KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM
A. MỤC TIÊU BÀI GIẢNG
 Dành cho các học sinh ôn thi ĐH, ôn thi HSG
 Tổng kết các dạng bài tập về hệ sử dụng phương pháp đạo hàm ( hàm số)
 Định hướng cách tiếp cận 1 bài hệ bằng phương pháp đạo hàm
B. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN
Tính chất 1: Giả sử hàm số
()y f x
là đơn điệu trên khoảng
( , )ab
và
, ( , )x y a b
thì
( ) ( )f x f y x y  
.
Tính chất 2: Giả sử
()fx
là hàm số đồng biến trên khoảng
( , )ab
và
()gx
là hàm số nghịch biến trên
khoảng
( , )ab
, khi đó nếu phương trình
( ) ( )f x g x
có nghiệm trên khoảng
( , )ab
thì nghiệm đó là

Kiểu 1: Một phƣơng trình của hệ có dạng phƣơng trình đặc trƣng
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau

22
3 3 3
( 1)( 1) 1 ( 1)( 1)
3 ( 4) (( 1) 0
x y x x y y
x x x y x y

       


      



Giải:
Ta viết phương trình 2 về dạng sau:
 
3 3 3 3
1 ( 1) 3 ( 1) ( ) 3( )x y x y x y x x          
(*)
Xét hàm đại diện
3
( ) 3 ( )f t t t t R  
, khi đó f’(t) = 3t
2
+ 3 > 0.
Vậy hàm số đồng biến trên R.



22
2
1 . 4 2
( , )
3
1
4
x x y y
x y R
x y x

    




  


2. c)
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 1 0
x y y x
x x y y

    

2
.
log log 4 10
2
xy
e e x y
x
y

  





Đs:
 
2;2 .

5.
5 4 10 6
2

4 5 8 6
x xy y y
xy

  



Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2( 1) (4)
1 (5)
x y x y
xy
e e x
e x y



  






Lời giải
Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương trình ban đầu tương đương với

1 (4')
1 (5')
xy
xy
e x y
e x y



  


Với
0y 
thay vào (4), ta có :
10
x
ex  
(7)
Xét hàm số
( ) 1,
x
g x e x  
với
'( ) 1
x
g x e
thì
'( ) 0 0.g x x  

Lập bảng biến thiên

x


0


'( )gx

- 0 +

sin 0
x
y






Lấy phương trình (8) trừ (9) theo vế, ta có:

2 3 2 3
log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sinx x y y    
(10)
Xét hàm số
33
( ) log (1 3 ) log ( 0)f t t t t   
, ta có:



0
'
31

9cos 3
t
t
t
x
x
xt
xt
x

  


   






.
Vậy phương trình (11) tương đương với
1
3(2 1) 3 3 2 1 0
t t t t
     
(12)
Xét
1
( ) 3 2 1






.
+) Nếu
1t 
thì
2
1
log (1 3cos ) 1 cos
3
xx   
, từ đó
1
sin
3
y 
.
Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm

1 1 1 1
(arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( ,
3 3 3 3
k m k m k m
    
     Z
)


2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



    



    

Đs:
(1,1)

2.
Dạng 2: Đƣa một phƣơng trình của hệ về phƣơng trình 1 ẩn và sử dụng đạo hàm
Ví dụ 5: (Thi thử trƣờng Ams-lần 2) Giải hệ phƣơng trình 2
1
43
1 1 9( ) 2
1
42
2


   



Lời giải
Biến đổi phương trình (6) về dạng:
14
5[ ] 1 9.3
55
xy
xy
xy




  



Đặt
t x y
, khi đó phương trình trên có dạng:
14
5 1 9.3
55
tt
t


x
  
, thì
2
1
(8) 3 2 0
2
u
uu
u


    



Với
15
2
1
15
2
x
u
x




Bài tập luyện tập tổng hợp
Giải các hệ phƣơng trình sau

1) Giải hệ phương trình:

2
1
43
1 1 9( ) 2
1
42
2
x
xy
x y x y x y



      









2) Giải hệ phương trình

4 (1 )(1 ) 6 1 1 0
x y y
x y x

   


     



5) Giải hệ phương trình
7 2 4
2 2 5 8 2
x y x y
x y x

   


   



6) Giải hệ phương trình 




    



8) Giải hệ phương trình
3 2 3 2
22
3 9 22 3 9
( , )
1
2
x x x y y y
x y R
x y x y

     



   



9) Giải hệ phương trình

2
2
22
3.4 6 2.3

2
1 1 4( ) 3
3
2
2
x y x y x y
xy

      






12) Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2
3 5.6 4.2 0
( 2 )( 2 )
x y x x y
x y y y x y x


  


    





      



15)
2 2 2 2
2
( )( 3) 3( ) 2
( , )
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y R
x y x

      



    



16) Giải Hpt
2 2 2
3 3 3
log 3 log log
log 12 log log
x y y x

1
xy
xy
xy
xy

   





  


 
 
 
 
22
22
6 6 8
19)
3 8 6
x x y x y
y x y x y


   



22 2
1
2013
1
( 0, 0)
2 4 .log 0
xy
y
x
y
xy
x













  


  



20)
 
  
2
2 1 2 1
( , )
2
2 3 2 4
xy
xy
x y R
x y x y x y



   



    






23)
 
     
2
2 2 2
2 .3 3 6 3
( , )
log 1 log 2 2 2 1 log
x x x x
x y R
x xy y






    



24)
23
23
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
xy

x y y

   


   



27)




22
1 1 1
( , )
6 2 1 4 6 1
x x y y
x y R
x x xy xy x

    




    






30)




 
22
1 1 1
2 1 1 3
x x y y
x y x

    



   

31)
 
32
42
42
( , )

33)
2
33
1
2 4 2
4 2 6 2
xy
x
y x y
x y x y







   


34)




22
3
23
4 1 2
12 10 2 2 1