30
CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC
CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN

2.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = {
)0(
3
)0(
2
)0(
1
e,e,e
rrr
}. Trong đó
)0(
3
)0(
2
)0(
1
e,e,e
rrr
là
ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox
0
, Oy
0

)0(
31
)0(
3
3
)0(
22
)0(
21
)0(
2
3
)0(
12
)0(
11
)0(
1
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e
e.ee.ee.e
rrrrrr
rrrrrr
rrrrrr
(2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R
0
.
A
O

2
e
r
1
e
r
3
e
r
x
1

31
Nếu ta đưa vào ký hiệu
a
ij
=
e
r
)0(
i
.
j
e
r
= cos(
e
r
)0(
i

331
)0(
221
)0(
1111
eaeaeae
rrrr
++=

)0(
332
)0(
222
)0(
1122
eaeaeae
rrrr
++=
(2.4)
)0(
333
)0(
223
)0(
1133
eaeaeae
rrrr
++=
,
e
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
32
22
12
a
a
a
,
e
3
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao.
Theo công thức (2.6):
A
= [
e
1,
e
2
,
e
3
]
Ma trận cosin chỉ hướng
A
là ma trận cột có ba cột là ba véc tơ trực chuẩn.
Do đó A là ma trận trực giao.
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên
A
.
A
T
=
E
.
Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận
cosin chỉ hướng như sau:

32
1aaa
2

13
=++

0aaaaaa
333223221312
=++

Do vậy chỉ có 3 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập.

b)Tính chất 2:
Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(
A
)=1
Từ hệ thức
A
.
A
T
=
E
ta suy ra:
det(
A
.
A
T
)= det(
A
). det(
A

0
y
0
z
0
là hệ qui chiếu cố định, Hệ qui chiếu R
≡
Oxyz gắn liền với vật rắn B.
Lấy điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xát định bởi vectơ
định vị
OP
=
p
r
.(Hình 2.1)

Hình 2.1
Ký hiệu các toạ độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là x
p
, y
p
, z
p
, các
toạ độ của điểm P toạ độ hệ qui chiếu cố định Ox
0
y
0
z
0

x

y
0
y

x
0
z
0
)0(
2
e
r
)0(
3
e
r
)0(
1
e
r
2
e
r
3
e
r
1
e
)e.ae.ae.a.(z
)0(
333
)0(
223
)0(
113p
rrr
++

Hay:

+++= )z.ay.ax.a(er
p13p12p11
)0(
1p
rr
(2.10)

+++ )z.ay.ax.a(e
p23p22p21
)0(
2
r)z.ay.ax.a(e
p33p32p31

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
p
p
p
333231


2.2 Các ma trận quay cơ bản
Ta quy ước hướng quay đơn là hướng ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ (
Hình 2.2) 34

Các phép quay quanh trục x,y,z của hệ toạ độ vuông góc Oxyz được là phép
quay cơ bản.
Ta tìm ra ma trận quay của phép quay quanh trục một góc
ϕ
(Hình 2.3).

Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:
A
x0
(
ϕ
) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

A
x0
(
ϕ
) =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ϕϕ
ϕ−ϕ
cossin0
sincos0
001
` (2.14)
Ma trận (2.14) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x
0

bằng cách tương tự ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục
y
0
và z
0
(Hình 2.4).

ϕ