 2
1 1
2
2
1
tdt dt
I
t t t

Kiểu 2: Lượng giác hóa
+) Nếu tích phân dạng
2 2
( , )
n
m
R x a x dx


thì đặt
sin
cos
x a t
x a t






+) Nếu tích phân dạng
2 2
( , )
n
m
R x a x dx


thì đặt
tan

2
4 4
2 2 2
4
6 6 2 6 4 2
6 6 6
2
4 5
2
6
6
9 9sin 3cos
cos 1 cos
3 sin 3 sin 9 sin sin
1 1 3
cot cot cot | .
9 45 5
t tdt
tdt tdt
I
t t t t
td t t
  
  





  

/4
4
2
5
2
/4
4
4 4
2 ' ''
5 5
4 4
sin
( 1 )sin
1
1 sin sin
x
I dx x x xdx
x x
x xdx x xdx I I




 
 


 
   
 

u x du dx
dv dx v x
 
 

 
  
 

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

4
''
4 4
5
4 4
4
cos cos sin 2
I x x xdx x

 
 

 

     


 


12)
1
2
0
x
dx
(x 1) x 1
 


13)
1
2 2
0
2 1
xdx
x x
  

14)
2
0
xdx
x 2 2 x
  



3
0
3
3. 1 3
x
dx
x x

  

19)
3
5 3
2
0
2
1
x x
dx
x



20)
1
2
2
0
1
4

x t
 
16)
3
3 1
x t
 
17) Đặt x = sint
18) Đặt
1 ,
x t
 
19) Đặt
2
1
x t
 
20) Đặt x = 2sint
Dạng 3: Tích phân các hàm số mũ và logarit
Loại 1: Biến đổi và sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Ví dụ 6: Tính tích phân
1
2 2
0
2
1 2

3
2
1
0
0
1
3 3
x
I x dx
  


+) Tính
1 1
1
2 0
0 0
1 (1 2 ) 1 2
ln(1 2 )| ln
1 2 2 1 2 3
x x
x
x x
e d e e
I dx e
e e
 
    
 
 

x e t
  

Với
1 2
x t
  

3
3 3 3
2
2
2 2 2
2
( 2) 2 3 1
2 ln ln
2 3
t dt dt
I t dt t
t t t


 
       
 
 
  

Ví dụ 8: Tính nguyên hàm
1

   
  
   

( 1) 1
ln 1 ln ln
1
d t dt t
t t C C
t t t
 
       

 
ln
1
x
x
xe
C
xe
 
Ví dụ 9: Tính tích phân
3
1
ln (ln 1)
(ln 1)

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Đặt
2
ln 1 ln
1
x x
t dt dx
x x x
     
2
2 2
2 3
3 2
2
2
2 2
1
1 1



Giải:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Đặt
2 2
2
2
2
1
2
x x
x
du xdx
u x
v xe dx e
dv xe dx




 

 
 



e


; 24).
2
1
1 ln
e
x
dx
x


; 25)
1
2
0
(1 )
x
x
e
dx
e


;
26).
3
0
2 4



1
2
0
ln 1 x
dx
1 x



31)












e
dxxx
xx
x
I
1

x
 



35)
1
3 2ln
1 2ln
e
x
dx
x x



36)
4
1
ln(1 )
x
dx
x x



37)
0
2x
3








 







28) 1
x
e t
 
29)
x
t e

30)
tan
x t

và
4
t u

2
cos
4 sin
x x
I dx
x








Giải:
)
2 2
1 2
2 2
2 2
cos
4 sin 4 sin
x x
I dx dx I I
x x
 
 
 
   
 

x






14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Đặt
x t dx dt
    

Đổi cận: Với
2 2
x t
 

  

Với
0 0
x t
  

0 0 0
2 2 2
2 2 2

  
  
  
  
  
    
  2 2
2
2
2 2
1 (sin 2) 1 (2 sin ) 1
(ln sinx 2 ln 2 sinx )
4 2 sinx 4 2 sin 4
d x d x
x
 


 

 
 
     
 
 
( ) lg
b
a
f x bt dx


14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Phương pháp:
   
'( )
( )
lg lg
du f x dx
u f x
dv bt dx v bt dx




 

 
 






 


sin x
cos
os
u x
du dx
dx
dv
v
x
c x

3
3
1
3
3
4
3







    

x x x
x x

 
3 3
3
3
3 3
1 1 1 1 1
1 1
2 1 2 1 2
 


 

 
 
     
 
 
(sinx ) ( sinx)
ln sinx ln sinx
sinx sinx
d d

=
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2 2 2
2 3

dx
x x



b)
4
0
4
2 2 1


 

