Chương 3 - Trang 12
Chương 3: Hệ phương trình Maxwell
3.1. Khái quát
Chương 1 đã nêu rõ các biến trạng thái đặc trưng cho trường điện từ, cho hệ
trường-môi trường và các thông số hành vi của môi trường. Chương này trình bày hệ
phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các biến trạng thái đó, chính là hệ phương
trình Maxwell.
Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình cơ bản, phản ánh những quy luật của
trường điện từ. Hệ phương trình này giữ một vị trí cơ bản đối với lý luận trường điện
từ, giống như các định luật Kirchhoff đối với Lý thuyết Mạch. Mọi hiện tượng trong
các thiết bị điện đều thể hiện sự vận động của trường điện từ, cho nên về nguyên tắc,
việc phân tích, tính toán các hiện tượng đó đều có thể dựa trên hệ phương trình
Maxwell.
Hệ phương trình Maxwell là hệ phương trình đạo hàm riêng theo không gian và
thời gian cho nên bài toán trường điện từ là một bài toán bờ có sơ kiện. Việc xác định
nghiệm của bài toán (tức xác định sự phân bố của trường điện từ) tùy thuộc vào những
giá trị của nghiệm ở trên bờ của miền xác định của bài toán và ở gốc thời gian.
3.2. Hệ phương trình Maxwell
3.2.1. Phương trình Maxwell 1
Phương trình này được dẫn từ định luật dòng điện toàn phần (hay còn gọi là định
luật toàn dòng điện) kèm theo việc Maxwell đưa ra khái niệm về dòng điện dịch.
3.2.1.1. Định luật dòng điện toàn phần (hay định luật toàn dòng điện)
Lưu số của véctơ cường độ từ trường
H
→
dọc theo một vòng kín L bằng tổng đại số
các dòng điện dẫn đi xuyên qua diện tích S giới hạn bởi vòng kín đó, trong đó chiều
dương của dòng điện được xác định từ chiều của véctơ cường độ từ trường
H
→
theo

Suy ra:
→→
=
rotHJ
(3.4)
3.2.1.2. Dòng điện chuyển dịch
Dưới tác dụng của điện trường ngoài
E
→
, các điện tử tự do chuyển động trong vật
dẫn và sinh ra dòng điện dẫn. Tuy nhiên, nếu đó là điện môi (môi trường trong đó chỉ
có những hạt mạng điện ràng buộc) thì xảy ra hiện tượng phân cực và trạng thái phân
cực này được đo bằng véctơ dịch chuyển điện
D
→
. Nếu điện trường
E
→
là một trường
biến thiên theo thời gian thì trạng thái phân cực của điện môi cũng sẽ biến thiên, các
điện tích phân cực dịch chuyển chung quanh vị trí cân bằng của chúng với một vận tốc
nào đó. Tương ứng với hiện tượng dịch chuyển đó của các điện tích ràng buộc của các
lưỡng cực, Maxwell đã đưa ra khái niệm dòng điện chuyển dịch xuất hiện trong môi
trường điện môi khi trường biến thiên và dòng điện này có mật độ là:

→
→
∂
=
∂

∂⋅

∂∂

=⋅=−=−=−⋅
∂∂∂
∫
∫∫
S
LS
BdS
B
eEdldS
ttt
Φ
Ñ
(3.7)
trong đó
E
→
là cường độ điện trường cảm ứng và từ thông Φ bằng thông lượng của
véctơ cường độ từ cảm
B
→
chảy qua diện tích S giới hạn bởi vòng kín L.
Theo định lý Green-Stock, ta có:
→→→→
⋅=⋅
∫∫
LS

3.2.3. Phương trình Maxwell 3
Các đường sức từ luôn khép kín cho dù nguồn sinh ra từ trường là nam châm hay
cuộn dây có dòng điện chạy qua. Do vậy thông lượng của véctơ cường độ từ cảm
B
→

qua một mặt S kín, được gọi là từ thông Φ, sẽ bằng không:
→→
=⋅=
∫
S
BdS0
Φ
Ñ
(3.10)
Chương 3 - Trang 15
Gọi V là thể tích được chứa bên trong mặt S. Theo định lý Ostrogradsky-Gauss, ta
có:
→→→
⋅=⋅
∫∫
SV
BdSdivBdV
Ñ
(3.11)
Suy ra phương trình Maxwell 3:

→
=
divB0

⋅=⋅
∫∫
SV
DdSdivDdV
Ñ
(3.14)
và từ đó quy ra phương trình Maxwell 4:

→
=
divD
ρ
(3.15)
Tùy theo ρ bằng không hay khác không mà trường véctơ là trường chảy liên tục
hay không liện tục, khép kín hay không khép kín.
3.2.5. Phương trình Maxwell 5
Phương trình này được dẫn từ định luật bảo toàn điện tích. Điện tích không tự
nhiên sinh ra, không tự nhiên mất đi và khi chúng di chuyển từ vùng này sang vùng
Chương 3 - Trang 16
khác thì sẽ sinh ra dòng điện. Theo định luật bảo toàn điện tích, lượng điện tích di
chuyển ra khỏi một mặt S kín trong một khoảng thời gian nào đó bằng đúng lượng
điện tích suy giảm bên trong thể tích V chứa trong mặt S cũng trong khoảng thời gian
đó.
Giả sử lượng điện tích q phân bố bên trong thể tích V với mật độ điện tích khối là
ρ:
=⋅
∫
V
qdV
ρ

→
là mật độ của dòng điện i chảy qua mặt S và lưu ý đến định lý
Ostrogradsky-Gauss, ta có:
→→→
=⋅=⋅
∫∫
SV
iJdSdivJdV
Ñ
(3.18)
Suy ra phương trình Maxwell 5:

→
∂
=−
∂
divJ
t
ρ
(3.19)
Phương trình này cho thấy: nếu các điện tích bên trong thể tích V tồn tại ở trạng
thái tĩnh, không di chuyển qua mặt S thì mật độ điện tích khối ρ trong thể tích V sẽ bất
biến theo thời gian và do vậy
J0
→
=
, tức không có dòng điện i chảy qua mặt S.
3.2.6. Các phương trình trạng thái mô tả hành vi của môi trường
Như đã thấy ở chương 1, để đặc trưng cho hệ trường-môi trường, người ta định
nghĩa ra các biến trạng thái

• Trong môi trường dẫn điện có điện dẫn suất là σ:
→→
=
JE
σ