phơng trình lợng
giác Phần thứ nhất: Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
I, Lý do pháp chế:
- Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục thờng xuyên của ngành
giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
- Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học
tập bộ môn Đại số và giải tích.
II, Cơ sở lý luận:
- Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
1
III, Cơ sở thực tiễn
- Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại só và giải tích
và nhất là phần phơng trình lợng giác
2. Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng
dạy
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
I, Nhiệm vụ:
Những nội dung chính của phần phơng trình lợng giác:
- Phơng trình lợng giác cơ bản:
+ Phơng trình: sinx = a
+ Phơng trình: cosx = a
+ Phơng trình: tanx = a
+ Phơng trình: cotx = a
- Một só phơng trình lợng giác thờng gặp:
+ Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác.
+ Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác.

a b
b
−
+

tan(a + b) =
tan tan
1 tan tan
a b
a b
+
−

C«ng thøc nh©n ®«i:
cos2a = cos
2
a − sin
2
a = 2cos
2
a − 1 = 1 − 2sin
2
a
sin2a = 2sinacosa
tan2a =
atg1
tga2
2
−


cos
2
ba −

3
Cosa cosb = 2sin
2
ba +
sin
2
ba

Sina + sinb = 2sin
2
ba +
cos
2
ba

Sina + sinb = 2cos
2
ba +
sin
2
ba

B, Nội dung:
I, Phơng trình lợng giác cơ bản:
Lý thuyết:
Phơng trình: sinx = a x = + k2, k Z

) sin 2
2
a x
=

( )
0
2
) cos 2 25
2
b x
+ =

( )
) 4 2 3+ = c cot x

( )
0
3
) tan 15
3
+ =d x
Kết quả:
6
) ( )
3
x k
a k Z
x k


c x k k Z

= +

0 0
) 15 180 ( )d x k k Z
= +
Chú ý: Khi giải cần lu ý khi nào dùng đơn vị Radian, khi nào dùng đơn vị độ,
không đợc dùng cả hai đơn vị đó trong một câu.
Bài tập2: Gải các phơng trình sau:
( )
0
2
) sin 2 15
2
a x
=
với
0 0
120 120x < <
( )
1
) cos 2 1
2
b x
+ =
với
x

< <


) sin3 cos 2b x x
=
( )
) tan 3 2 2 0+ =c x cot x
) sin 4 cos5 0d x x
+ =
Kết quả:
4 2
) ( )
2 2
3 3 3
10 5
) ( )
2


= +




= +


= +


x
d x



+ = +



Kết quả:

) ( )
3
2
4
) ( )
5





=




= +



= +


c x k k Z
x k
d k Z
x k
Chú ý: Cần chọn phơng pháp phù hợp để giải phơng trình một cách nhanh nhất
Cụ thể câu a: đa về phơng trình tích
Câu d: có thể dùng công thức hạ bậc
II, Một số phơng trình lợng giác thờng gặp:
Lý thuyết:
1, Phơng trình bậc nhất đối với một hàm số lợng giác:
6
) 2
2
2
2
)
2
6 9
= + +

= +



= +



( )
2 2 2 2 2 2
1 sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt
2 2
2 2
cos
sin
a
a b
b
a b



=

+



=

+


2
) cos sin 1 0d x x+ + =
Kết quả:
) 2 ,( )
4


= + a x k k Z

2
) ( )
2
3



=




= +

x k
c k Z
x k
7
6
) , ( )
4

c x x+ =
) 5cos 2 12sin 2 13d x x =
Kết quả:
3 4
) 2 sin ; cos
5 5

= + = =
ữ

a x k

, (kZ)
5
2
12
)
13
2
12





= +



= +

khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài ( cụ thể nh câu
b, c).
Bài tập 4: Giải các phơng trình sau:
( )
) 3 sin cos 2sin 2 3 0a x x x+ + + =
) sin cos 4sin cos 1 0b x x x x + + =
( )
) sin 2 12 sin cos 12 0c x x x + =
8
3 3
) sin cos 1d x x+ =
Kết quả:
2
) 2 ,( )
2
1
2 cos
4
2 2







= +


= +

x k
2
) ,( )
2
2




= +



= +

x k
c k Z
x k

2
) ,( )
2
2



=





0)
Bớc 2: Chia 2 vế cho cosx (hay sinx) để đa về phơng trình bậc hai đối với tanx
( hay cotx)
Kết quả:
a,
3 3 8
arctan
3
,( )
3





= +




= +


x k
k Z
x k
9
b,
2



= − + ∈

x k
x k k Z
d,
6
,( )
4
π
π
π
π

= − +

∈


= − +


x k
k Z
x k
Bµi tËp 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
1) cos 2 5sin 3 0− − =x x
(1)
4 2


