1
LỜI NÓI ĐẦU

Kể từ khi Hertz bằng thực nghiệm đã chứng tỏ năng lượng điện có thể bức
xạ trong không gian và sự tồn tại của trường điện từ đã mở đầu kỷ nguyên ứng
dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện,
điều khiển từ xa Hệ thống thông tin vô tuyến này ngày càng trở nên quan
trọng và thiết yếu trong xã hội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản chất của sóng
điện từ, tính chất lan truyền của trường điện từ cũng như các ứng dụng của nó là
rất cần thiết. Để tích luỹ phần kiến thức này người học cần phải có kiến thức nền
tảng về giải tích vector, phép tính tensor, phương trình vi phân và đạo hàm
riêng, giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến trong Toán học cao cấp; quang
học sóng và điện học trong Vật lý đại cương.
Giáo trình Lý thuyết trường điện từ được biên soạn trong khuôn khổ của
chương trình hoàn thiện bộ sách giáo trình dùng để giảng dạy và học tập của
Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao
gồm các nội dung được trình bày trong 5 chương như sau:
Chương 0 Một số công thức toán học
Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ
Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell
Chương 3 Sóng điện từ phẳng
Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ
Do thời gian và tài liệu tham khảo còn nhiều hạn chế, cho nên chắc chắn
giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong có sự đóng góp, phê bình của bạn đọc
để giáo trình được hoàn thiện hơn.

Tác giả



3
Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector
{
}
zyxzyx
akajaia,a,aa
r
r
r
r
++==
{
}
zyxzyx
bkbjbib,b,bb
r
r
r
r
++==
{
}
zyxzyx
ckcjcic,c,cc
r
r
r

b,acosbab.a
r
r
r
r
r
r
=
•
c
b
a
r
r
r
=×
Phương:
(
)
b,ac
r
r
r
⊥
Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:
(
)
b,asinbac
r

∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
z
,
y
,
x

3. Gradient
z
U
k
y
U
j
x
U
iU.gradU
∂
∂
+
∂
∂
+
∂


4








∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+



a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aarot
x
y
zx
y
z
zyx
rrr
r
r
r
rr

Số phức
Hàm mũ
(
)
ysiniycoseee
xiyxz
+==
+

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có


Trong đó:
a
1
, a
2
và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a
1
, a
2
≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0yayay
21
=
+
′
+
′
′

(2)

a
1
, a

2
(x) là độc lập tuyến tính khi
(
)
( )
const
xy
xy
2
1
≠ , ngược lại là phụ
thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y
1
(x) và y
2
(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi
phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
(trong đó C
1
, C
2
là 2

1
và a
2
là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm
riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
)x(f)x(fyayay
2121
+
=
+
′
+
′
′

(4)

Nếu y
1
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
121
=
+
′
+
′

+
′
+
′
′

(7)

p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng
kx
ey =
(8)

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
key =
′
,
kx2
eky =
′′

(9)

Thay (8) và (9) vào (7) ta có
(
)
0qpkke

1
1
ey = ,
xk
2
2
ey =
(12)

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì
( )
conste
y
y
xkk
2
1
21
≠=
−

(13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
2
xk
121
21
eCeCyyy +=+=

xk
1
111
exCCxeCeCy +=+=
(15)

- k
1
và k
2
là 2 số phức liên hợp: k
1
= α
αα
α + iβ
ββ
β và k
2
= α
αα
α - iβ
ββ
β
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
( )
( )
xixxi
2
xixxi
1

xxix
1
β−β==
β+β==
αβ−α
•
αβα
•

(18)

Nếu
•
1
y và
•
2
y là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm
xsine
i
2
yy
y
xcose
2
yy
y
x
21
2

xx
2
x
1
β+β=β+β=
ααα

(21)

8
Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường
• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện
trường
EqF
r
r
=
(1.1)

Hay:
q
F

=ε - hằng số điện
- ε - độ điện thẩm tương đối
-
0
r
r
- vector đơn vị chỉ phương
• Hệ đt điểm
n21
q, ,q,q
∑∑
==
πεε
==
n
1i
2
i
i0i
0
n
1i
i
r
rq
4
1
EE
r
r


9
∫
ρ
πεε
=
S
2
S
0
S
r
r
dS
4
1
E
r
r

(1.6)

∫
ρ
πεε
=
V
2
V
0

r
r
r
×=
(1.9)

• Từ trường do phần tử dòng điện
l
Id
r
tạo ra được xác định bởi định luật thực
nghiệm BVL
(
)
rlId
r
4
Bd
2
0
r
r
r
×
π
µµ
=
(1.10)

- m/H10.257,110.4

10
0
B
H
µµ
=
r
r

(1.12)

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện
tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian
dt
dq
I −=
(1.13)

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn
điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
EvvenJ
0
r
r