 
 
  

sin
sin ( sinx cos )
x dx
x xGiải:
a) Ta có:
I =
2
2 2
0

x t
  
,
2
2
x t

  

1
2 2
0
1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
tdt
I dt t
t
    
 

b)
4 4
0 0
4 4
2 2 2 2 1 1 2
 
 
 
 

2
2
1 2


 
   

(sin cos )
(sinx cos ) (sinx cos )
d x x
x x

Đặt
 
sinx cos
x t

Đổi cận: Với
0 1
  
x t

14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Với
2
4

( ) ( )
t

Loại 4: Dạng tích phân đưa về tanx và cotx

Ví dụ 13: Tính
2
4
3
6
cos
sin sin( )
4
x
dx
x x






Giải
Ta có:
2 2 2
4 4 4
3 2
6 6 6
2
4 4

cot
sin .(sin cos ) sin .(cot x )
cot cot
(cot ) cot [ cot ln(cot )]|
cot
ln [ ln( )] ln
c x xdx x d x
I dx
x
x x x x
d x x
x d x x x
xBài tập luyện tập
Bài 4: Tính các tích phân sau:
40)
4
2
0
1 sin 2
cos
x
dx
x



41)

44)
2
3
0
4sin
(sin cos )
x
dx
x x



45)
2
2
0
sin
xdx

 
 
 


14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
46)
2

2
3 5
0
(cos cos )
x x dx



50)
4
0
x
dx
1 cos2x



51)
2
cosx
0
e sin 2xdx



52)
2
4
4 2
4

cot
sin
x x
xdx
x




55)
2
sin x cosx 1
dx
sin x 2cosx 3
0

 
 

56)
1
2 3
0
( sin )
1
x
x x dx
x



dx
x x
 
 


 
 
43) Dùng công thức hạ bậc
44) Đặt
2
x t

 
45) Đặt
x t

và dùng từng phần
46) Đặt
1 3cos .
x t
 
47) Đặt
6
3
1 cos
x t
 
52) Đặt tanx = t
3
2
53) 1 sin .
x t
 Dạng 5: Ứng dụng tích phân
Ví dụ 14:
a) Tính diện tích của hình tạo bởi
2
4 , 2 0
y x x y
    

b)
Tính diện tích của hình tạo bởi
2 2
y x
 
và
2
2 2
y x x
   

Giải:
a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:


    


 
   


 




 

 


xx
x
x
x
x
x
x x

Diện tích hình phẳng cần tìm là:
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
4 2 4 2 2 2 4            

0
0 0
4 2 1 2 2 2
 


      
 
os ( os ) ( sin )I c tdt c t dt t t
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
Vậy
2

 
S
(đvdt)
b) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:

2
2 2 2 2
x x x
    
(1)
+) Nếu
2 2 0 1
x x
    
2
2 ( )
4 0
2
x l
x
x


   

 


Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 0 hoặc x = -2
Diện tích hình phẳng cần tìm là
0 1 0
2 2 2
2 2 1
2 2 2 2 4 4
S x x x dx x dx x x dx

  
        
  1 0

1
y


b) Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau

3
ln(1 ) ; 0
y x x y
  
và x = 1

Giải:
a) Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

2
2
1 2 1
0
2 0
2
  


   


 
      
  
( )
x dx xdx x x dx I

+) tính I
2 2
2 2
0 0
2 1 1 1 1
        
 
( ) ( )
I x x dx x dx

Đặt 1
   
sin cos
x t dx tdt

Đổi cận: Với 0 2
2 2
 

     
,x t x t
2 2 2
2 2
2 2 2

 
 
    
 
 
 
 
 
 
 
os ( ) sindt c td t t t
Vậy V =
2
4 4
2
3 2 3
  
 
  
. (đvtt)
b)
Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình:
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân

3
ln(1 ) 0
x x

0 0
ln(1 ) ln(1 )
V x x dx x x dx
 
   
 

Đặt
2
3
3
2
3
3
ln(1 )
1
1
3
x
du dx
u x
x
dv x dx
v x




 
 

2 3
2 2
3 3
0 0 0
1 ( 1)
1 3 1
x d x
I x dx x dx
x x
 

   
 
 
 
  1
3
3
0
1 1 1
ln 1 ln2.
3 2 3 2
x
x
 
    
 

  
14 chủ đề ôn thi cấp tốc môn toán 2013

Chuyên đề độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân
c)
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
   
d)
1 1
, (
( ) )
x
y e
y e x x
  
e)
2
4 , 2 0
y x x y
    
f)

2
2 2 , 2 2
y x y x x
     

x
, y = 0, x =e.