= −
= − +



⇔ + + = ⇔ ⇔ ∈


= −

= +



x VN
x k
x x k Z
x
x k
2,
(2)
tan 1
,( )
1
tan
2
= ±



sin 1
2
2
2sin 2sin sin 1 0 ,( )
1
sin
2
2
4





=

= +


+ =


=

= +




x

=


=


=


= +


=

5,
(5)
3 2
2 tan 2 tan tan 1 + x x x
tan 1
4
,( )
1
1
tan
arctan
2
2




x
x
x x
3 2
2
3 tan 4 tan 3tan 2 0
tan 1
,( )
4
3tan tan 2 0 ( )


+ =
=

= +

+ =

x x x
x
x k k Z
x x VN
Chú ý: Với bài tập 6 cần biến đổi về phơng trình chỉ chứa một hàmn số lợng giác
III, Một số phơng trình lợng giác khác:
Cách giải:
+ Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
+ Dùng công thức biến đổi tổng thành tích.
+ Dùng công thức hạ bậc.
+ Đa về phơng trình tích.



+ = +

Ví dụ:
Bài tập 1: Giải các phơng trình:
1, cosxcos7x = cos3xcos5x (1)
2, sin2x + sin4x = sin6x (2)
3,
2 2 2 2
sin 4 sin 3 sin 2 si nx x x x
+ = +
(3)
4,
3 3
sin cos cos 2x x x
+ =
(4)
Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi,
công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lợng giác.
Giải:
1,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 cos8 cos 6 cos8 cos 2
2 2
cos 6 cos 2
2
4

3
2
2
x x x x
x x x
x
x x
x k
x k
x k k Z k Z
x k
x k
π
π
π
π
π
⇔ =
⇔ − =
=

⇔

=


=


=

⇔

=

x
x x
( ) ( )
2
5
5
2
2
π
π
π
π
π
π

= +



=


⇔ = ∈ ⇔ ∈




⇔

− − + =

x x a
x x x x b
( ) ( )
3
* 2 cos 0
4 4
π π
 
⇔ − = ⇔ = + ∈
 ÷
 
a x x k k Z
( )
( )
2
* 2 1 0, s in cos 2⇔ + + = = + ≤b t t t x x t
1⇔ = −t
sin cos 1⇔ − = −x x
1
cos
4
2
π
 
⇔ − =
 ÷

) cos5 cos 4 cos 3 cos 2a x x x x=
) sin s in 2 sin 3 cos cos 2 cos3b x x x x x x+ + = + +
) sin 3 sin 5 sin 7 0c x x x+ + =
) tan tan 2 tan 3+ =d x x x
Giải tơng tự nh bài tập 1
Kết quả:
7
) , ( )
2



=




=


x k
a k Z
x k

2
2
3
) ,( )
8 2


c k Z
x k
d) Đk:
2
4 2
6 3
x k
x k
x k


+



+



+


Nghiệm:
3
x k

=




= +


x k
a x k k Z
x k

10 5
) ,( )
2




= +




= +


x k
b k Z
x k
4
) ,( )

4
x k
x k




= +


=

.
( )k Z
b) Đk:
2
4 2
x k
x k




+



+



= +




=


x k
a k Z
x k

) ,( )

= b x k k Z

3
2
2
) ,( )
6





= +

2,
cos 1
sin 2 0
=


=

x
x
3,
3 2
cos cos 2 2
cos cos 2
2
+ =



=


x x
x
x
4,
2 2
cos 6 cos 4 0
sin 2 3cos 3
+ =



- Giải (2) ta đợc:
( )
( )
4
x l l Z c


= +
.
16
Ta thấy (a) bị chứa trong (c) khi l = 2k.
còn
1
( ) 2
4 2
b x k



= + + không có giá trị nào chung với (c).
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
( )
4
x l l Z


x l l Z


= +
Tơng tự:
2,
2

=x k
,
( )k Z
3,
4

=
x k
,
( )k Z
4,
2


= +x k
,
( )k Z
Bài tập 2: Giải các phơng trình sau:
1,
2 2
2cos 3sin 5 2x x= +
(*)

x

1 nên 2cos
2
x

2.
Vì sin
2
x

0 nên 3sin
2
5x + 2

2.
Do đó (*)
2
2
cos 1 (*. )
sin 5 0 (*. )
x a
x b

=



=


+ Nêu phơng pháp chung để giải từng loại bài tập.
+ Sau khi giải phơng trình xong cần hớng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của ph-
ơng trình.
C. Kiến nghị:
* Thời gian phân phối còn ít cần tăng thêm thời gian luyện tập cho học sinh
* Cần bổ sung bài tập về hệ phơng trình.
18
* CÇn bæ sung tµi liÖu tham kh¶o cho thÇy.
19