38
38
CHƯƠNG III:
PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG 3RPS

3.1 Bài toán phân tích vị trí
3.1.1 Các phương trình liên kết cho Robot song song 3RPS tổng quát
Trên hình 3.1 mô tả sơ đồ động học của Robot song song 3RPS. Cấu trúc các
khâu của Robot này được mô tả trong mục 1.6 a) Quan hệ về hình học và các hệ toạ độ
Do cấu trúc Robot đảm bảo tính hợp lý nên các chân A
i
B
i
⊥ Z
i
(các trục
quay). Gọi O và P là trọng tâm của hai tam giác A
1
A
2
A
3
và B
1
B
2

lập với x
i
và z
i
một hệ quy chiếu thuận.
Ta đưa thêm vào 3 toạ độ suy rộng α
i
(i = 1,2,3) là góc hợp bởi trục z
0
và trục
x
i
như hình vẽ.
A1

A2
A3
B1

B3
B2
Hình 3.1: Cấu trúc chấp hành song song 3RPS
Đế cố định
Bàn máy động
x
0
y
0
z
0

39
39
Ngoài ra ta sử dụng các ký hiệu:
- a
i
: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm A
i
trên hệ cố định, a
i
=
[]
T
iii
aaa
321
,,

b
i
: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm B
i
trên hệ cố định.
-
B
b
i
: Véc tơ đại số chứa các toạ độ của điểm B
i
trên hệ cố động,
B

b
i
: Xác định được từ kết cấu hình học của robot.
-
A
R
B
: Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động Pxyz so với hệ cố định Ox
0
y
0
z
0
.
-
A
R
i
: Ma trận cosin chỉ hướng của hệ động A
i
x
i
y
i
z
i
so với hệ cố định
Ox
0
y

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
iziziz
iyiyiy
ixixix
wvu
wvu
wvu
với: (i = 1,2,3). (3.1)
Các phần tử của ma trận
A
R
B
và ma trân
A
R
i
tuỳ theo kết cấu của bàn đế cố
định, là hàm của góc α
i
.
Từ hình vẽ ta có:
i

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
d
i
(i = 1,2,3) (3.4)

b
i
=
p
+
A
R
B
.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
d
i
(i=1,2,3) (3.6) 40
40
Hệ thức (3.6) gồm có 9 phương trình chứa các ẩn là toạ độ diểm P, độ dài các
chân d
i
, các góc α
i
. Khi giải các bài toán động học thuận/ngược, ta đã biết 3
thông số p/d
i
nên công việc còn lại chỉ chỉ giải bài toán 6 phương trình 6 ẩn,
các thông số còn lại như hướng của bài máy động, hướng của các chân
ii
BA

sẽ được xác định khi đã biết các thông số này.
Hệ thức này có ý nghĩa rất quan trọng, qua đó ta có thể giải quyết bài toán
động học một cách trọn vẹn cả bài toán thuận và bài toán ngược, điều mà các
phương pháp trước đây chưa giải quyết được hay mới chỉ đưa ra cách giải

2
và ϕ
3
.
cos ϕ
2
=
21
2
21
2
2
2
1
OAOA2
AAOAOA ++
cos ϕ
3
=
31
2
31
2
3
2
1
OAOA2
AAOAOA ++

Ma trận

A
x4
lần lượt là ma trận cosin chỉ hướng của các phép
quay sau:
-Quay một góc (
1
2
β
−
∏
) quanh trục z
0
.
Y
0
Z
2
Z
1
Z
3
2
ϕ
3
β
3
ϕ
β
1
2

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α−α
α−α−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
αα
βαβαβ−
β−αβαβ−
0sincos
sincoscossincos
coscossinsinsin
11
11111
11111Bằng cách tương tự ta cũng xác định được các ma trận
A
R
2
và
A
R
3

Ma trận

⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α−α
α−α−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥
⎦

R
2
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
αα
ϕ−βαϕ−βαϕ−β−
ϕ−β
−αϕ−βαϕ−β−
0sincos
)sin(cos)cos(sin)cos(
)cos(cos)sin(sin)sin(
22
22222222
22222222Ma trận
A
R
3
được xác định bởi các phép rơ quay sau:

⎣
⎡
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
α−α
α−α−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎥

R
3
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
αα
ϕ−βαϕ−βαϕ−β−
ϕ−β
−αϕ−βαϕ−β−
0sincos
)sin(cos)cos(sin)cos(
)cos(cos)sin(sin)sin(
33
33333333
33333333

Ta thấy các thành phần của các ma trận
A
R
i
(i=1,2,3) chỉ chưa các ẩn là các
góc α

b
1
–
b
3
)
T
(
b
1
-
b
3
) =
2
31
BB
(3.8)
(
b
2
–
b
3
)
T
(
b
2
-

d
i
(i = 1,2,3)
Như vậy các thành phần của hệ thức (3.6) được xác định thông qua 9 ẩn số
α
1
, α
2
, α
3
, d
1
, d
2
, d
3
, p
1
, p
2
, p
3
.
Khi giải quyết bài toá động học thuận hay ngược, ta biết trước được 3 ẩn (d
1
,
d
2
, d
3

2
, p
3
.

3.1.3 Bài toán động học ngược 43
43
Bài toán động ngựoc là bài toán biết vị trí của bàn máy di động p
i
(i=1,2,3), ta
phải tìm vị trí của các chân d
i
(i=1,2,3) và các góc α
i
(i=1,2,3).
Ta thay các giá trị p
i
vào hệ (3.6), ta được hệ 6 phương trình với 6 ẩn số là:
α
1
, α
2
, α
3
, d
1
, d

i
= A
i
B
i
, z
i
⊥ OA
i
nên β
i
= π/2

Khi đó
B
b
1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0

B
b
3
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
0
2
3
.h
2
h
(3.10)
A1

1
α

2
α

3
α
y
1
z
1
P
O