2
và
L
S
L
R
ρ
=ρ= )
R
U
LU)EL)(L(ESEdSI
S
=σ=σ=σ=σ=
∫

(1.16)

dạng thông thường của định luật Ohm
Vì
E
r
và
S
d
r
cùng chiều, đặt 11
RL

Mặt khác
∫
=
S
SdJI
r
r

(1.20)

Suy ra
∫∫
∂
ρ
∂
−=
VS
dV
t
SdJ
r
r

(1.21)

Theo định lý OG
( )
∫∫∫
∂
ρ

• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ
• Các phương trình:
ED
0
r
r
εε=
(1.24)

µµ
=
0
B
H
r
r

(1.25)

gọi là các phương trình vật chất
• ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính
• ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng
• ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường
không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng
số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường
không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ
• ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất
Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.
Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến
µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,

, σ = 0 : điện môi lý tưởng
Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
• Thông lượng của vector điện cảm
D
r
qua mặt S là đại lượng vô hướng được
xác định bởi tích phân
∫
=Φ
S
E
SdD
r
r

(1.26)
S
d
r
: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài
dS.cos(
D
r
,
S

(1.27)

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS
Thông lượng của
D
r
qua toàn mặt kín S là
qd
4
q
SdD
S
=Ω
π
==Φ
∫∫
Ω
r
r

(1.28)

• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn
toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'
D
r

S
d
r

n
1i
i
DD
r
r

(1.29)

Thông lượng của
D
r
do hệ q
1
, q
2
, , q
n
gây ra qua toàn mặt kín S
QqSdDSdD
n
1i
i
n
1i
S
i
S
====Φ
∑∑

r

(1.31)

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-
Gauss đối với điện trường.
Nguyên lý liên tục của từ thông
• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là
dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này
D
r

S
d
r

A

B

q
15
• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm
B
r
. Thông
lượng của

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt
của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì
đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm
cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì
hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng
điện !).
Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng
điện thì công phải khác 0, có nghĩa là
0ldEq
l
≠
∫
r
r

(1.33)

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian
cũng tạo ra một điện trường xoáy. 16
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh
trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi
qua diện tích của vòng dây
dt
d
e

∂
−=








−=−=
Φ
−=
SSS
c
Sd
t
B
Sd
dt
Bd
SdB
dt
d
dt
d
e
r
r
r

có
S
d
r

B
r

l
d
r

S
17
∫∫








∂
∂
−=
Sl

Theo các phương trình (1.38) và (1.39)
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
r

(1.40)

Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng
đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.
1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere
Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường
xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để
đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell
đưa ra luận điểm II:
Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ
trường.
(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)
Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không
gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II
sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có
sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.
Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: 18

Sl
SdJldH
r
r
r
v

(1.42)

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường
điện từ
Khái niệm về dòng điện dịch
Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện
toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ
giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.
Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức
dP0d0d
JJ
t
P
t
E
t
D
J
rr
v
r
r
r


19
t
P
J
dP
∂
∂
=
v
r
- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các
điện tích
t
E
J
00d
∂
∂
ε=
r
r
- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng
điện dịch
Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt
kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ
điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên
E
r
và dòng điện biến thiên chạy

′
=
∫
r
vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ
Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng
S

S'

+q

-q

E
r

~
20
t
E
SSdE
dt
d
dt

∂
+=
SSl
Sd
t
D
SdJldH
r
r
r
r
r
v

(1.48)

Hay
∫∫








∂
∂
+=
Sl

t
D
JH
rr
r
rr
+=
∂
∂
+=×∇
(1.51)

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ
Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)
thì do
0
E
J
=σ=
r
r
, ta có:
0d0
J
t
E
H
r
r



∂
∂
−=
Sl
Sd
t
B
ldE
r
r
r
r

(1.53)

Dạng vi phân
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
r

(1.54)

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến

D
JH
∂
∂
+=×∇
r
rr

(1.56)
22
Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh
ra từ trường như dòng điện dẫn.
- Định lí OG đối với điện trường
Dạng tích phân
qSdD
S
=
∫
r
r

(1.57)

Theo giải tích vector:
∫∫
∇=
VS

r

(1.60)

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn
Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình
Maxwell
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
rt
D
JH
∂
∂
+=×∇
r
rr

(1.61)

ρ=∇ D.
r


Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại
những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường
điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
rt
D
JJH
O
∂
∂
++=×∇
r
rrr

(1.63)

ρ=∇ D.
r
t
E
JEH
0O
∂
∂
εε++σ=×∇
r
rrr

(1.64)

0
E.
εε
ρ
=∇
r0H. =∇
r- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell 24
• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện
dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài 0JJ

.
=∇
r0H. =∇
rNhận xét:
E
r
và
H
r
đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau
• Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối
xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức
M
J
r
- mật độ dòng từ ngoài
ρ
M
- mật độ từ khối
Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không
điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài
t
H
JE

=∇
r0
M
H.
µµ
ρ
=∇
rỨng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì
sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn
điện), mà không cần phải giải cả hai.
- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà